1、2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若点A（2，3，2）关于xoz平面的对称点为A，点B（2，1，4），关于y轴对称点为B，点M为线段AB的中点，则|MA|（ ）ABC5D2在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是（）ABCD3已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点A(1,3,0)在内，则P(2,1,4)到的距离为()A10B3CD4若O为坐标原点， (1,1，2)，(3,2,8)，(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()ABCD
2、5正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围为（ ）ABCD6如图，已知正方形的边长为 ，分别是 的中点，平面 ，且，则点 到平面的距离为 ABCD17若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（ ）ABCD8如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9在正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的是（ ）A/平面B平面CD点与点到平面的距离相等10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（）A直线
3、BD1平面A1C1DB三棱锥PA1C1D的体积为定值C异面直线AP与A1D所成角的取值范用是45，90D直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为11正方体中，下列叙述正确的有（）A直线与所成角为B直线与所成角为C直线与平面所成角为D直线与平面所成角为12如图，正方体的棱长为1，分别为的中点.则（ ）A直线与直线垂直B直线与平面平行C平面截正方体所得的截面面积为D点C与点G到平面的距离相等三、填空题：本题共4小题13正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_.14如图，P为矩形ABC
4、D所在平面外一点，PA平面ABCD若已知AB=3，AD=4，PA=1，则点P到直线BD的距离为_.15棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为_.16如图，直三棱柱的侧棱，在ABC中，ACB=90，AC=BC=1，则点B1到平面A1BC的距离为_. 四、解答题：本题共6小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，ABC=90，求点B到直线A1C1的距离.18已知RtABC如图（1），C90，DE分别是AC，AB的中点，将ADE沿DE折起到PDE位置
5、（即A点到P点位置）如图（2）使PDC60（1）求证：BCPC；（2）若BC2CD4，求点D到平面PBE的距离19四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，侧棱PA底面ABCD，且PA=4，E是PA的中点，求PC与平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系.20如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC=90，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.（1）求证：B1D平面ABD；（2）求证：平面EGF平面ABD；（3）求平面EGF与平面ABD的距离.21在直三棱
6、柱中，是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离.22在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，分别为，的中点，如图所示.求点到平面的距离.参考答案1C【解析】点A（2，3，2）关于xoz平面的对称点为A，A（2，3，2），点B（2，1，4）关于y轴对称点为B，B（2，1，4），点M为线段AB的中点，M（2，1，1），|MA|5故选：C.2A【解析】以为空间直角坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.由于是中点，故，且，设是平面的法向量，故，故可设，故到平面的距离.故选A.3D【解析】(1,2，4)，又平面的一个法向量为n(2，2,1)，所以P到的距离为.故答案为D4D【解析】由题意
7、()，|.故答案为D5D【解析】以分别为建立空间直角坐标系，则，由平面，则且所以得所以当时，当或时，所以故选：D6B【解析】以C为原点CD为x轴CB为y轴CG为z轴建立空间坐标系，所以平面的一个法向量为7D【解析】解：分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).设平面ABC的一个法向量为，由得：.令，则.则平面ABC的一个法向量为.所以点P到平面ABC的距离.故选：.8B【解析】 如图建立空间直角坐标系，则： 由于平面平面，又，平面故平面的一个法向量为：到平面的距离为：故选：B9AC【解析】对A，因为分
8、别是和的中点故，故/平面成立. 对B，建立如图空间直角坐标系，设正方体边长为2则，.故.故不互相垂直.又属于平面.故平面不成立. 对C， ，.，故成立.对D，点与点到平面的距离相等则点与点中点在平面上.连接易得平面即平面.又点与点中点在上，故点不在平面上.故D不成立.故选：AC10ABD【解析】解：在A中，A1C1B1D1，A1C1BB1，B1D1BB1B1，A1C1平面BB1D1，A1C1BD1，同理，DC1BD1，A1C1DC1C1，直线BD1平面A1C1D，故A正确；在B中，A1DB1C，A1D平面A1C1D，B1C平面A1C1D，B1C平面 A1C1D，点P在线段B1C上运动，P到平面
9、A1C1D的距离为定值，又A1C1D的面积是定值，三棱锥PA1C1D的体积为定值，故B正确；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是60，90，故C错误；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），（1，0，1），（0，1，1），（a，0，a1），设平面A1C1D的法向量，则，取x1，得，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为：，当a时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故D正确故选：ABD11AB【解析】设正方
