1、1.1 空间向量及其运算教学重点：.1.空间向量及其相关概念.2.空间向量的线性运算3.空间向量的数量积教学难点：用向量方法解决立体几何问题知识点一空间向量的概念1定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量2长度或模：向量的大小3表示方法：几何表示法：空间向量用有向线段表示；字母表示法：用字母a，b，c，表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或|.4几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在
2、的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量规定：对于任意向量a，都有0a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法ab 减法ab数乘当0时，a；当0时，a；当0时，a；当0时，a0运算律交换律：abba；结合律：a(bc)(ab)c，(a)()a；分配律：()aaa，(ab)ab.知识点三共线向量1空间两个向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.2直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量知识点四共面向量1共面向量：如图，如果表示向量
3、a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量2向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.知识点五空间向量的夹角1定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b2范围：0a，b.特别地，当a，b时，ab.知识点六空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a|b|cos a，b叫做a，b的数量积，记作ab.即ab|a|b|cosa，b
4、规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质abab0aaa2|a|2运算律(a)b(ab)，R. abba(交换律)a(bc)abac(分配律).知识点七 向量a的投影1如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c|a|cosa，b，向量c称为向量a在向量b上的投影向量类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2)2如图(3)，向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A，B，得到，向量称为向量a在平面上的投影向量这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面所
5、成的角【题型1 空间向量概念的理解】方法点拨：空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念【例1】给出下列命题：零向量没有方向；若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则a=b；若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p；空间中任意两个单位向量必相等其中正确命题的个数为（）A4B3C2D1【分析】，零向量有方向，是任意的；，向量相等，方向相同，大小相等即可；，若|a|b|，则a、b的方向没定；，根据向量相等的条件可判定；，空间中任意两个单位向量的模
6、相等方向没定，向量不一定等；【解答】解：对于，零向量有方向，是任意的，故错；对于，若两个空间向量相等，方向相同，大小相等即可，故错；对于，若空间向量a，b满足|a|b|，则a、b的方向没定，故错；对于，若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p，正确；对于，空间中任意两个单位向量的模相等方向没定，向量不一定等，故错； 故选：D，【点评】那么题考查了空间向量的概念及性质，属于基础题【练习】1.给出下列命题：零向量没有确定的方向；空间向量是不能平行移动的；有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等，其中正确的是（ ）AB
7、CD【答案】C【解析】正确，零向量的方向是任意的，错误，空间向量可以平行移动，正确，向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大，错误，如果两个向量不相同，它们的长度可以相等.2.下列说法： 若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； 若向量，满足，且与同向，则； 若两个非零向量与满足，则，为相反向量； 的充要条件是A与C重合，B与D重合.其中错误的个数为（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；错误. 向量不能比较大小；正确. ，为相反向量；错误. A与C，B与D不一定重合.3.（多选题）下列命题中为真
8、命题的是（）A向量AB与BA的长度相等B将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段D方向相同且模相等的两个向量是相等向量【答案】AD【解析】解：对于选项A：向量AB与BA是相反向量，长度相等，故A为真命题对于选项B：将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个球，故B为假命题对于选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但是不是有向线段，故C假命题对于选项D：方向相同且模相等的两个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故D真命题【题型2 空间向量的线性运算】方法点拨：1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向
9、量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果2.利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质【例2】已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c用a，b，c表示MN，则MN等于（）A12（b+c-a）B12（a+b+c）C12（a-b
10、+c）D12（c-a-b）【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出【解答】解：点M为AB的中点，OM=12（OA+OB）=12a+12b，点N分别为OC的中点，ON=12OC=12c，MN=ON-OM=12c-12a-12b=12（c-a-b）故选：D【点评】本题考查空间向量的线性运算，考查了数形结合，属于基础题【练习】1.空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是（ ）A0B0C0D0【答案】B【解析】，易证四边形EFGH为平行四边形，故0，故选B.2.设OABC为四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上一点，且
11、OG3GG1.若xyz，则(x，y，z)为（ ）A(，)B(，)C(，)D(，)【答案】A【解析】如下图，而()()()，.故选A.3.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE=13BB1，DF=23DD1若EF=xAB+yAD+zAA1，则x+y+z等于（）A1B0C13D1【分析】根据空间向量的加法、减法和数乘的运算法则即可得解【解答】解：EF=EB+BA+AD+DF=-13BB1-AB+AD+23DD1 =-13AA1-AB+AD+23AA1 =-AB+AD+13AA1，EF=xAB+yAD+zAA1，x1，y1，z=13，x+y+z=13故选
