1、直线方程专题一 直线的倾斜角与斜率知识梳理l 要点一、直线的倾斜角 直线倾斜角的定义：u 以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。 直线倾斜角的意义：u 直线倾斜角体现了直线相对于x轴正向的倾斜程度；u 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角；u 倾斜角相同，未必表示同一条直线。l 要点二、直线的斜率 直线斜率的定义：u 倾斜角（90）的正切值叫做这条直线的斜率。u 即：k=tan。u 斜率的取值范围：0，90)(90,180 直线斜率的公式：u 经过两点Ax1，y1，Bx2，y2x1x2的直线的斜率公式：。u 当倾斜角为90时，直线的斜率不存在。l
2、要点三、斜率与倾斜角的关系 倾斜角为零角时，斜率为0，此时直线平行于x轴或与x轴重合。 倾斜角为锐角时，斜率大于0，此时直线的斜率随着倾斜角的增大而增大。 倾斜角为直角时，斜率不存在，此时直线垂直于x轴。 倾斜角为钝角时，斜率小于0，直线的斜率随着倾斜角的增大而增大。l 要点四、直线的方向向量 定义：u 与直线平行的非零向量都是直线的方向向量。 方向向量与斜率的关系：u 若一条直线的方向向量为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则u 方向向量的求法：直线上任取两点组成的向量为直线的一个方向向量。l 要点五、两条直线平行和垂直的判定 两条直线平行的斜率关系：k1=k2。 两条直线垂直的斜率关
3、系：k1k2=-1。典型例题 题型一、求倾斜角大小（或范围）例1、（1）若直线过点A（1,2），B（4,2+3），则直线AB的倾斜角是_。（2）直线l经过A（2,1），B（1，m）（mR），那么直线l的倾斜角的取值范围是_。 题型二、求直线斜率（或斜率的取值范围）例2、已知两点A（-3,4），B（3,2），过点P（1,0）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。 题型三、斜率公式的应用n 1、三点共线的证明例3、三点A（m，2），B（5,1），C（-4,2m）在同一条直线上，则m的值为_。n 2、利用斜率比较大小例4、若，则a、b、c的大小关系为_。n 3、利用斜率求最值例5、
4、已知实数x、y满足y=x2-2x+2-1x1，试求的最大值和最小值。 题型四、两条直线平行的判定与应用例6、（1）已知过点A（m+1,0），B（-5，m）的直线与过点C（-4,3），D（0,5）的直线平行，则m的值为_。（2）顺次连接点A（-4,3），B（2,5），C（3,2），D（-3,0）所构成的图形是_。 题型五、两条直线垂直的判定与应用例7、已知过点A（-2,0）和点B（1,3a）的直线l1与经过点P（0，-1）和点Q（a，-2a）的直线l2互相垂直，则实数a=_。 题型六、斜率在实际生活中的应用 坡度的概念：u 一般地，把坡面的垂直高度h与水平方向的距离l的比。u 即：坡面与水平面所
5、成锐二面角的正切值。例8、紫金花园小区地下停车库的出入口处坡度要求小于12%，而地下车库与底面相距6米，那么坡长至少应该设计成_米（精确到0.1米）。专题二 直线方程知识梳理l 要点一、直线的方程 定义：u 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程。l 要点二、直线方程的几种形式（重点） 截距u 直线与y轴交点（0，b）的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距，也叫纵截距。u 直线与x轴交点（a，0）的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，也叫横截距。u 注意：截距不是距离，它可以是正数，可以是负数，也可以是零。 直线方程五大形式（重
6、点）名称方程形式常数的意义适用范围备注点斜式y-y1=kx-x1x1，y1是直线上的一个定点，k是斜率斜率存在的直线斜率不存在时，直线方程为：x=x1斜截式y=kx+bk是斜率，b是直线在y轴上的截距斜率存在的直线斜率不存在时，直线垂直x轴两点式y-y1y2-y1=x-x1x2-x1x1，y1，x2，y2是直线上的两个定点不垂直于坐标轴的直线截距式xa+yb=1a、b分别是直线在x轴和y轴上的非零截距不垂直于坐标轴且不过远点的直线当a=b=0时，直线过原点一般式Ax+By+C=0A、B分别为x、y的系数，C为常数，A、B不同时为零。平面内的任何直线C=0时，过原点B=0时，k不存在A=0时斜率
