1、高二数学选择性必修第一册专题：双曲线设计师：宁永辉第一部分：双曲线的定义与方程推理一、双曲线的定义与定义式，如下表所示：双曲线的定义标准定义：到两个定点的距离之差为定长的动点轨迹。其中两个定点为双曲线的两个焦点，定长为。实用定义：双曲线上一点到两个焦点的距离之差为。双曲线的定义式定义式：。其中：点为双曲线上一点，点和点为两个焦点。二、双曲线的方程推理，如下表所示：焦点在轴上双曲线方程的推理焦点在轴上双曲线方程的推理以两个焦点和的中点为原点；以两个焦点和的连线为轴；以焦距的中垂线为轴。以两个焦点和的中点为原点；以两个焦点和的连线为轴；以焦距的中垂线为轴。如下图所示：如下图所示：假设部分：假设：双
2、曲线上任意一点；假设：两个焦点之间的距离（焦距）的长度：；左焦点，右焦点。假设部分：假设：双曲线上任意一点；假设：两个焦点之间的距离（焦距）的长度：。下焦点，上焦点。推理部分：根据双曲线的定义得：。根据两点之间的距离公式得到：假设：。方程两边平方得到：。方程两边平方得到：。假设：。所以：焦点在轴上的双曲线的方程：。推理部分：根据双曲线的定义得：。根据两点之间的距离公式得到：假设：。方程两边平方得到：。方程两边平方得到：。假设：。所以：焦点在轴上的双曲线的方程：。三、双曲线的性质与图象，如下表所示：焦点在轴上双曲线焦点在轴上双曲线方程关系焦距焦点左焦点，右焦点下焦点，上焦点定义式其中：点为双曲线
3、上一点，点和点为两个焦点。其中：点为双曲线上一点，点和点为两个焦点。左右顶点左顶点，右顶点。没有左右顶点。上下顶点没有上下顶点。下顶点，上顶点。实轴长虚轴长图象四、双曲线的离心率与准线，如下表所示：离心率离心率的定义：圆锥曲线上一点到焦点的距离与该点到准线的距离的比值，用表示离心率。离心率的测量值：。准线焦点在轴焦点在轴左准线：，右准线：左准线：，右准线：推理：如下图所示：取双曲线上的右顶点。右顶点到右焦点的距离为：；右顶点到右准线的距离为。根据离心率的定义得：。根据离心率测量值得：。推理：如下图所示：取双曲线上的上顶点。上顶点到上焦点的距离为：；上顶点到上准线的距离为。根据离心率的定义得：。
4、根据离心率测量值得：。第二部分：双曲线的定义题型一、二元一次返程组题型。（1）二元一次方程组题型例题讲解，如下表所示：例题本题解析例题一：2021年高考理科数学全国甲卷第5题：已知、是双曲线的两个交点，为上一点，且，则的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、解：。根据双曲线的定义得到：。把代入得到：，。焦距。如下图所示： 根据余弦定理得到： 双曲线离心率为。例题二：2013年高考理科数学湖南卷：设、分别为双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为 。解：假设：。根据双曲线的定义得到：。联立得到：，。焦距：。如下图所示： ， 为的最 短边长的对角为 最小内角。余弦定理得：
5、。所以：双曲线的离心率为。例题三：2014年高考理科数学重庆卷第8题：设、为双曲线（，）的左、右焦点，双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率为（ ）A、 B、C、 D、解：假设：。根据双曲线的定义得到：。联立得到：，。，十字相乘法解方程。 ， 成立。所以：双曲线的离心率为。例题四：2014年高考理科数学湖北卷第9题：已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之积的最大值为（ ） A、 B、 C、 D、解：假设：。根据椭圆的定义得到：。根据双曲线的定义得到：。联立得到：，。焦距。如下图所示： 根据余弦定理得到： 。根据基本不等式得到：。所以：椭圆和双曲线的
6、离心率的倒数之积的最大值为。（2）二元一次方程组题型跟踪训练，如下表所示：跟踪训练解答区域训练一：2020年高考理科数学新课标3卷第11题：设双曲线：（，）的左、右焦点分别为和，离心率为，是上一点，而且。若的面积为，则（ ） A、 B、 C、 D、解：训练二：2014年高考理科数学全国卷第9题：已知双曲线的离心率为，焦点、，点在上。若，则（ ） A、 B、 C、 D、解：训练三：设、为双曲线（，）的左、右焦点，双曲线上存在点使，且，则该双曲线的离心率为 。解：训练四：设、为双曲线：（，）的左、右焦点，是上一点，且，则双曲线的离心率 。（3）二元一次方程组题型跟踪训练参考答案，如下表所示：跟踪训