12、：C【点评】本题考查空间向量的线性运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题【题型2 向量共线及向量共面】方法点拨：1.向量共线的判定及应用(1)判断或证明两向量a，b(b0)共线，就是寻找实数，使ab成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达(2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线方法一：是否存在实数，使.方法二：证明对空间任意一点O，有xy，且x+y=1.2.解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有xy或xyz (xyz1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数(2)证明空
13、间中四点(如P，A，B，C)共面方法一：需利用共面向量定理，证明xy方法二：对空间任意一点O，都有xyz，且xyz1，【例3】O为空间任意一点，A，B，C三点不共线，若OP=13OA+12OB+16OC，则A，B，C，P四点（）A一定不共面B不一定共面C一定共面D无法判断【分析】由OP=13OA+12OB+16OC，且13+12+16=1，利用空间向量基本定理得A，B，C，P四点一定共面【解答】解：O为空间任意一点，A，B，C三点不共线，OP=13OA+12OB+16OC，13+12+16=1，A，B，C，P四点一定共面故选：C【点评】本题考查空间四点是否共面的判断，考查空间向量基本定理等基础
14、知识，考查运算求解能力，是基础题【练习】1.对空间任意一点O，若，则A、B、C、P四点()A一定不共面B一定共面C不一定共面D与O点的位置有关【答案】B【解析】1，P、A、B、C共面2.已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D【答案】A【解析】(7a2b)(a2b)(5a6b)3a6b3A，B，D三点共线3.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足(2)，则点P一定为三角形ABC的（ ）AAB边中线的中点BAB边中线的三等分点(非重心)C重心DAB边的中点【答案】B【解析】取AB边的中点M
15、，则2，由(2)可得32，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.【题型4 空间向量数量积的运算】方法点拨：1.在几何体中求空间向量的数量积的步骤：（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积（3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模（4）代入公式ab|a|b|cosa，b求解2.求空间向量的两点间距离的步骤：（1）取此线段对应的向量；（2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量；（3）利用|a|，计算出|a|，即得所求长度(距离)【例4.1】在正四面体PABC中，棱长为1，且D为棱A
16、B的中点，则PCPD的值为（）A-14B14C-12D12【解题思路】根据空间向量的线性运算和数量积的定义，计算即可【解答过程】解：如图所示，PABC为正四面体，则APCBPCAPB60，D是棱AB中点，所以PD=12（PA+PB），所以PCPD=PC12（PA+PB）=12PCPA+12PCPB=1211cos60+1211cos60=12故选：D【例4.2】在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCDA1B1C1D1中，ABADAA11，BADBAA1DAA160，则AC1的长为（）A3B3C6D6【解题思路】由AC1=AB+AD+AA1，可得AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2
17、+AD2+AA12+2ABAD+2ABAA1+2ADAA1，即可得出【解答过程】解：AC1=AB+AD+AA1，则AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2ABAD+2ABAA1+2ADAA11+1+1+3211cos606|AC1|=6故选：D【练习】1.已知PA平面ABC，垂足为A，ABC120，PAABBC6，则PC等于（ ）A6B6C12D144【答案】C【解析】，22222363636236cos60144，|12.2.已知正方体ABCDABCD的棱长为1，设a，b，c，则(1)_；cos，_；(2)_.【答案】(1)1(2)1【解析】(1)(abc)(abc)
18、a2c22acb21，|2(abc)2a2b2c22ab2ac2bc3，|，|2(abc)2a2b2c22ab2ac2bc3，|，cos，；(2)(bca)b|b|2bcba1.3.如下图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长【答案】(1)证明设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p、q、r三向量两两夹角均为60，()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos60a2cos60a2)0，MNAB.同理可证MNCD；(2)解由(1)可知(qrp)，|22(qrp)2q2r2p22(q
19、rpqrp)a2a2a22()2a2，|a.MN的长为a.课后练习1.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN2NB，则MN=（）A12a-23b-13cB-13a+12b+23cC23a-12b+13cD-12a+23b+13c【分析】根据条件可得出MA=12a，AB=b-a，BN=13(c-b)，然后代入MN=MA+AB+BN进行向量的数乘运算即可【解答】解：M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN2NB，且OA=a，OB=b，OC=c，MA=12OA=12a，AB=OB-OA=b-a，BN=13BC=13(OC-OB)=13(c
20、-b)，MN=MA+AB+BN=12a+b-a+13(c-b)=-12a+23b+13c故选：D【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题2.如图所示空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则MG-AB+AD等于（）A32DBB3 MGC3 GMD2 MG【分析】M、G分别是BC、CD的中点，利用向量共线定理、三角形的中位线定理可得MG=12BD再利用向量的三角形法则可得AD-AB=BD即可得出【解答】解：M、G分别是BC、CD的中点，MG=12BD而AD-AB=BDMG-AB+AD=12BD+BD=32BD=3MG
21、故选：B【点评】本题考查了向量共线定理、三角形的中位线定理、向量的三角形法则，属于基础题3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若AF=xAD+yAB+zAA1，求x+y+z（）A1B32C2D52【分析】利用空间向量加法定理直接求解【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，连接DC1，D1C，交于点F，AF=AD+DF =AD+12DC1 =AD+12（D1C1-D1D）=AD+12（AB-A1A）=AD+12AB-12A1A，=AD+12AB+12AA1，AF=xAD+yAB+zAA1，x+y+z1+12+12=2故选：C4.设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则AEAF的值为（）A14a2B12a2Ca2D34a2【解题思路】如图所示，AE=12(AB+AC)，AF=12AD代入AEAF，利用数量积运算性质即可得出【解答过程】解：如图所示，AE=12(AB+AC)，AF=12ADAEAF