10、体的棱长为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，所以，对于A选项，所以，直线与所成角为，A对；对于B选项，即，所以，直线与所成角为，B对；对于C选项，平面的一个法向量为，所以，直线与平面所成角不是，C错；对于D选项，平面的一个法向量为，所以，直线与平面所成角为，D错.故选：AB.12BC【解析】对于A：在正方体中，,因为直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直.故A错误；对于B： 取的中点N，连结GN,A1N,因为，N分别为,的中点,所以由三角形中位线定理得：所以因为面，EF面，所以面.同理可证：面.又面，面，所以面面,所以直线与平面平行.故B正确；对于C
11、：连结,由上面证明过程可知,所以平面截正方体所得的截面为面.因为， ,所以为等腰梯形，如图示： 过E、F分别作EP、FQ垂直AD1于P、Q，则,所以,所以等腰梯形的面积为.故C正确.对于D：假设C与G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,连接CG交EF于H,而H不是CG中点,则假设不成立,故D错误.故选：BC13【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4).=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)，E
12、FMN，BFAM，EFBF=F，MNAM=M.平面AMN平面EFBD.设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，则解得取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1).平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.=(0，4，0)，平面AMN与平面EFBD间的距离d=.故答案为：14【解析】如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，则=(3，0，-1)，=(-3，4，0)，故点P到直线BD的距离，所以点P到直线BD的距离为.故答案为：.15【解析】解：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所
13、在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M，A(1，0，0).=(-1，1，0)，=(-1，0，1).设平面的法向量为，则即令x=1，则y=z=1，.点M到平面ACD1的距离.又，故平面.故直线MN到平面ACD1的距离为.故答案为：.16【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)， ，设平面A1BC的法向量为 则，即令z=1得，y=0，所以点B1到平面A1BC的距离.故答案为：17【解析】解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4，0，1)，C1(0，3，1).
14、直线A1C1的方向向量=(-4，3，0)，=(0，3，1)，所以点B到直线A1C1的距离.18（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：RtABC如图（1），C90，D.E分别是AC，AB的中点，将ADE沿DE折起到PDE位置（即A点到P点位置）如图（2）使PDC60DEDC，DEPD，DEBC，PDDCD，DE平面PCD，BC平面PCD，PC平面PCD，BCPC.（2）解：D.E分别是AC，AB的中点，PDC60，BC2CD4，CDPDPC2，取CD中点O，BE中点M，连结PO，MO，则OP，OD，OM两两垂直，以O为原点，OD为x轴，OM为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系：则D（1，0，
15、0），P（0，0，），B（1，4，0），E（1，2，0），（1，0，），（1，4，），（1，2，），设平面PBE的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，），点D到平面PBE的距离为：d19，相等.【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，ACD中CD边上的高AF所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则F为CD的中点，A(0，0，0)，B(4，0，0)，F(0，2，0)，C(2，2，0)，D(-2，2，0)，P(0，0，4)，E(0，0，2).设平面BED的一个法向量为，由得即取z=2，则x=1，得，故PC平面BED，PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距
16、离.，点P到平面BED的距离，即PC到平面BED的距离为，且直线PC上各点到平面BED的距离都相等.20（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）证明：如图所示建立空间直角坐标系，设AB=a，则A1(a，0，0)，B1(0，0，0)，C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2)，G.所以=(0，2，2)，=(-a，0，0)，=(0，2，-2).所以=0+0+0=0，=0+4-4=0.所以，所以B1DAB，B1DBD.又ABBD=B，所以B1D平面ABD.（2）证明：由（1）可得=(-a，0，0)，=(0，
17、2，-2)，=(0，1，-1)，所以=2=2，所以.所以GFAB，EFBD.又GFEF=F，ABBD=B，所以平面EGF平面ABD.（3）解：由（1）（2）知，是平面EGF和平面ABD的法向量.因为平面EGF平面ABD，所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为d.因为=(0，0，3)，=(0，2，2)，所以d=.即两平面间的距离为.21（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接交于点，连接，则点为中点，又是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解：因为平面，所以到平面的距离就等于点到平面的距离.以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，所以，即，即令，则.所求距离为.22【解析】取的中点，连接，.，.平面平面，平面平面，平面.又平面，.如图所示，分别以，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，.，.设为平面的一个法向量，则取，则，.点到平面的距离.
