1、高二数学选择性必修第一册专题：椭圆设计师：宁永辉第一部分：椭圆的定义与方程推理一、椭圆的定义与定义式，如下表所示：椭圆的定义标准定义：到两个定点的距离之和为定长的动点轨迹。其中两个定点为椭圆的两个焦点，定长为。实用定义：椭圆上一点到两个焦点的距离之和为。椭圆的定义式定义式：。其中：点为椭圆上一点，点和点为两个焦点。二、椭圆的方程推理，如下表所示：焦点在轴上椭圆方程的推理焦点在轴上椭圆方程的推理以两个焦点和的中点为原点；以两个焦点和的连线为轴；以焦距的中垂线为轴。以两个焦点和的中点为原点；以两个焦点和的连线为轴；以焦距的中垂线为轴。如下图所示：如下图所示：假设部分：假设：椭圆上任意一点；假设：两
2、个焦点之间的距离（焦距）的长度：；左焦点，右焦点。假设部分：假设：椭圆上任意一点；假设：两个焦点之间的距离（焦距）的长度：。下焦点，上焦点。推理部分：根据椭圆的定义得：。根据两点之间的距离公式得到：。方程两边平方得到：。方程两边平方得到：。假设：。所以：焦点在轴上的椭圆的方程：。推理部分：根据椭圆的定义得：。根据两点之间的距离公式得到：。方程两边平方得到：。方程两边平方得到：。假设：。所以：焦点在轴上的椭圆的方程：。三、椭圆的性质与图象，如下表所示：焦点在轴上椭圆焦点在轴上椭圆方程关系焦距焦点左焦点，右焦点下焦点，上焦点定义式其中：点为椭圆上一点，点和点为两个焦点。其中：点为椭圆上一点，点和点
3、为两个焦点。左右顶点左顶点，右顶点。左顶点，右顶点。上下顶点下顶点，上顶点。下顶点，上顶点。长轴长短轴长图象四、椭圆的离心率与准线，如下表所示：离心率离心率的定义：圆锥曲线上一点到焦点的距离与该点到准线的距离的比值，用表示离心率。离心率的测量值：。准线焦点在轴焦点在轴左准线：，右准线：下准线：，上准线：推理：如下图所示：取椭圆上的右顶点。右顶点到右焦点的距离为：；右顶点到右准线的距离为。根据离心率的定义得：。根据离心率测量值得：。推理：如下图所示：取椭圆上的上顶点。上顶点到上焦点的距离为：；上顶点到上准线的距离为。根据离心率的定义得：。根据离心率测量值得：。第二部分：椭圆的定义题型一、椭圆的定
4、义题型例题讲解，如下表所示：例题本题解析例题一：已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两点。，则的方程为（ ）A、B、C、D、解：如下图所示： 假设：。 。 。根据椭圆的定义得到：。根据椭圆的定义得到：。在中，根据余弦定理得到：。在中，根据余弦定理得到：。所以：。椭圆的焦点为，。，。所以：椭圆的方程：。例题二：已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率是（ ）A、 B、C、 D、解：如下图所示： 根据三角函数的定义得到： 。根据椭圆的定义得到：。所以：的离心率为。例题三：椭圆：（）的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，且。，。求椭圆的标准方程。解：如下图所示： 根据椭圆的定义得到
5、： 。根据勾股定理得到：。所以：椭圆的标准方程：。例题四：椭圆：（）的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线交于，两点。若的周长为，则的方程为（ ）A、B、C、D、解：如下图所示： 根据椭圆的定义得到： ； 。椭圆离心率为。所以：椭圆的方程：。例题五：椭圆（）的两个焦点分别为，且椭圆过点。计算：椭圆的离心率。解：椭圆的两个焦点，。根据两点之间的距离公式得到：；。根据椭圆的定义得到：。所以：椭圆的离心率：。例题六：已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。求的方程。解：的圆心，。的圆心，。假设：动圆的圆心，半径为。动圆与圆外切。动圆与圆内切。相加得到：。根据椭圆的定义得到：圆心的
6、轨迹为椭圆。焦点为，。所以：曲线的方程：。二、椭圆的定义题型跟踪训练，如下表所示：跟踪训练解答区域跟踪训练一：椭圆的方程：的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于，两点，且的周长为。求椭圆的方程。解：跟踪训练二：椭圆的方程：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为。求椭圆的标准方程。解：跟踪训练三：椭圆的方程：（）的左、右焦点分别为，为椭圆上一点且。，。求椭圆的标准方程。解：跟踪训练四：已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率是 。解：跟踪训练五：已知：椭圆（）的两个焦点分别为，为椭圆上一点。计算：椭圆的离心率。解：三、椭圆的定义题型跟踪训练参考答案，如下表所示：跟踪训练一
7、：跟踪训练二：跟踪训练三：跟踪训练四：跟踪训练五：第三部分：椭圆的性质题型一、椭圆的性质题型例题讲解，如下表所示：例题本题解析例题一：已知椭圆（）的离心率为，分别为的左右顶点。求解：椭圆的标准方程。解：，。所以：椭圆的方程：。例题二：已知椭圆（）的离心率为，且过点。求解：椭圆的标准方程。解：。椭圆过点得到：，。所以：椭圆的标准方程：。例题三：已知椭圆：（）过点，点为其左顶点，且的斜率为。求解：椭圆的标准方程。解：椭圆的左顶点，。椭圆过点得到：。所以：椭圆的标准方程：。例题四：已知椭圆：（）过点，且。求解：椭圆的标准方程。解：过点。所以：椭圆的标准方程：。例题五：已知，是椭圆：（）的两个焦点，为
8、上一点，为坐标原点。若为等边三角形。求解：椭圆的离心率。解：如下图所示： 连接。 为等边三角形 。 在中：根据余弦定理得到：。根据椭圆的定义得到：。所以：椭圆的离心率：。二、椭圆的性质题型跟踪训练，如下表所示：跟踪训练参考答案跟踪训练一：已知椭圆（）的离心率为，则（ ）A、 B、C、 D、解：跟踪训练二：已知椭圆的方程：的右焦点为，且经过点。求解：椭圆的方程。解：跟踪训练三：设椭圆（）的左焦点为，上顶点为。已知椭圆的短轴长为，离心率为。求解：椭圆的方程。解：跟踪训练四：设椭圆（）的左焦点为，左顶点为，上顶点为。已知：，为坐标原点。求解：椭圆的离心率。解：跟踪训练五：设椭圆：的一个焦点为，则椭圆的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、解：跟踪训练六：已知，是椭圆：（）的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，满足，为等腰三角形，则的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、解：跟踪训练七：设椭圆（）的右顶点为，上顶点为。已知椭圆的离心率为，。计算：椭圆的标准方程。解：跟踪训练八：设椭圆：（）的离心率为，焦距为。计算：椭圆的标准方程。解：三、椭圆的性质题型跟踪训练参考答案，如下表所示：跟踪训练一：选项跟踪训练二：跟踪训练三：跟踪训练四：跟踪训练五：选项跟踪训练六：选项跟踪训练七：跟踪训练八：
