1、专题3.2 双曲线标准方程及其性质 期末复习冲刺卷一、单选题1双曲线左、右焦点分别为，一条渐近线与直线垂直，点在上，且，则（ ）A6或30B6C30D6或202双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（ ）ABC2D3已知F1、F2为双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为（0，b），则双曲线C的离心率为（）ABCD24已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点(B在x轴的上方)，且满足.若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）A2BCD5双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD26设双曲线的
2、方程为，过抛物线的焦点和点的直线为若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）ABCD7已知是双曲线的两个焦点，是双曲线左支上的一点，且与两条渐近线相交于两点若点恰好平分线段，则双曲线的焦距为（ ）ABCD48已知双曲线的左右焦点分别为，过点且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，.分别交y轴于P，Q两点，若的周长为12，则取得最大值时，该双曲线的离心率为ABCD二、多选题9我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是（ ）A双曲线是黄金双曲线B若，则该双
3、曲线是黄金双曲线C若，则该双曲线是黄金双曲线D若，则该双曲线是黄金双曲线10已知点P在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）A点P到x轴的距离为BC为钝角三角形D11已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）AE的标准方程为BE的离心率等于CE与双曲线的渐近线相同D直线与E有且仅有一个公共点12双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足（其中为坐标原点），则（ ）A双曲线的一条渐近线方程为B双曲线的离心率为CD的面积为6三、填空题13已知、是离心率为的双曲线的右顶点和右焦点，记、到直线的距离分别为、
4、，则_14已知F为双曲线的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点在线段PQ上，则的周长为_15设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于_16已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为_.四、解答题17若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.18在平面直角坐标系中，已知双曲线（1）过的左顶
5、点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线交于、两点若与圆相切，求证：；19如图所示，过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线共有几条？20设双曲线的实轴长为.焦点到渐近线的距离为.（1）求此双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于，两点.且在双曲线的右支上存在点，使得，求的值及点的坐标.21已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：；(3)求F1MF2的面积22P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线
6、E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值参考答案1C【分析】利用双曲线的一条渐近线与直线垂直，求出，通过双曲线的定义求解即可.【解析】解：双曲线左、右焦点分别为，一条渐近线与直线垂直，可得，解得，点在上，所以在双曲线的右支上，则.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用、直线与直线的位置关系的应用，注意与双曲线焦点三角形有关的长度计算，要关注焦半径的长度与实轴长的大小关系，从而确定动点的位置，本题属于基础题.2B【分析】根据点差法，设出交点坐标，代入作差
7、即可得解.【解析】设代入双曲线方程作差有:，有，所以，故选：B【点睛】本题考查了解析几何中的点差法，点差法主要描述直线和圆锥曲线相交中斜率和中点的关系，在解题中往往大大简化计算，本题属于基础题.3C【分析】求出，化简方程即得解.【解析】F1、F2为双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为（0，b），所以，所以所以双曲线的离心率e故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4D【分析】设，根据双曲线定义，得：，两式相减可得【解析】解：设，根据双曲线定义，在中，由余弦定理可得：在中，由余弦定理
8、可得：，可得，解得故选：【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.5C【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程即，由此可得，结合双曲线的平方关系可得与的比值，求出该双曲线的离心率【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，即，解得，即故选：C【点睛】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题6D【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为
9、，又双曲线的渐近线的方程为，所以，因为，解得故选：【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题7C【分析】根据中点得到，计算，利用勾股定理计算得到答案.【解析】不妨取渐近线方程为，是中点，故，故，故，根据勾股定理：，故，故焦距为.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的焦距，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定，是解题的关键.8B【分析】根据轴且过左焦点可得，由题意知的周长为周长的2倍，可得，化简得，转化，利用导数确定取最值时，即可求解.【解析】因为，所以把代入双曲线方程可得：，故，因为，周长为12，所以的周长为24，即，所以，化简得：，
10、令，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，时函数有唯一极大值也是最大值，此时，所以，故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的定义、离心率等,还涉及利用导数求具体函数的最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属中档题.9BCD【分析】A选项，不是黄金双曲线；通过计算得到BCD是黄金双曲线.【解析】A选项，不是黄金双曲线；B选项，化成，即，又，解得，是黄金双曲线；C选项，化简得，由选项知是黄金双曲线；D选项，轴，且是等腰，即，由选项知是黄金双曲线.综上，BCD是黄金双曲线.故选：BCD.【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出再求离心率）；（2）方程法（通过已知得
11、到关于的方程，解方程得解）.10BC【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.【解析】由双曲线方程得，则，由的面积为20，得，得，即点到轴的距离为4，故错误，将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，则，由双曲线的定义知，则，则，故正确，在中，则，为钝角，则为钝角三角形，故正确，则错误，故正确的是，故选：【点睛】本题主要考查与双曲线性质有关的命题的真假判断这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，
