1、2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）第三章 圆锥曲线的方程 单元检测试卷（B）一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。1已知椭圆C：的右焦点F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x3)2(y4)24上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|PF|的最小值为26，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为（ ）ABCD2已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）ABCD3已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）A9BC8D74某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨
2、道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（）Ar+RBr+RCr+RDr+R5设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值和最大值分别为（ ）A9，12B8，11C8，12D10，126在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）ABCD7已知双曲线的右焦点为，右顶点为，两点在双曲线的右支上，为中点，为轴上一点，且.若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。8设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以
3、F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为9，则（ ）A|BF|3BABF是等边三角形C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26x9抛物线E：x24y与圆M：x2+（y1）216交于A、B两点，圆心M（0，1），点P为劣弧上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的可能取值是（）A8B8.5C9D1010已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（ ）AC的焦距为BC的离心率为C圆D在C的内部D的最小值为11双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足（其中为坐标原点），则（ ）A双曲线的一条渐近
4、线方程为B双曲线的离心率为CD的面积为612如图已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆在第一象限内的点，的角平分线交轴于点，且满足，则椭圆的离心率可能是（ ）ABCD三、填空题。本大题共4小题。13倾斜角为的直线l经过双曲线的左焦点，交双曲线于A，B两点，线段的垂直平分线过右焦点，则此双曲线的渐近线方程为_.14若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为_15已知是椭圆上的一点，为右焦点，点的坐标为，则周长的最大值为_.16已知椭圆，倾斜角为60的直线与椭圆分别交于A、B两点且，点C是椭圆上不同于A、B一点，则ABC面积的最大值为_四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说
5、明，公式和解题过程。17在平面直角坐标系中，已知双曲线（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线交于、两点若与圆相切，求证：；18若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.19设圆的圆心为M，直线l过点且与x轴不重合，l交圆M于A，B两点，过点N作AM的平行线交BM于点C.（1）证明|CM|+|CN|为定值，并写出点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹为曲线E，直线l
6、1：y=kx与曲线E交于P，Q两点，点R为椭圆C上一点，若PQR是以PQ为底边的等腰三角形，求PQR面积的最小值.20如图，已知椭圆，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.（1）若，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程.21已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点（1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；（2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上22已知抛物线过点（1）求抛物线的方程；（2）求过点的直线与抛物线交于、两个不同的点(均与点不重合)设直线、的斜率分别为、，求证：为定值参考答案1C【解析】因为圆E：(x3)2(y4)
7、24的半径为2，所以，设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可得，所以，所以，当且仅当四点共线时，等号成立，又|PQ|PF|的最小值为26，所以，即，所以，解得或（舍）.所以，所以椭圆C的标准方程为.故选：C.2D【解析】设，的中点，所以，又，所以，即，而，所以，又，即椭圆方程为：.故选：D.3C【解析】如图所示：设圆心为，双曲线右焦点为，且，所以，当且仅当，三点共线时取得等号故选：C.4A【解析】由题意，椭圆的离心率，（c为半焦距；a为长半轴）地球半径为R，卫星近地点离地面的距离为r，可得 联立方程组，如图所示，设卫星近地点的距离为，远地点的距离为，所以远地点离地面的距离为r+故选：A5C【解析】如
8、图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时最小，最小值为；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时最大，最大值为故选：C6A【解析】设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为故本题的正确选项为A.7C【解析】设，由题意可知，轴，不妨令，(其中).因为，所以，解得.由题易知，整理得，即，即，又，所以.故选：C8BCD【解析】根据题意，作图如下：因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以，又，所以为等边三角形，B正确；ABD90，过F作FCA
9、B交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为，所以A不正确，焦点到准线的距离为，所以C正确；抛物线的方程为：y26x，所以D正确.故选：BCD9BC【解析】如图所示，由，可得焦点坐标为，准线方程为，又由，可圆心坐标为，半径为，过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得MNNH故PMN的周长lNH+NP+MPPH+4，联立和，解得，所以PH的取值范围为（4，6）所以的周长PH+4的取值范围为（8，10），所以B，C，满足条件故选：BC10BC【解析】由可知，则焦距，离心率；设，圆心，半径为，则，故圆D在C的内部；当取最小值时，的最小值为，综上所述，选项BC正确
10、，故选：BC11ABD【解析】如图：设双曲线的焦距为，与轴交于点，由题可知，则，由得点为三角形的重心，可得，即，解得.双曲线的渐近线方程为，的坐标为，故选：ABD.12CD【解析】，则.是的角平分线，又，在中，由余弦定理得，解得.故选：CD.13【解析】解：如图为的垂直平分线，可得，且，可得，由双曲线的定义可得，即有，即有，由，可得，可得，即，则渐近线方程为故答案为：146【解析】因为双曲线的右焦点为 ，所以 1510【解析】解：如图所示，设椭圆的左焦点为，由题意可知，则，因为的坐标为，所以，由椭圆的定义可得，因为，所以周长为，当且仅当三点共线时取等号，所以周长的最大值为10，故答案为：101
11、6【解析】由题意，设直线AB的方程为，点 A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得18x2+10mx+5m2300，所以x1+x2，x1x2因为，即，代入整理得，解得，不妨取：m2，可得直线AB的方程为，设与直线AB平行且与椭圆相切的直线方程为yx+t，联立方程组，整理得18x2+10tx+5t2300，由300t272（5t230）0，解得：t6取t6时，与直线AB平行且与椭圆相切的直线与直线AB的距离，所以ABC面积的最大值，故答案为：17（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：过点与渐近线平行的直线方程为，即解方程组得所以所求三角形的面积为（2）
12、设直线的方程是，因直线与已知圆相切，故，即由得设，则又，所以故18（1）；（2）.【解析】（1）直线过x轴上一点，由题意可得，即，双曲线的渐近线方程为，由两直线平行的条件可得，解得，即有双曲线的方程为.（2）设直线，代入，可得，设，则，中点为，可得的垂直平分线方程为，令，可得，由，解得，又，解得，综上可得，即有的范围是，可得直线与轴上的截距的取值范围为.19（1）证明见解析，点的轨迹方程为()；（2）.【解析】解：（1）圆可化为所以圆心，半径又因为过点作的平行线交于点，所以又因为，所以，所以所以所以点的轨迹为椭圆，由椭圆定义可得点的轨迹方程为()（2）由（1）可知点的轨迹方程为：()，直线与曲
13、线交于两点，可知，设联立消得解得是以为底的等腰三角形则同理：方法1： 当且仅当，即时取等号方法2： 当且仅当，即时取等号20（1）；（2）.【解析】（1）若，则和为等腰直角三角形所以有，即所以，（2）由题知，设，由，得，所以 ，代入，得即，解得所以，所以椭圆方程为21（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设中点为，到准线的距离为，到准线的距离为，到准线的距离为，则且.由抛物线的定义可知，所以，由梯形中位线可得，所以，可得，所以抛物线的标准方程为.（2）证明：设，由，得，则，所以直线的方程为，直线的方程为，联立得，解得，即直线的交点坐标为.因为过焦点，由题可知直线的斜率存在，故可设直线方程为，代入抛物线中，得，所以，故，所以的交点在定直线上22（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）因为抛物线过点，所以，抛物线方程为.（2）设，直线的方程为，联立，整理得，则，故为定值.
