1、抚松一中2021-2022年上学期高二年期末复习题二一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】故选：C2. （2021首都师范大学附属中学高二期中）直线与直线垂直，则的值为（ ）ABC或D或【答案】C【分析】由直线一般式方程下的垂直的公式列式求解即可得答案.【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,即:,解得或.故选：C3.已知等比数列的公比为正数，若，则（ ）ABCD【答案】C【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，而，所以，故选：C4. 如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别
2、为棱，的中点，则以下四个结论错误的是（ ）AB若为直线上的动点，则为定值C点A到平面的距离为D过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为【答案】C【分析】由平行公理可判断A；由数量积的定义可判断B；由等体积法可判断C；由截面面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆可判断D.【详解】对于选项A：连结，正方体中，而M，N分别为棱，的中点，则，所以，故A正确；对于选项B：设与的夹角为，由上图可知，所以，故B正确；对于选项C：连接，设点到平面的距离为，由得，又，则，所以，故C错误；对于选项D：连接交于点，则是的中点. 正方体外接球球心是正方体对角线的中点，半径. 由对称性知过MN作该正方体外接球
3、的截面，所得截面的面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为.易得.故截面圆半径. 此时截面圆面积为，故D正确故选：C5. 已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为ABC或D或【答案】D【详解】 由题意得，圆的圆心坐标为，半径.因为为正三角形，则圆心到直线的距离为， 即，解得或，故选D.6. 如图所示，在三棱柱中，底面，点，分别是棱，的中点，则直线与所成的角是（ ）ABCD【答案】C如图所示，建立空间直角坐标系由于，不妨取，则，又，即直线与所成的角为.故选：C7. 已知直线过椭圆的右焦点F，且交椭圆于A、B两点.若线段AB的中点为P，直线OP的斜率为-1，则椭圆的方程
4、为（ ）ABCD【答案】D【分析】根据直线过椭圆的右焦点F，易得c，再根据点A、B在椭圆上，且线段AB的中点为P，利用点差法，结合直线OP的斜率为-1求解.【详解】设，则，-得，整理可得，即，又直线过椭圆的右焦点，即，所以，故选：D.8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与其中一条渐近线平行的直线与交于点，若为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据双曲线的定义，利用边角关系列方程求解，即可求出结论【详解】如图，设，由题意可得，解得，则故选：A9. 设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为ABCD【答案】D【详
5、解】方法一：公式法S=方法二：“小题大做”联立方程法由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得： ，设A、B ，则所求三角形的面积为= ，故选D. 10. 已知等差数列满足，是数列的前n项和，则使取最大值的自然数n是（ ）A4B5C6D7【答案】B【详解】设等差数列的公差为d，依题意，解得：，于是得，由得，因此，数列是递减等差数列，其前5项均为正，从第6项开始为负，则其前5项和最大，所以使取最大值的自然数n是5.故选：B11.已知，分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的离心率为（ ）ABC2D3【答案】D【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，如图，
6、因为所以，因为，所以，由题易知|，因为，所以则化简整理得又，即所以双曲线的离心率为 故选：D12. 已知抛物线：的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则结论不正确的是（ ）A若，则B以为直径的圆与准线相切C设，则 D过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】D【详解】对于选项A：由可得，根据抛物线的定义可得，故选项A正确；对于选项B：设为中点，设点在上的射影为，点在上的射影为，则由梯形性质可得，故选项B正确；对于选项C：因为，所以，故选项C正确；对于选项D：显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过 的直线为，联立可得，令，解得：，所以直线与抛物线也只有一个公共
7、点，此时有三条直线符合题意，故选项D错误；故选：D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 两圆相交于两点和，两圆圆心都在直线上，且、均为实数，则_【答案】【分析】设两圆交点为和，根据题意可知：直线是线段的垂直平分线，故可求得所在直线斜率，进而求得，在利用中点公式和的值求出线段中点，代入，即可求出的值，即可得的值.【详解】由题意可知：直线时线段的垂直平分线，又直线的斜率为，则，且，解得，则，故答案为：14.设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于不同的两点，为抛物线的准线与轴的交点，若，则_.【答案】6【分析】抛物线的焦点为，设直线方程为，与抛物线方程联立，消去，得到关于的一元
