1、2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）专题3 用空间向量研究直线、平面的位置关系一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如图，在正方体ABCD中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是A(1，2，4)B(4,1，2)C(2，2，1)D(1，2，2)2若平面，则下面可以是这两个平面法向量的是（ ）A BC D 3若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（）A，B，C，D，4若不重合的直线的方向向量分别为，则ABC相交但不垂直D不能确定5若直线l过点A(-1，3，4)，
2、B(1，2，1)，则直线l的一个方向向量可以是（ ）ABCD6若两个向量,则平面的一个法向量为ABCD7如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值为（ ）ABCD8设，是不重合的两个平面，的法向量分别为，l和m是不重合的两条直线，l，m的方向向量分别为，那么的一个充分条件是（ ）Al，m，且Bl，m，且C，且D，且二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使l的是（ ）A=(1，0，0)，=(-2，0，0)B=(1，3，5)，=(1，0，1)C=(0，2，1)，=(-1，
3、0，-1)D=(1，-1，3)，=(0，3，1)10已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（ ）ABC是平面ABCD的一个法向量D11如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等下列结论中正确的是（ ）AA1MD1PBA1MB1QCA1M平面DCC1D1DA1M平面D1PQB112在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（ ）A和AC垂直B和AA1垂直C和MN垂直D与AC，MN都不垂直三、填空题：本题共4小题13平面的法向量，平
4、面的法向量，已知，则_.14给出下列命题：若为共面向量，则所在的直线平行；若向量所在直线是异面直线，则一定不共面；平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量其中正确命题的个数为_.15已知的三个顶点坐标分别为、，平面的单位法向量为_.16已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ，则 _四、解答题：本题共6小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知正方体中，为棱上的动点（1）求证：；（2）若平面平面，试确定点的位置18在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA=2，DC=3，DD1=4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B
5、1C1的中点.求证：平面AMN平面EFBD.19如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点.求证：平面.20如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，求平面的一个法向量.21 已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点，点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内，且PM平面BB1D1D，试探讨点P的确切位置.22在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQBD1.参考答案1B【解析】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），=（0，2，1）
6、，=（1，0，2）设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量则，取y=1，得x=4，z=2=（4，1，2）是平面AEF的一个法向量因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量故选B2D【解析】因为平面，所以两个平面的法向量应该平行，只有D项符合.故选：D.3D4A【解析】解：因为，所以.又直线不重合，所以平行.故选：.5D【解析】，故选：D.6A【解析】设平面ABC的法向量为，则，即，令，则，即平面ABC的一个法向量为，故选A.7B【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量，则，取，得，设，则，平行于平面，整理得，线段长度，当且仅当时，线段长度取最小值.故选：
7、B.8C【解析】对于A，由线面垂直的性质可知，只要l，m，都有，并不能说明，则A错误；对于B，若l，m，且，则平面，平行或者相交，则B错误；对于C，由，且可得，则，则C正确；对于D，若，且，则平面，平行或者相交，则D错误；故选：C9ABC【解析】若l，则需，即，根据选择项验证可知：A中，；B中，；C中，；D中，；综上所述，选项A，B，C符合题意故选：ABC.10ABC【解析】因为，所以，A正确；因为，所以，B正确；由,，可得是平面ABCD的一个法向量，C正确；BD在平面ABCD内，可得，D错误故选：ABC11ACD【解析】依题意可知，所以四点共面.因为，所以，则，结合线面平行的判定定理可知AC
8、D正确.而与不平行，所以B不正确.故选：ACD12AC【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为2a，则D(0，0，0)，D1(0，0，2a)，M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)，(a，a，a)，(0，a，a)，(2a，2a，0)，0，0，OMAC，OMMNOM和AA1不垂直.故选：AC13【解析】，则，设，则，解得，因此，.故答案为：.142【解析】若为共面向量，则所在的直线不一定平行，错误；若向量所在直线是异面直线，则可以平移到一个平面内，错误；同一平面的法向量不唯一，但它
9、们都与平面垂直，所以平行，正确；平行于一个平面的向量，与平面内的某一向量平行，所以垂直于这个平面的法向量，正确，所以正确命题的个数为2，故答案为2.15或【解析】由题意可得，设平面的法向量为，由，得，令，得，可得，则.所以，平面的单位法向量为或.故答案为：或.16【解析】因为直线 的方向向量，平面 的法向量， ，所以，即，解得，故答案为.17（1）证明见解析；（2）E为CC1的中点18证明见解析【解析】证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，3，0)，M(1，0，4)，N，E，F(1，3，4).，.MNEF，AMBF.MN平面EFBD，AM平面EFBD.又MNAM=M，
10、平面AMN平面EFBD.19证明见解析【解析】证明：建立如图所示的空间直角坐标系.设，连接，则点的坐标分别是，.所以.又点的坐标分别是，所以.所以，且，所以.又因为平面，平面，所以平面.20【解析】解：如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得，于是，.设平面的法向量为，则，于是取，则，故平面的一个法向量为.21点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.【解析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.根据题意可设A(a，0，0)，B(a，b，0)，D1(0，0，c)，P(0，y，z)，C(0，b，0)，则M.又PM平面BB1D1D，根据空间向量基本定理知，必存在实数对(m，n)，使得=m+n，即=(ma，mb，nc)，即解得则点P的坐标为.所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.22证明见解析【解析】证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，=(1，0，1)，=(-1，1，0)，设=(a，b，c)，则即取=(1，1，-1).易知，即PQBD1.
