1、新课程高二年级期末全真模拟试卷三数 学考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知数列an的前4项为：-12,34,-58,716，则数列an的通项公式是( )A. an=2n-12nB. an=(-1)n(2n-1)2nC. an=2n+12nD. an=(-1)n(2n+1)2n2. 双曲线x23-y26=1的焦点到渐近线的距离为( )A. 63B. 2C. 3D. 63. 若直线2x+y+m=0与圆x2+2x+y2-2y-3=0相交所得弦长为25，则m=( )A. 1B. 2C. 5D.
2、34. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，若AB=(2,-1,-4)，AD=(4,2,0)，AP=(-1,2,-1)，则下列结论错误的是（ ）A. APABB. APADC. AP是平面ABCD的一个法向量D. AP/BD5. 已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1ab0的左、右焦点，点P在椭圆上，且F1PF2=2.记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点若F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1:2，则该椭圆的离心率是( )A. 2-3B. 23-3C. 4-23D. 3-16. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离
3、是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线己知ABC的顶点A4,0，B0,2，且AC=BC，则ABC的欧拉线方程为( )A. x-2y+3=0B. 2x+y-3=0C. x-2y-3=0D. 2x-y-3=07. 设等差数列an的前n项和为Sn，若S3=6，S6=3，则S12=( )A. -3 B. -12 C. -21 D. -308. 设F1,F2为椭圆C1:x2a2+y2b2=1ab0与双曲线C2的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M，MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且MF1=2.若椭圆C1的离心率e38,49，则双曲线C2离心率取值范围是( )A. 54
4、,53B. 32,+)C. (1,4D. 32,4二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的9. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中不正确的是( )A. AC1=6B. AC1BDC. 向量B1C与AA1的夹角是60D. BD1与AC所成角的余弦值为6310. 下面叙述错误的是()A. 经过点P(1,1)，倾斜角为的直线方程为y-1=tan(x-1)B. 若方程x2+y2-2x+2y+m=0表示圆，则m0,b0)的左焦点F(-1,
5、0)，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，AOB的面积为32，则下列结论正确的是( )A. 双曲线方程为4x2-4y23=1B. 双曲线C的两条渐近线所成的角为60C. F到双曲线C的渐近线的距离为3D. 双曲线的离心率为212. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，点P在l上的射影为P1，则()A. 若x1+x2=6.则|PQ|=8B. 以PQ为直径的圆与准线l相切C. 设M(0,1)，则|PM|+|PP1|2D. 过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条三、填空题：本大题共
6、4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13. 已知数列an满足a1=2,an+1=1-1an，则a2019=_14. 若曲线y=4-x2+2与直线y=x+b相切，切线方程为_15. 已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1ab0与双曲线C2：x2m2-y2n2=1m0,n0，且满足a2-b2=m2+n2，设点P是C1与C2在第一象限的公共点，C1与C2的离心率分别为e1，e2，若F1PF2=3，则e1e2的最小值为16. 抛物线y2=8x的焦点为F，点A6,3,P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则PAF周长的最小值为四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说
7、明、证明过程或演算步骤17. （本题10分）已知数列an中，a1=2，an=2-1an-1(n2,nN*)，设bn=1an-1(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列(2)求an的通项公式18. （本题12分）已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0(1)若直线l过点(-2,0)且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且PM=PO，求PM的最小值19. （本题12分）已知RtABC如图(1)，C=90，D.E分别是AC，AB的中点，将ADE沿DE折起到PDE位置(即A点到P点位置)如图(2)使PDC=60(I)求证：BCPC()若BC
8、=2CD=4，求点D到平面PBE的距离20. （本题12分）设曲线C：x2=2py(p0)上一点M(m,2)到焦点的距离为3 ()求曲线C方程 ()设P，Q为曲线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点O，试问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由21. （本题12分）从ABBC 直线SC与平面ABCD所成的角为60 ACD为锐角三角形且三棱锥S-ACD的体积为2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点(1)求证：直线EF/平面SAD(
9、2)若SA=23，AD=2， 求平面SBC与平面SCD所成锐二面角的余弦值注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分22. （本题12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，且过点1,22，若点Mx0,y0在椭圆C上，则点Nx0a,y0b称为点M的一个“椭点”(1)求椭圆C的标准方程(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点O，试判断AOB的面积是否为定值若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由答案和解析一、单选题：B D A D D D D D二、多选题：ACD AC ABD ABC三、
10、填空题： -1 x-y-22-2=0 32 13四、解答题：17、(1)证明：因为an=2-1an-1，所以an+1=2-1an所以bn+1-bn=1an+1-1-1an-1=12-1an-1-1an-1=an-1an-1=1所以bn是首项为b1=12-1=1，公差为1的等差数列 (2)解： 由(1)知bn=n故解得an=1+1n所以an的通项公式为an=1+1n18、解：(1)根据题意，圆C的方程为：x2+y2+2x-4y+3=0化简得(x+1)2+(y-2)2=2，其圆心为(-1,2)，半径为2当直线l的斜率不存在时，其方程为x=-2易求直线l与圆C的交点为A(-2,1)，B(-2,3)，