7、为0u 两点式展开后可以表示平面内的任何直线，即：y-y1x2-x1=x-x1y2-y1。u 几种特殊位置的直线方程 x轴：y=0 y轴：x=0 垂直于y轴的直线：y=b 垂直于x轴的直线：x=a 过原点且有斜率的直线：y=kx，k0u 一般式的变形： 当B0时，可变形为： ，则斜率为，y轴的截距为-。 用截距式解决截距相等问题时，不能忽略a=b=0即直线过原点时的情况。l 要点三、两条直线的位置关系（重点）位置关系斜截式一般式方程l1：y=k1x+b1l2：y=k2x+b2l1：A1x+B1y+C1=0l2：A2x+B2y+C2=0相交k1k2A1B2-A2B10垂直k1k2=-1A1A2-
8、B1B2=0平行k1=k2且b1b2A1B2-A2B1=0B1C2-B2C10 或者 A1B2-A2B1=0A1C2-A2C10重合k1=k2且b1=b2A1=A2，B1=B2，C1=C2当A2B2C20时，记为：A1A2=B1B2=C1C2典型例题 题型一、求直线方程 方法一：直接法u （1）已知一点选择点斜式u （2）已知斜率选择点斜式或者斜截式u （3）已知两坐标轴上的截距用截距式u （4）已知两点用两点式，注意两点横纵坐标相等的情况例1、求倾斜角为直线y=-x+1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点（-4,1）；（2）在y轴上的截距为-10。 方法二：待定系数法u 先
9、设出直线的方程（根据已知条件选取合适的方程形式），再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程即可。例2、已知直线经过点M（2,3），且在坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_。 题型二、求与已知直线垂直的直线方程例3、已知直线l过点（0,3），且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程为_。 题型三、求与已知直线平行的直线方程例4、过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程为_。 题型四、根据两直线平行或垂直求参数例5、已知直线l1上的点满足ax+4y+6=0，直线l2上的点满足-=0。（1）a为何值时，l1l2；（2）a为何值时，l1l2。 题型五、直线系方程u 定义：具有某一种共同属
10、性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程。u 直线系方程通常只含有一个未知数，常见的直线系方程如下：定点直线系方程1、经过定点P0x0，y0的直线系方程为：y-y0=kx-x0；2、经过定点P0x0，y0的直线系方程为：Ax-x0+By-y0=0。平行直线系方程1、与直线y=kx+b平行的直线系方程：y=kx+b1b1b；2、与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程：Ax+By+=0C。垂直直线系方程与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程：Bx-Ay+=0。例6、已知直线l：2x+y-5=0：（1）求经过点P（-1,3）且与直线l平行的直线l1的方程；（2）求经过点P（2,4）且与直线l
11、垂直的直线l2的方程。 题型六、直线方程的实际应用例7、某城市校区有东西方向、南北方向人行道各一条（如图），现准备在这两条道路的“十”字路口的东北区域，距东西方向道路30米、距南北方向道路40米的P处建造一个凉亭，并且经过该凉亭造一条小路连接这两条道路，若不考虑小路的宽度及凉亭的大小，怎样设计使得这三条道路围成的三角形面积最小？专题三 直线的交点坐标与距离公式知识梳理l 要点一、两条直线的交点 设两条直线l1：A1x+B1y+C1=0A12+B120，直线l2：A2x+B2y+C2=0A22+B220方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点