7、练一：选项跟踪训练二：选项跟踪训练三：跟踪训练四：或者二、满足双曲线定义的动点轨迹题型。（1）满足双曲线定义的动点轨迹题型例题讲解，如下表所示：例题本题解析例题一：2021年高考数学新高考1卷第21题：在平面直角坐标系中，已知点，点满足。记的轨迹为。求的方程。解：根据双曲线的定义得到：点的轨迹为双曲线，为双曲线的两个焦点，。点代表双曲线的右支。所以：的方程：（）。例题二：已知：圆的方程：，圆的方程：，动圆与圆和圆都外切。计算：圆心的轨迹方程。解：圆：圆心，。圆：圆心，。假设：动圆的圆心，半径为。动圆与圆外切。动圆与圆外切。-得到：的轨迹为双曲线，和为两个焦点，。的轨迹代表双曲线左支。所以：圆心
8、的轨迹方程：（）。（2）满足双曲线定义的动点轨迹题型跟踪训练，如下表所示：跟踪训练解答区域训练一：在平面直角坐标系中，点，点满足。记的轨迹为。求的方程。解：训练二：已知：圆的方程：，圆的方程：，动圆与圆和圆都外切。计算：圆心的轨迹方程。解：（3）满足双曲线定义的动点轨迹题型跟踪训练参考答案，如下表所示：训练一：（）训练二：（）三、用双曲线焦点与定义计算双曲线方程题型。（1）用双曲线焦点与定义计算双曲线方程例题讲解，如下表所示：例题本题解析例题一：、为曲线：（，）的左、右焦点，为上一点。计算：双曲线的方程。解：根据两点之间的距离公式得到：；。根据双曲线的定义得到：。焦点，。所以：双曲线的方程：。
9、例题二：焦距为的双曲线：（，），为上一点。计算：双曲线的方程。解：焦距为左、右焦点，。根据两点之间的距离公式得到：；。根据双曲线的定义得到：。所以：双曲线的方程：。（2）用双曲线焦点与定义计算双曲线方程跟踪训练，如下表所示：跟踪训练解答区域训练一：、为曲线：（，）的左、右焦点，为上一点。计算：双曲线的方程。解：训练二：焦距为的双曲线：（，），为上一点。计算：双曲线的方程。解：（3）用双曲线焦点与定义计算双曲线方程跟踪训练参考答案，如下表所示：训练一：训练二：四、计算双曲线上一点到焦点的距离题型。（1）计算双曲线上一点到焦点的距离例题讲解，如下表所示：例题本题解析例题一：2015年高考理科数学福
10、建卷第3题：若双曲线：的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ） A、 B、 C、 D、解：双曲线：。根据双曲线的定义得到：。分类讨论：（1），不成立。（2），成立。所以：。例题二：若双曲线的方程为：，和为双曲线的两个焦点，若，则 。解：双曲线：。根据双曲线的定义得到：。分类讨论：（1），成立。（2），成立。所以：或者。（2）计算双曲线上一点到焦点的距离跟踪训练，如下表所示：跟踪训练解答区域训练一：若双曲线：的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ） A、 B、 C、 D、或解：训练二：若双曲线：的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 。解：（3）计算双曲线上一点到焦点的距离跟踪训练
11、参考答案，如下表所示：训练一：选项训练二：第三部分：双曲线的性质题型一、计算双曲线的参数值的题型。（1）计算双曲线的参数值的例题讲解，如下表所示：例题本题解析例题一：2021年高考理科数学全国乙卷第13题：已知双曲线：（）的渐近线为，则的焦距为 。解：双曲线：的渐近线：。渐近线：。所以：。，的焦距为。例题二：2020年高考数学江苏卷第6题：在平面直角坐标系中，若双曲线的方程（）的一条渐近线方程，则该双曲线的离心率为 。解：双曲线的渐近线：。渐近线：。所以：，。所以：该双曲线的离心率为。（2）计算双曲线的参数值的跟踪训练，如下表所示：跟踪训练解答区域训练一：2019年高考文科数学北京卷第5题：已
