1、空间向量的数量积运算1.19,1,.ABCDACOOAOEOFOGOHOB OC ODE F G HOAOBOCODkE F G H 如如图图已已知知平平行行四四边边形形过过平平面面外外一一点点作作射射线线在在四四条条射射线线上上分分别别取取点点使使求求证证：四四点点共共面面例例,.E F G HEH EF EGAD AB ACAD AB ACEH EF EG 分分析析： 欲欲证证四四点点共共面面 只只需需证证明明共共面面. .而而由由已已知知共共面面 可可以以利利用用向向量量运运算算由由共共面面的的表表达达式式推推得得共共面面的的表表达达式式,.OEOFOGOHkOAOBOCODOEkOA
2、OFkOB OGkOC OHkOD 因因为为所所以以,.ABCDACABAD 因因为为四四边边形形是是平平行行四四边边形形 所所以以()()EGOGOEkOCkOAkACk ABADk OBOAODOAOFOEOHOEEFEH 因因此此,.EH EF EGEH EF EGEE F G H 由由向向量量共共面面的的充充要要条条件件可可知知共共面面又又过过同同一一点点从从而而四四点点共共面面复习：复习：一、共线向量定理：一、共线向量定理： (0)/ / ab babab , ， 空空间间中中任任意意两两个个向向量量共共线线( () )的的充充要要条条件件是是存存在在实实数数使使得得二、共线向量定理
3、的推论：二、共线向量定理的推论：1、若直线、若直线l过点过点A且与向量且与向量 平行，则平行，则2、三点、三点P、A、B共线的充要条件有：共线的充要条件有：aOPOAta Pl点点 在在直直线线 上上/ /tAPtABAPAB ，（1 1）存存在在实实数数 ，使使得得即即tOPOAtAB （2 2）存存在在实实数数 ，使使得得,(1)xyOPxOAyOB xy 另另：存存在在实实数数 ， ，使使得得三、共面向量定理：三、共面向量定理：复习：复习： ).a bppxaya bxby 如如果果两两个个向向量量 、不不共共线线, , 那那么么向向量量 与与 、 共共面面的的充充要要条条件件是是存存在
4、在唯唯一一的的有有序序实实数数对对( ( ， ，使使得得( , )x yAPxAByAC （1 1）存存在在有有序序实实数数对对，使使得得OOPOAxAByAC （2 2）对对空空间间中中任任意意一一点点 ，有有四、四、P、A、B、C四点共面充要条件：四点共面充要条件：(1)OOPxOAyOBzOC xyz 另另：对对空空间间中中任任意意一一点点 ，有有 1()3 ABCOMABPOPOAOBOCPABCMPC ：，、 、练练习习如如图图， 、 、 是是三三个个不不共共线线的的点点， 是是空空间间中中任任意意一一点点，是是的的中中点点若若点点 满满足足，（1 1）求求证证： 、 、 、四四点点
5、共共面面；（2 2）求求证证：三三点点共共线线. .1()33OPOAOBOCOPOAOBOC （1）证明：()()OPOAOBOPOCOP 移项，得APPBPCPAPBPC ，即PABC 、 、 、 四点共面OABCPM,PPA PB PC 过同一个点（2）证明：）证明：点点M为为AB的中点的中点1()22OMOAOBOAOBOM ，即11()(2)3332OPOAOBOCOMOCOPOMOC 2()OPOMOCOP 移项，得2MPPC MPC、 、 三点共线OABCPM1()3OPOA OBA BCOPPABOCC 已知则心为重的、 、 是是三三个个不不共共线线的的点点， 是是空空间间中中
6、任任意意一一点点，点点 满满足足,PMP PC 过同一个点空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算一一. 数量积的定义：数量积的定义：|cosa ba b 我们规定我们规定零向量与任一向量的数量积为零零向量与任一向量的数量积为零，即，即 00a 已知已知非零向量非零向量 与与 ，我们把，我们把数量数量 叫叫作作 与与 的的数量积数量积（或内积），记作（或内积），记作 ，即，即|cosa baba b ab ab其其中中， 为为 、 的的夹夹角角二、数量积的主要性质：二、数量积的主要性质：2_._.(3)cos,_;(4)| _ |.()aba baba babaa ba ba b (1)(1)