12、的个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行l 要点二、距离公式 两点间的距离公式u 平面内两点P1x1，y1，P2x2，y2间的距离为：P1P2=x2-x12+y2-y12。u 特别地，原点到任意一点Px，y的距离为：OP=x2+y2。 点到直线距离公式u 点Px0，y0到直线l：Ax+By+c=0的距离为：d=Ax0+By0+CA2+B2u 点Px0，y0到直线l：y=kx+b的距离为：d=kx0-y0+b1+k2 两条平行直线间的距离公式u 两条平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为：d=C1-C2A2+B2u 两条平行直线y=kx+b1和y=kx+b2
13、间的距离为：d=b1-b21+k2l 要点三、平面内的中点坐标公式 Ax1，y1，Bx2，y2的中点坐标为：x1+x22，y1+y22典型例题 题型一、求两直线的交点坐标例1、直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限，则a的取值范围为_。 题型二、解决距离相关的问题例2、已知点A（1,1），B（3,5）到经过点（2,1）的直线l的距离相等，则l的方程为_。 题型三、直线恒过定点问题 方法一：特殊值法u 给方程的参数取两个特殊值，可得关于x、y的两个方程组成方程组，解出方程组即可 方法二：点斜式法u 将含有参数的直线方程写成点斜式方程y-y0=kx-x0，则直线必过定点x0
14、，y0 方法三：分离参数法u 将含参数的直线方程整理为以参数为未知数的方程，然后令系数和常数项为零解出定点x，y例3、求证：无论m为何值，直线2-mx+2m+1y+3m+4=0都过一定点。 题型四、经过两直线交点的直线方程 经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线方程为：A1x+B1y+C1+l1：A2x+B2y+C2=0例4、已知两条直线l1：x+2y-6=0和l2：x-2y+2=0的交点为P。求：（1）过点P与Q（1,4）的直线方程；（2）过点P且与直线x-3y-1=0垂直的直线方程。 题型五、线段垂直平分线的方程 方法一：利用两直线斜率之间的关
15、系及中点坐标公式u （1）取线段中点u （2）利用垂直关系求出中垂线的斜率u （3）根据斜率和中点写出中垂线的点斜式方程 方法二：利用中垂线的性质及两点间距离公式u （1）取中垂线上任一点Q（x，y）；u （2）根据AQ=BQ，即：x-x12+y-y12=x-x22+y-y22，整理出中垂线的方程。例5、已知两点A（-1,3），B（2,5），求线段AB的垂直平分线的方程。 题型六、点关于点的对称问题 方法：利用中点公式u 点Px0，y0关于点Aa，b的对称点为：P2a-x0，2b-y0例6、已知不同的两点Pa，-b与Qb+1，a-1关于点（3,4）对称，则ab=_。 题型七、点关于直线的对称问
16、题 问题：求点Px0，y0关于直线y=kx+bk0的对称点为Px，yu 解题依据： （1）PP所在直线与对称轴垂直，利用垂直的斜率关系得到一个方程 （2）PP的中点在对称轴上，得到第二个方程 （3）解这个方程组，即可得到Px，y即：y-y0x-x0k=-1y+y02=kx+x02+b例7、点A（2,3）关于直线x-y+2=0对称的点的坐标为_。 题型八、直线关于点的对称问题 方法：求直线l关于点M（m，n）对称的直线l的步骤：u （1）在l上任取一点T（x，y）；u （2）求T关于M的对称点T2m-x，2n-y；u （3）将T的坐标代入直线l的方程，化简得所求l的方程。例8、直线2x+3y-6
17、=0关于点（1，-1）对称的直线方程为_。 题型九、直线关于直线的对称问题 情形1：已知直线 l1 与对称轴 l 有交点P，求对称直线 l2：u （1）P点必在对称直线 l2 上，所以先求交点P；u （2）取 l1 上不同于P点的任意一点，求出此点关于对称轴 l 的对称点 P2；u （3）写出P和P2的两点式方程即可。 情形2：已知直线 l1 与对称轴 l 平行，求对称直线 l2：u （1）由平行设出l2的方程；u （2）由平行线间的距离相等求l2的方程。例9、（1）已知直线l1：x-y+3=0，直线l：x-y-1=0。若直线l1关于直线l对称的直线为l2，求直线l2的方程。（2）已知直线l：
