1、2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）专题1 空间向量及其运算一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列命题中，假命题是（ ）A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于0D共线的单位向量都相等2向量互为相反向量，已知3，则下列结论正确的是（ ）AB为实数0C 与方向相同D33如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（ ）ABCD4已知向量是平面的两个不相等的非零向量，非零向量是直线的一个方向向量，则且是l的（ ）A充分不必要条件B必
2、要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5下列说法中正确的是（）A若=，则、的长度相等，方向相同或相反B若向量是向量的相反向量，则=C空间向量的减法满足结合律D在四边形中，一定有6如图，在四棱柱的上底面中，则下列向量相等的是（）A与B与C与D与7在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）ABCD8已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60，则此平行六面体的对角线AC1的长为（ ）A6BC3D二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9下列命题是真命题的是（ ）A若，则的长度相等而方向相同或相反B空间中的三
3、个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C若两个非零向量与满足，则D若空间向量，满足，且与同向，则10（多选题）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（ ）ABCD11如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A平面平面B不是定值C三棱锥的体积为定值D12在四面体中，以上说法正确的有（ ）A若，则可知B若为的重心，则C若，则D若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则 三、填空题：本题共4小题13在正方体中，点是的中点，已知，用表示，则_.14已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，则_._.15设，是平面内不共线的向量，已知，若A，B，D三点
4、共线，则_.16平行六面体 中，已知底面四边形为正方形，且，其中，设 ，体对角线，则的值是_.四、解答题：本题共6小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在正方体ABCDA1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO求证：AOCD118在空间四边形ABCD中，连结ACBD，的重心为G，化简.19下面给出了两个空间向量，作出. 20如图所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.21已知：m，n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln求证：l22
5、如图，已知、为空间的个点，且，.求证：（1）、四点共面，、四点共面；（2）；（3）.参考答案1D【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D.2D【解析】向量互为相反向量，则模相等、方向相反.故选：D.3C【解析】解：因为，所以，在平行六面体中，故选：C4B【解析】当不共线时，由且，可推出l；当为共线向量时，由且，不能够推出，所以且是l的不充分条件；若，则一定有且，所以且是l的必要条件.故选：.5B【解析】对于A，向量的模相等指
6、的是向量的长度相等，方向具有不确定性，因而不一定方向相同或相反，所以A错误；对于B，相反向量指的是大小相等，方向相反的两个向量，因而相反向量满足模长相等，所以B正确；对于C，空间向量减法结合律指的是，因而由运算可得空间向量减法不满足结合律，所以C错误；对于D，满足的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D错误.故选：B.6D【解析】由 知四棱柱是平行六面体，所以每个面是平行四边形对于A，与的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误;对于B，与的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误;对于C，与的方向成，不是相同方向，因而不是相等向量，所以C错误;对于D，与的方向相同，大小相等，属于相等向量
7、，因而D正确.故选：D7C【解析】空间的四点M、A、B、C四点共面，只需满足，且即可，对于A，中，故此时四点M、A、B、C四点不共面；对于B，中，此时四点M、A、B、C四点不共面；对于C，即，此时四点M、A、B、C四点共面；对于D，则，此时四点M、A、B、C四点不共面；故选：C8B【解析】，即AC1的长为.故选：B9BC【解析】A. 若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则与第三个向量必然共面，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；C. 若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；D. 若空间向量，满足
8、，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.故选：BC10ABC【解析】作出平行六面体的直观图，如图知每个面都是平行四边形，可得，则A正确；，则B正确；由平行六面体性质,则C正确；，则D不正确.故选：ABC.11ACD【解析】A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；B.，故，故B不正确；C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确；D.，所以平面，平面，所以，故D正确.故选：ACD12ABC【解析】对于 ， ， ，即，故正确；对于，为的重心，则，,即，故正确；对于，若，则，,，故正确； 对于，故错误.故选：ABC13【解析】又
9、是的中点,，.故答案为：.143 【解析】设，则由题意得：，故答案为：；.15【解析】由题意，又，且A、B、D三点共线，由共线向量定理得，存在实数使得成立，即，则，解得.故答案为：.16【解析】，故, ，其中，设 ，代入化简 ，解得或（舍去） .故答案为：17证明见解析.【解析】 ，即AOCD1.18【解析】设E为BC的中点，则，又为的重心，则，所以19答案见解析【解析】如图，空间中的两个向量相加时，我们可以先把向量，平移到同一个平面内，以任意点O为起点作，则，.20答案见解析21证明见解析【解析】设直线m的方向向量为，直线n的方向向量为，直线l的方向向量为，m，n是平面内的两条相交直线与是平面内的两个不共线向量，设平面内的任一向量为，由平面向量基本定理，存在唯一实数，使又lm，ln，直线l垂直于平面内的任意直线，由线面垂直的定义得：l22详见解析【解析】证明：（1），A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面（2），.（3）.