11、|AB|=2，符合题意当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0则圆心C到直线l的距离d=|-k-2+2k|k2+1=(2)2-1=1，解可得k=34所以直线l的方程为3x-4y+6=0综上，直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0 (2)如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CMPM所以PMC为直角三角形，即|PM|2=|PC|2-|MC|2设P(x,y)，由(1)知C(-1,2)，|MC|=2因为|PM|=|PO|，所以(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2化简得点P的轨迹方程为2x-4y+3=0求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原点O到
12、直线2x-4y+3=0的距离代入点到直线的距离公式可求得|PM|的最小值为|3|22+(-4)2=351019、解：(I)证明：RtABC如图(1)，C=90 D，E分别是AC，AB的中点 将ADE沿DE折起到PDE位置(即A点到P点位置)如图(2)使PDC=60 DEDC，DEPD，DE/BC PDDC=D，且PD，DC平面PCD DE平面PCD BC平面PCD PC平面PCD BCPC ()解：D.E分别是AC，AB的中点，PDC=60，BC=2CD=4 CD=PD=PC=2 取CD中点O，BE中点M，连接PO，MO，则OP，OD，OM两两垂直 以O为原点，OD为x轴，OM为y轴，OP为z
13、轴，建立空间直角坐标系 则D(1,0,0)，P(0,0,3)，B(-1,4,0)，E(1,2,0) PD=(1,0,-3)，PB=(-1,4,-3)，PE=(1,2,-3) 设平面PBE的法向量n=(x,y,z) 则nPB=-x+4y-3z=0nPE=x+2y-3z=0 取x=1，得n=(1,1,3) 点D到平面PBE的距离为：d=|PDn|n|=25=25520、解：()由抛物线定义得2+p2=3 解得p=2， 所以曲线C方程为x2=4y ()因为以线段PQ为直径的圆过原点O，所以 设直线OP的方程为y=kx(k0) 与曲线C方程x2=4y联立，得x2=4kx 解得x=0(舍去)或x=4k，
14、于是P(4k,4k2) 又直线OQ的方程为y=-1kx 同理：Q(-4k,4k2) 又直线PQ斜率存在，所以PQ的直线方程为y-4k24k2-4k2=x-4k-4k-4k，即y=(k-1k)x+4 故直线PQ恒过定点(0,4)21、(1)证明：如图，取SD的中点M，连接MF，AM，因为SM=MD，SF=FC所以MF=/12CD又因为E为AB的中点，四边形ABCD为菱形所以AE=/12CD 故MF=/AE所以四边形AEFM为平行四边形故EF/AM因为EF平面SAD，AM平面SAD所以直线EF/平面SAD (2)解：若选择条件ABBC因为SA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD所以SA
15、AB，SAAD又因为ABAD所以以A为坐标原点，AB，AD，AS的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,23)所以BC=0,2,0，SC=(2,2,-23)，CD=(-2,0,0)设平面SBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)由mBC=0mSC=0，得2y1=02x1+2y1-23z1=0 令x1=3，则m=(3,0,1)设平面SCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2)由nCD=0nSC=0，得-2x2=02x2+2y2-23z2=0 令y2=3，则n=(0,3,1)平面SBC与平面
16、SCD所成锐二面角，所以cos=mnmn=14故平面SBC与平面SCD所成锐二面角的余弦值14;若选条件直线SC与平面ABCD所成的角为60因为SA平面ABCD所以直线SC与平面ABCD所成角为SCA因为SA=23，SCA=60所以AC=2所以ABC为正三角形取BC的中点N，连接AN，以A为坐标原点，AN，AD，AS的方向分别为x轴，y轴，x轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图则A(0,0,0)，B(3,-1,0)，C(3,1,0)，D(0,2,0)，S(0,0,23)BC=(0,2,0)，SC=(3,1,-23)，CD=(-3,1,0)设平面SBC的一个法向量m=(x1,y1,z1)mBC=
17、0,mSC=0, 即 2y1=0,3x1+y1-23z1=0, 令x1=2，则m=(2,0,1)设平面SCD的一个法向量n=(x2,y2,z2)nCD=0nSC=0 即 -3x2+y2=0,3x2+y2-23z2=0, 令x2=1，则n=(1,3,1)设平面SBC与平面SCD所成锐二面角为，则cos=|mn|m|n|=35所以平面SBC与平面SCD所成锐二面角的余弦值为35若选条件所以sinADC=32因为ADC(0,2)， 所以ADC=3取BC的中点N，连接AN，以A为坐标原点，AN,AD,AS的方向分别为x轴，y轴，x轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图则A(0,0,0)，B(3,-1,0
18、)，C(3,1,0)，D(0,2,0)，S(0,0,23)BC=(0,2,0)，SC=(3,1,-23)，CD=(-3,1,0)设平面SBC的一个法向量m=(x1,y1,z1)mBC=0,mSC=0, 即 2y1=0,3x1+y1-23z1=0, 令x1=2，则m=(2,0,1)设平面SCD的一个法向量n=(x2,y2,z2)，nCD=0nSC=0 即 -3x2+y2=0,3x2+y2-23z2=0, 令x2=1，则n=(1,3,1)设平面SBC与平面SCD所成锐二面角为，则cos=|mn|m|n|=35所以平面SBC与平面SCD所成锐二面角的余弦值为3522、解：(1)由题意可得：ca=22
19、1a2+12b2=1a2=b2+c2a2=2,b2=1 所以椭圆的方程为x22+y2=1； (2) 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则P(x12,y1),Q(x22,y2)由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以OPOQ=0，即x1x22+y1y2=0 x22+y2=1y=kx+m(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0即2k2+1-m20 x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-22k2+1 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=m2-2k22k2+1代入x1x22+y1y2=0 得 m2-12k2+1+m2-2k22k2+1=02m2=2k2+1 |AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k216k2-8m2+81+2k2点O到直线AB的距离为d=|m|1+k2=121+k216k2-8m2+81+2k2|m|1+k2=1222m2(1+2k2)=22所以的面积为定值22