8、二次方程，设，不妨设，根据韦达定理得出关系，可证，可得，设的倾斜角为，求出，进而求出直线的方程，根据对称性，直线与抛物线的另一个交点与关于轴对称，将直线方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理，求出，即可得出结论.【详解】抛物线的焦点为，设直线方程为，联立，消去，得，不妨设，设直线的倾斜角为，整理得，解得或（舍去）直线方程为，根据对称性，直线与抛物线的另一个交点与关于轴对称，联立消去得，由抛物线的定义得.故答案为:6.【点睛】本题考查抛物线的性质，利用抛物线的对称性是解题的关键，本题考查直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握相交弦长公式，考查计算能力，属于较难题.15.已知数列的前项和，则_，的最
9、大值为_.【答案】 【详解】当时，当时，检验时，所以，则.当时，.当时，故的最大值为.故答案为：，16. 已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点作直线与抛物线交于、两点，且，双曲线的左焦点到直线的距离大于，则双曲线的离心率的取值范围是_.【答案】【分析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得出，代入韦达定理求出的值，可得出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可得出关于、所满足的不等式，由此可解得双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意得，设直线的方程为，设点、.由消去得，由韦达定理可得，.又，即，所以，.将代入得，将代入得，再由解得，故直线的斜率为.又
10、抛物线的焦点是双曲线的右焦点，所以，直线的方程即为.由双曲线的左焦点到直线的距离，解得，即，又，即，又，所以，双曲线的离心率.故答案为：.三、 解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10分） 已知的三个顶点分别为,（1）求边上的中线所在直线的一般式方程（2）求的面积【答案】（1）;（2）7【分析】（1）先求的中点:.再结合点可得边上的中线所在直线的一般式方程.（2）先求的距离,再求点到直线的距离,利用公式即可得的面积.【详解】解:（1）因为,则边上的中点：.可得中线所在直线的一般式方程：化简得：故边上的中线所在直线的一般式方程为.（2）,直线
11、的方程为：,化为：点到直线的距离的面积.【点睛】本题考查直线方程的求法和求三角形的面积,重点用到了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.18.（本小题12分） 已知圆，直线.(1)求证：对 ，直线与圆总有两个不同的交点；(2)若直线与圆交于两点，当时，求的值【答案】（1）略 （2）【详解】试题分析：（1）先证明直线恒过定点，再证明点P在圆内即可（2）将直线方程与圆方程联立消元后得到一个二次方程，运用根据系数的关系及弦长公式求得，进而得到直线的倾斜角为或.试题解析：（1）证明：直线，令，解得直线恒过定点，点在圆内，直线与圆总有两个不同的交点. （2）由消去整理得，显然 设，是一元二次方
12、程的两个实根， ，解得，即直线的斜率为直线的倾斜角为或.19.（本小题12分） 已知在等差数列中，（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设等差数列的公差为，根据，列出和的方程组，进而求出和，即可求出的通项公式；（2）由（1）可知，根据裂项相消法即可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，由，可得解得，所以等差数列的通项公式可得;（2） 由（1）可得，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.20.（本小题12分） 已知抛物线：()的焦点与双曲线：右顶点重合.（1）求抛物线的标准方程；（2）设
13、过点的直线与抛物线交于不同的两点，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由双曲线和抛物线的几何性质，即可求解；（2）设，及直线的方程，与抛物线的方程联立，由判别式韦达定理得出，结合已知条件求出的值，即可求得直线的方程.【详解】（1）由题设知，双曲线的右顶点为，解得，抛物线的标准方程为.（2）设，显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，联立，消去得，由得，即，.又，即，解得或，直线的方程为或.21.（本小题12分） 如图，在正三棱柱与四棱锥组成的组合体中，底面恰好是边长为2菱形，且（1）求证：平面（2）设E是的中点，求直线与直线所成角的余弦值【答案】（1）证明见
14、详解；（2）.【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.（2）以菱形的中心为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求解.【详解】（1）连接，在正三棱柱中，且，为菱形，则且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，所以平面.（2）四边形为菱形，可得，取的中点，连接，为正三棱柱，则平面，以为原点，为轴，以为轴建立空间直角坐标系，如图：为正三角形，设直线与直线所成角为，.所以直线与直线所成角的余弦值.22.（本小题12分）已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线： 与圆相切：（）求圆的标准方程；（）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点，与圆交于不同的两点，求的取值范围【解析】(1) 椭圆经过点， ，解得 ，解得 椭圆的标准方程为 (2) (i)圆的标准方程为,圆心为，直线： 与圆相切，圆的半径, 圆的标准方程为 （）由题可得直线的斜率存在,设, 由消去整理得，直线与椭圆交于不同的两点， ，解得设,则 ， 又圆的圆心到直线的距离, 圆截直线所得弦长, ， 设则, , ， ，的取值范围为