7、(2)(2) ； 反； 若若与与 同同向向, , 若 若与与向向, , 填填或或0a b |a b|a b2|a|a ba b 222220,00; () ;) () | ;a baba bb c bacpqp qpqpqpq .（1）若则或 （ ）（2）若(0),则 （ ）（3） （ ）（4）( （ ）练练习习：判判断断下下列列说说法法的的真真假假;()()();().a bb aa ba baba b ca c b c ( (1 1) )( (2 2) )( (3 3) )三、数量积三、数量积 的运算规律：的运算规律：注意：等式注意：等式 是否成立？是否成立？()()a b ca b c
8、ABCO问题问题2：平面向量的数量积的几何意义怎样？：平面向量的数量积的几何意义怎样？ 在空间还一样吗？在空间还一样吗？数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的投影的方向上的投影 的乘积。的乘积。a b a|aba|cosbBB1OAab(1.111(1),cos,1.111)(2)abbbc caa bcabbl 如如图图在在空空间间 向向量量 向向向向量量 投投影影 由由于于它它们们是是自自由由向向量量 因因此此可可以以先先将将它它们们平平移移到到同同一一个个平平面面 内内 进进而而利利用用平平面面上上向向量量的的投投影影 得得到到与与向向量量 共共线线的的向向量量向向
9、量量 称称为为向向量量 在在向向量量 上上的的投投影影向向量量. .类类似似地地 可可以以将将向向量量向向直直线线 投投影影 图图ABCO8 4 cos1358 6 cos12024 16 2 24 16 232 2cos,8 55| |OA BCOA BCOABC 例例2、如图，、如图，m、n是平面是平面 内的两条相交直线，如果内的两条相交直线，如果lm，ln，求证：，求证：l mnlg, , , .gl m n gl m n g 证明：在 内作任一直线分别取直线的方向向量,( , ),.mnm ngxmyynx 因因为为与与 相相交交，所所以以向向量量不不共共线线故故存存在在有有序序实实数
10、数对对使使0l gxl myl n , 0lm lnl ml n lglg 故，即ll直线 垂直于平面 内的任意一条直线，即 l mn g0a PO 考虑到：习题习题1.1#8、在平面内的一条直线，如果和这个平面的、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 OPAl已知：如图，已知：如图，PO，PA分别是平面分别是平面 的垂线、斜线，的垂线、斜线，AO是是PA在平面在平面 内内的射影，的射影，l ，且，且lOA，求证：求证： lPAla证证明明：如如图图，取取直直线线 的的方方向向向向量量a0.lOAa OA
11、, ,所所以以0a PA 往证：,0POllPOa PO 且且, ,故故PAPOOA ()0.a PAaPOOAa POa OAlPA 例例2的证明方法，体现了向量法的程序性和普适性的证明方法，体现了向量法的程序性和普适性例例3、已知空间四边形、已知空间四边形ABCD的每条边和的每条边和AC、BD的的长都等于长都等于a，点，点E、F分别是分别是BC、AD的中点，的中点，（1）求证：）求证：ABCD；ABCDEF60oACDBCD 证证明明：依依题题意意可可知知ABCBCA ()AB CDCBCA CD CB CDCA CD cos60cos600a aa aABCD 例例3、已知空间四边形、已
12、知空间四边形ABCD的每条边和的每条边和AC、BD的的长都等于长都等于a，点，点E、F分别是分别是BC、AD的中点，的中点，（1）求证：）求证：ABCD；（2）求）求AE、CF所成角的余弦值；所成角的余弦值；解：解：点点E、F分别是分别是BC、AD的中点的中点11(),()22AEABAC CFCACD ABCDEF11()()22AE CFABACCACD 1()4AB CAAB CDAC CAAC CD ,120AB CAAC CD ，依依题题意意可可知知22221111(0)4222AE CFaaaa 例例3、已知空间四边形、已知空间四边形ABCD的每条边和的每条边和AC、BD的的长都等于长都等于a，点，点E、F分别是分别是BC、AD的中点，的中点，（1）求证：）求证：ABCD；（2）求）求AE、CF所成角的余弦值；所成角的余弦值；ABCDEF3| |2AECFa 22122cos,3|3()2aAE CFAE CFAE CFa 23AECF、所成角的余弦值为