12、要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.11ACD【分析】设双曲线方程为，代入点，求得的值，得到双曲线的方程，可判定A选项正确；根据离心率的定义，可判定B选项错误；分别求得双曲线的渐近线方程，可判定C选项正确；联立方程组，结合，可判定D选项正确.【解析】设双曲线方程为，由已知得，解得，故双曲线的标准方程为，故A选项正确；由离心率，故B选项错误；因为曲线的渐近线方程为，又由双曲线的渐近线方程为，故C选项正确；联立，整理得，由，所以直线与E有且仅有一个公共点，故D选项正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用待定系数
13、法正确求解双曲线的方程，熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12ABD【分析】由已知可得，再由得点为三角形的重心，从而有，得，再结合可求出的值，进而可求得渐近线方程、离心率、的面积【解析】如图：设双曲线的焦距为，与轴交于点，由题可知，则，由得点为三角形的重心，可得，即，解得.双曲线的渐近线方程为，的坐标为，故选：ABD.【点睛】此题考查双曲线的简单的几何性质的应用，考查圆的方程，考查数形结合的思想，属于中档题13【分析】计算出，由此可得出，即可得解.【解析】由已知条件可得出，则，所以，.故答案为：.1432【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距
14、离之差为定值“解决求出周长即可【解析】解：根据题意，双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图：而，得：，周长为故答案为32【点睛】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题1512【分析】通过双曲线的定义可先求出的长度，从而利用余弦定理求得，于是可利用面积公式求得答案.【解析】由于，因此，故，由于即，而，所以，所以，因此.【点睛】本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等.16【分析】本题首先可根据题意绘出图像并设出点坐标为，然后通过圆与双曲线的对称性得出，再根据“点即在圆上，也在双曲
15、线上”联立方程组得出，然后根据图像以及可得和，接下来利用双曲线定义得出以及，最后根据并通过化简求值即可得出结果【解析】如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设，由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，所以，因为圆是以为直径，所以圆的半径为，因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，联立化简可得，整理得，所以，因为，所以，因为，所以，因为，联立可得，因为为圆的直径，所以,即，所以离心率【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查双曲线与圆的相关性质，考查对双曲线以及圆的定义的灵活应用，考查化归与转化思想以及方程思想，考查了学生的计算能力，体现了综合性，是难题17（1）；（2）.【分析】（1）求
16、得直线与轴的交点，可得，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得渐近线方程，解方程可得，进而得到双曲线的方程；（2）设直线，代入，设，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式及两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的垂直平分线方程，令，可得直线在轴上的截距，由不等式的性质可得范围.【解析】（1）直线过x轴上一点，由题意可得，即，双曲线的渐近线方程为，由两直线平行的条件可得，解得，即有双曲线的方程为.（2）设直线，代入，可得，设，则，中点为，可得的垂直平分线方程为，令，可得，由，解得，又，解得，综上可得，即有的范围是，可得直线与轴上的截距的取值范围为.【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直
17、线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与双曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等18（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据双曲线的标准方程可得左顶点，渐近线方程：，从而可得过点与渐近线平行的直线方程，将此直线与另一条渐近线联立求出交点，进而求解.（2）设直线的方程是，利用点到直线的距离公式可得，联立方程，设，由即证.【解析】（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：过点与渐近线平行的直线方程为，即解方程组得所以所求三角形的面积为（2）设直线
18、的方程是，因直线与已知圆相切，故，即由得设，则又，所以故【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系，证明直线垂直可转化为向量的数量积等于零，考查了考生的基本运算能力，属于中档题.19条【分析】根据轴（弦是在同一支）和与轴不垂直（弦是跨两支）分成两种情况进行分类讨论，由此得出正确结论.【解析】设，则.对于过双曲线一个焦点的弦长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于轴的弦，长度为；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点.若轴，则为通径，而通径长度正好是4，故直线交双曲线于同支上的两点且，这样的直线只有一条.若经过顶点，此时，故直线交双曲线于
19、异支上的两点且，这样的直线有且只有两条.故满足的直线有条.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系，属于中档题.20（1）（2）4，【分析】（1）由实轴长可得值，由焦点到渐近线的距离可得，即可求得双曲线的方程；（2）设，则，联立直线方程与双曲线方程消掉得的二次方程，由韦达定理可得，进而求得，从而可得，再由点在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得点坐标，从而求得值【解析】（1）由实轴长为，得，所以渐近线方程为，即或，取渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离为， ，又， ， 双曲线方程为:（2）设，则，由直线与双曲线方程联立，可得， ， ， 解得， ，.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲
20、线标准方程，以及向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力21(1)；(2)证明见解析；(3)6【分析】(1)根据设双曲线的方程为，由点在双曲线上，代入，即可得到双曲线的方程；(2)根据题意求出，根据向量数量积的坐标运算得到以及由点M在双曲线上得到，即可证明；(3)以为底，以点M的纵坐标为高，即可得到F1MF2的面积.【解析】(1)因为，所以双曲线的实轴、虚轴相等则可设双曲线方程为.因为双曲线过点，所以1610，即6.所以双曲线方程为.(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则， 所以，因为M点在双曲线上，所以9m26，即m230，所以.(3)的底.由(2)知.所以的高，所以【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程以及向量的坐标运算等，属于中档题.22（1）；（2）0或4.【分析】(1) 由点在双曲线上，利用化简得到答案.(2)联立方程根据韦达定理得到，设代入数据化简得到，得到答案.【解析】解：(1)由点在双曲线上，有.由题意有，可得a25b2，c2a2b26b2，.(2)联立得.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设，即.又C为双曲线上一点，即，有.化简得.又在双曲线上，所以.由式又有，式可化为，解得0或4.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，参数的值，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