12、知双曲线（）的离心率是，则（ ） A、 B、 C、 D、解：训练二：2019年高考数学江苏卷第7题：在平面直角坐标系中，若双曲线的方程（）经过点，则该双曲线的渐近线方程是 。解：训练三：2018年高考文科数学北京卷第12题：若双曲线（）的离心率为，则 。解：训练四：2017年高考文科数学新课标3卷第14题：双曲线（）的一条渐近线方程为，则 。解：训练五：2017年高考数学北京卷文科第10题理科第9题：若双曲线的离心率为，则实数 。解：（3）计算双曲线的参数值的跟踪训练参考答案，如下表所示：训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：二、双曲线的离心率与渐近线的题型。（1）双曲线的离心率与渐近线的例
13、题讲解，如下表所示：例题本题解析例题一：2021年高考数学新高考2卷第13题：已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程 。解：离心率为。双曲线的渐近线：。例题二：2019年高考文科数学新课标1卷第10题：双曲线：的渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ）、A、 B、C、 D、解：双曲线的渐近线：。渐近线的倾斜角为。的离心率为。（2）双曲线的离心率与渐近线的跟踪训练，如下表所示：跟踪训练解答区域训练一：2018年高考数学新课标2卷文科第6题理科第5题：双曲线（）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A、 B、C、 D、解：训练二：2020年高考文科数学新课标3卷第14题：已知双曲线：（，）的一条
14、渐近线方程为，则的离心率为 。解：训练三：2019年高考数学浙江卷第2题：渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、解：（3）双曲线的离心率与渐近线的跟踪训练参考答案，如下表所示：训练一：选项训练二：训练三：选项三、距离题型。（1）距离题型的例题讲解，如下表所示：例题本题解析例题一：2021年高考文科数学全国乙卷第14题：双曲线的右焦点到直线的距离为 。解：双曲线，。右焦点。右焦点到直线的距离：。例题二：2021年高考文科数学全国甲卷第5题：点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）A、 B、 C、 D、解：双曲线的渐近线：。点到渐近线的距离：。答案：选项。（2）距离题型的跟踪训练
15、，如下表所示：跟踪训练解答区域训练一：2018年高考文科数学新课标3卷第10题：已知双曲线：（，）的离心率为，则点到的渐近线的距离为（ ）A、 B、 C、 D、解：训练二：2018年高考数学江苏卷第8题：在平面直角坐标系中，若双曲线的方程（，）的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 。解：（3）距离题型的跟踪训练参考答案，如下表所示：训练一：选项训练二：四、双曲线基本性质题型。（1）双曲线基本性质的例题讲解，如下表所示：例题本题解析例题一：2021年高考数学北京卷第5题：双曲线过点，且离心率为则该双曲线的标准方程为（ ）A、 B、C、 D、解：离心率为。过点。所以：。例题二：2020年
16、高考数学北京卷第12题：已知双曲线：，则的右焦点的标为 ，的焦点到其渐近线的距离是 。解：双曲线，。右焦点。双曲线的渐近线：。焦点到渐近线的距离：。例题三：2017年高考文科数学新课标2卷第5题：若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、解：双曲线。，离心率的取值范围：。（2）双曲线基本性质的跟踪训练，如下表所示：跟踪训练解答区域训练一：2018年高考数学浙江卷第2题：双曲线的焦点坐标是（ ） A、B、C、D、 解：训练二：2017年高考文科数学天津卷第5题：已知双曲线的方程（，）的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A、 B、C、 D、解：（3）双曲线基本性质的跟踪训练参考答案，如下表所示：训练一：选项训练二：选项
