1、2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）3.3.2课时 抛物线的简单几何性质一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。1是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（ ）ABCD2已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为（ ）A3B4CD3在抛物线y216x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（ ）A(，2)B(，2)C(2，)D(2，)4若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD5抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是（ ）ABCD36过点M(2，0)的直线l与椭圆x22y24交于P1，P2两点
2、，设线段P1P2的中点为P.若直线l的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于（ ）A2B2CD7在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）ABCD8在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，已知B(2，1)，则|MA|+|MB|的最小值为( )A1B2C3D4二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。9若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（ ）ABCD10设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为
3、半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0可能的取值是（ ）A0B2C4D611(多选)已知抛物线C：x22py，若直线y2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（ ）Ax24yBx24yCx22yDx22y12设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（ ）A为定值B直线过抛物线的焦点C最小值为16D到直线的距离最大值为4三、填空题。本大题共4小题。13边长为1的等边三角形AOB中，O为坐标原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是_14过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x24，则|PQ|_.15已知P是抛物线y24x上一动
4、点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是_16已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为_.四、解答题。本大题共4小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17过点Q(4，1)作抛物线y28x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程18如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值19抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，它与圆x2y29相交，公共弦MN的长为2，求该
5、抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程20已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E.（1）求抛物线C的方程；（2）证明：直线DE过定点，并求出定点的坐标.参考答案1C【解析】如图，知两点关于轴对称，设，解得，.故选：C2B【解析】因为抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离所以过焦点作直线的垂线则到直线的距离为的最小值，如图所示：所以故选：B3D【解析】抛物线y216x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，设P(x，y)符合题意，则有，即，解得，
6、所以符合题意的点为故选：D.4A【解析】双曲线的渐近线为，双曲线与直线没有公共点，则，则，.故选：A.5A【解析】由题意，设抛物线yx2上一点为：(m，m2)，其中则该点到直线4x3y80的距离：当时，取得最小值为故选：A6D【解析】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)过点M的直线l的方程为y0k1(x2)，与椭圆方程联立可得据此可知x1x2，则点P的横坐标为，点P的纵坐标为k1(x12).据此得k2.综上可得k1k2.故选：D7A【解析】设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为故本题的正确选项为A.8C【解析】设M(x，
7、y)，以MA为直径的圆的圆心为，又由动点M满足以MA为直径的圆与y轴相切，则有，整理得：y24x，则M的轨迹是抛物线，其焦点为A(1，0)，准线l为x-1，如图，过M作MDl于D，|MA|=|MD|，|MA|+|MB|=|MD|+|MB|BD|，当且仅当B、M、D三点共线时取“=”，|MA|+|MB|取得最小值为|BD|2-(-1)3故选：C9BD【解析】设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)由条件及抛物线的定义知，|PF|PO|又F，所以, 所以，所以y0.故选: BD10CD【解析】由抛物线C：x28y知p4，所以焦点F(0，2)，准线方程y2.由抛物线定义，|MF|y02，因为以F为圆心
8、、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0，2)到准线y2的距离为4.所以4y02，从而y02.故选：CD11CD【解析】解：由，解得：或，则交点坐标为，则，解得：， 则抛物线的方程，故选：12ACD【解析】对于A，因为，所以，所以，故A正确；对于B，设直线，代入可得，所以，即，所以直线过点，而抛物线的焦点为，故B错误；对于C，因为，当时，等号成立，又直线过点，所以，故C正确；对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确.故选：ACD.13y2x【解析】设抛物线方程为y2ax(a0)又A(不妨取点A在x轴上方)，则有a，解得a，所以抛物线方程为y2x.故答案为：y2x146【解
9、析】抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x226.故答案为：6.151【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.所以d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.故答案为：1.168【解析】解：不妨设直线的斜率，过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，由，得，由，又，所以，.故答案为：.174xy150【解析】法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的
10、端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有8x1，8x2，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又y1y22，y1y24(x1x2)，即4，kAB4.AB所在直线的方程为y14(x4)，即4xy150法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为yk(x4)1联立消去x，得ky28y32k80，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标由根与系数的关系得y1y2又y1y22，k4AB所在直线的方程为4xy15018（1）抛物线的方程是y24x，准线方程是x1；（2）证明见解析【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)，则由
11、点P(1，2)在抛物线上，得222p1，解得p2，故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1（2）证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB，即又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1，x2，从而有，即，得y1y24，故直线AB的斜率kAB19故抛物线的方程为x2y或x2y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.【解析】由题意，设抛物线方程为x22ay (a0)设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，则|MA|AN|，而|AN|.因为|ON|3，所以|OA|2，所以N(，2)因为N点在抛物线上，所以52a (2)，即2a，故抛物线的方程为x2y或x2y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.20（1）；（2）证明见解析，定点.【解析】（1）设抛物线的标准方程为，依题意，有，得，抛物线的方程为；（2），设，则，于是圆的方程为，令，得，设，由式得，直线的斜率为，则直线的方程为，即，代入式，有，即，则恒过定点.