18、x-y-1=0，l1：2x-y-2=0。若直线l2与l1关于l对称，求直线l2的方程。 题型十、利用距离的几何意义求最值 两点之间，线段最短，常用此结论来求距离之和的最小值； 三角形的两边之差小于第三边，常用此结论来求距离之差的最大值。例10、已知直线l：3x-y-1=0及点A（4,1），B（0,4），C（2,0）。（1）试在直线l上求一点P，使|AP|+|CP|最小；（2）试在直线l上求一点Q，使|AQ|-|BQ|最大。 题型十一、光的反射问题例11、（1）一束光线从点B（1,4）射向直线l：x-y-5=0，若反射光线过点A（-1,2），求反射光线所在的直线方程；（2）如图，已知A（4,0）
19、，B（0,4），从点P（2,0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，求光线所经过的路程是多少？ 题型十二、实际生活中与直线有关的问题例12、某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD，ABC=90，ABCD，AB=800m，BC=1600m，CD=4000m，在点P处有一灯塔（如图），且点P到BC，CD的距离都是1200m，现拟将养殖区ACD分成两块，经过灯塔P增加一道分隔网EF，在AEF内试验养殖一种新的水产品，当AEF的面积最小时，对原有水产品养殖的影响最小。设AE=d m。（1）若P是EF的中点，求d的值；（2）求对原有水产品养殖的影响最小时的d值，
20、并求AEF面积的最小值。 题型十三、新定义问题例13、在平面直角坐标系中，定义dA，B=maxx1-x2，y1-y2为两点Ax1，y1，Bx2，y2的“切比雪夫距离”。设点P及直线l上任一点Q，称dP，Q的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作dP，l。（1）求证：对任意三点A、B、C都有dA，C+dC，BdA，B；（2）已知点P（3,1）和直线l：2x-y-1=0，求dP，l。巩固练习1、（2020浙江宁波高二期中）已知m，n，a，bR，且满足3m+4n=16,3a+4b=1，则m-a2+n-b2 的最小值为 （ ）A. 3B. 2C. 1D. 2、（2020安徽屯溪一中高二期中）若在
21、直线y=-2上有一点P，它到点A（-3,1）和B（5，-1）的距离之和最小，则该最小值为 （ ）A. 25B. 52C. 45D. 1023、（2020河北唐山一中高二期中）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营坐在区域为x2+y23，若将军从点A（3,1）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 （ ）A. 10-3B. 10C. 2
22、5-3D. 254、（2020安徽屯溪一中高二期中）已知一束光线经过直线l1：3x-y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1,0）后被x轴反射。（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l3的方程。5、l1，l2是分别经过A（1,1），B（0，-1）两点的两条平行直线。（1）当l1，l2间的距离最大时，求直线l1的方程；（2）当l1，l2间的距离为1时，求直线l2的方程6、（2020湖北利川五中高二期中）直线m过定点P04，1，交x，y正半轴于A，B两点，其中O为坐标原点。（1）当直线m的倾斜角为时，ABO斜边AB的中点为D，求|OD|；（2）记
23、直线m在x，y轴上的截距分别为a，b，其中a0，b0，求a+b的最小值。7、（2020甘肃民勤一中高二期中）已知直线l：kx-y+1+2k=0kR。（1）证明直线l过定点并求此点的坐标；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程。8、（2020安徽太和一中高二期中）设直线l的方程为a+1x+y-5-2a=0aR。（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点AxA，0，B0，yB，当AOB面积最小时，求AOB的周长；（3）当直线l在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l的方程。
