1、2.4.2圆的一般方程(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)一、教学目标1.理解圆的一般方程及其特点,体现数学抽象的学科素养.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化,展现了数学逻辑推理的学科素养.3.会求圆的一般方程,体现数学建模的学科素养.二、教学重难点掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程三、教学过程1.圆的一般方程概念的形成1.1创设情境，引发思考【数学情境】方程表示以为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为.一般地,圆的标准方程可以变形为：(2)的形式.反过来,形如(2)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗? 例如,对于方程,对其进行配方,得,因为任意一个点的坐标都不满足
2、这个方程,所以这个方程不表示任何图形.所以形如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明,形如(2)的方程不一定是圆的方程.1.2深入探究，形成概念活动：研究圆与形如的方程之间的关系，应讨论以下基本问题：（1）这类方程是否都是圆的方程？（2）如果这类方程表示圆，其系数具有什么条件？（3）这类方程是圆的方程时，能否直接根据系数写出圆的圆心坐标，求出圆的半径？（4）这类方程如果不表示圆，方程表示什么曲线？【活动预设】将方程(2)的左边配方，并把常数项移到右边，得 （1）当时，比较方程和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示以为圆心，为半径的圆；（2）当时，方程(2)只有实数解它表示一个
3、点；（3）时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.因此，当时，方程(2)表示一个圆.把方程(2)叫做圆的一般方程.【设计意图】引导学生认识圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的关系.思考:圆的标准方程（）与圆的一般方程（，）各有什么特点?【答案预设】圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径,而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数特征非常明显.【设计意图】引导学生认识圆的标准方程与一般方程的特点.1.3思考辨析，加深理解1.方程x2y2x10表示一个圆.()2.若方程x2y22xEy10表示圆，则E0.()3.二元二次方程x2y2DxEyF0一定是某个圆的方程.(
4、)4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.()【设计意图】辨析概念加深对圆一般方程的理解.1.4典例分析，初步应用例若方程x2y22mx2ym25m0表示圆. （1）求实数m的取值范围；（2）写出圆心坐标和半径.【答案预设】由表示圆的条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，法二：将方程 x2y22mx2ym25m0 写成标准方程为(xm)2(y1)215m【设计意图】在典例分析中掌握求圆的一般方程与标准方程互化的基本方法.适时小结小结1：二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为 （1）的形式，但方程（1）不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1) 计算 的值
5、,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.(2)将该方程配方为 ,根据圆的标准方程来判断.2.圆的一般方程的求法2.1典例分析，对比感知例4 求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径。分析：将的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.解：设圆的方程是. 因为三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解.把它们的坐标依次代入方程，得到关于的一个三元一次方程组解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是.由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径.思考：与例2的方法比较，有什么体会呢？【活动预设】例4的解答过程中，教科书选择了先
6、求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然是待定系数法来解.这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.容易的原因是得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组.而用圆的标准方程的话，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项.一般来说，解一次方程比解二次方程容易.【设计意图】运用方程的思想，进一步体会待定系数法，在比较中学会根据题目条件优择不同的圆的方程.适时小结小结2:求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：（1） 根据题意，选择标准方程或一般方程；（2） 根据条件列出关于或的方程组；（3） 解出或，得到标准方程或一般方程.注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件
7、,恰当选择圆的方程形式:若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)2.2跟踪训练，巩固应用(1)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，则ABC的外接圆的方程是_.(2)圆心在直线yx上，且经过点A(1,1)，B(3，1)的圆的一般方程是_.【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养。2.3归纳小结，总结提升教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：1. 圆与形如的方程之间的关系.2. 圆的一般方程与标准方程之间的互化.3. 求圆的一般方程的方法.【设计意图】从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结.通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。四、课外作业
