1、专题5：椭圆的对称性一、单选题1椭圆的左右焦点为，为椭圆上第一象限内任意一点，关于的对称点为，关于的对称点为，则的周长为（ ）ABCD2如图，椭圆的方程为，分别为椭圆的左、右焦点，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为（ ）.ABCD3椭圆的左、右焦点分别为，过作x轴的垂线交椭圆于点P，过P与原点o的直线交椭圆于另一点Q，则的周长为（ ）A4B8CD4已知分别是椭圆的左右顶点，是椭圆上两点关于轴对称，若的斜率之积为，则椭圆的离心率是（ ）ABCD5已知椭圆及以下3个函数：；，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（ ）A1个B2个C3个D0个6设椭圆，若四点，中恰有三点在椭圆上，则
2、不在上的点为（ ）ABCD7设、是椭圆上相异的两点.设、.命题甲：若，则与关于轴对称；命题乙：若，则与关于轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ）A甲和乙都是真命题B甲是真命题，乙是假命题C甲是假命题，乙是真命题D甲和乙都是假命题8若点，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则面积的最大值是（ ）A4BCD9已知椭圆：，其左右焦点分别为、，为椭圆上一动点，则满足为的点有（ ）A0个B1个C2个D4个10椭圆的离心率为，为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆的方程为（ ）ABC或D或二、填空题11已知椭圆上存在相异两点关于直线对称，请写出两个符合条件的
3、实数的值_12如图，两个椭圆内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：P到四点的距离之和为定值；曲线C关于直线均对称；曲线C所围成区域面积必小于36.上述判断中所有正确命题的序号为_.13已知椭圆是椭圆的上顶点，过点P作直线，交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B，则的最大值为_14如图，已知F1,F2分别是椭圆x24+y23=1的左，右焦点，A，B，C 是椭圆上x轴上方的三点，且AF1BOCF2（O为坐标原点），则AF1+CF2OB的取值范围是_15已知椭圆的左、右焦点为、，点关于直线的对称点仍在椭圆上，则的周长为_16椭圆+=1（ab0）的右焦点F（c，0
4、）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是_三、双空题17已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆右焦点，则的周长的最小值为_，的面积的最大值为_四、解答题18已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.19已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；（2）求实数的取值范围；（3）求面积的最大值（为坐标原点）20已知椭圆C：（）经过点，离心率为，分别为椭圆的左、右焦点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点（）在椭圆C上，求证；直线与直线关于直线l：对称.参考答案1C【分析】根据对称关系可知为的中位线,再利用椭
5、圆定义可得,从而可得的周长.【解析】因为关于的对称点为，关于的对称点为,所以为的中位线,所以,所以的周长为12+4=16.故选:C.【点评】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.2B【分析】延长射线、分别与椭圆相交于、两点，由椭圆的对称性，则，若直线的斜率不存在易得；若直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立， 利用两点间的距离公式结合韦达定理建立求解.【解析】如图，延长射线、分别与椭圆相交于、两点，由椭圆的对称性可知，设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为.若直线的斜率不存在，则点、的坐标分别为、，有若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，消去后整理为，有，则的取值范围
6、为.故选：B【点评】本题主要考查椭圆的对称性以及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.3C【解析】由椭圆对称性得 ,因为轴，所以 ，因此的周长为，选C.4B【分析】设出椭圆的左右顶点，以及利用椭圆的对称性设出的坐标，运用椭圆方程和直线的斜率公式，化简变形，即可求解.【解析】分别是椭圆的左右顶点，又是椭圆上关于轴对称的两点，设则且，即.故的斜率之积为所以椭圆离心率是故选：B【点评】本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出；构造的齐次式，求出；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；
7、根据圆锥曲线的统一定义求解5B【分析】对于；都是奇函数，而椭圆图像关于原点成中心对称，满足要求；对于是偶函数，图像关于轴对称，若要满足条件，当时函数的图像要把椭圆在轴右侧部分平分，分析其图像不满足要求，即可得出结论.【解析】为奇函数，作出其图象，由图可知能等分该椭圆面积；同理，为奇函数，能等分该椭圆面积；为偶函数，其图象关于轴对称，在轴右侧时，时，故不能等分该椭圆面积.故选：B【点评】关键点点睛：根据椭圆的对称性，函数图象的对称性，结合数形结合的思想，判定能否平分椭圆的面积，考查了函数的奇偶性，属于中档题.6A【分析】由，关于y轴对称，利用椭圆的对称性，椭圆必经过，得到，再根据，得到椭圆不经过
8、的结论.【解析】因为，关于y轴对称，所以椭圆经过，所以，当在椭圆上时，解得，椭圆方程为：成立.因为，所以椭圆不经过，故选：A【点评】本题主要考查椭圆的方程以及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7A【分析】设点、，则或，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假.【解析】设点、，则，可得，.对于命题甲：，同理可得，则，整理得，所以，则，必有，所以，则与关于轴对称，命题甲正确；同理可知命题乙也正确.故选：A.【点评】本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.8D【分析】利用中线段是定值，然后把问题转化为求到直线的距
9、离的最大值，由椭圆性质即得【解析】是坐标原点，由对称性得，当是短轴端点时，到的距离最大，即面积最大，又由题意，则，的最大值为故选：D【点评】本题考查椭圆的对称性，掌握椭圆的几何性质是解题基础9D【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得、的值，计算可得的值，设为椭圆的上顶点，求出的坐标，据此分析可得中，结合椭圆的几何性质分析可得答案【解析】解：根据题意，椭圆：中，则，则，设为椭圆的上顶点，其坐标为，在中，则，为椭圆上任意一点，则，则满足为的点有4个，点P可以在四个象限.故选D【点评】本题考查椭圆的性质，涉及椭圆的对称性，注意分析椭圆的焦点三角形的性质，属于基础题10C【解析】由题意知，得，不妨
10、设椭圆的方程为，椭圆上任取点，取焦点，则中点，根据条件可得，联立两式解得，代入椭圆方程解得，由此可得椭圆的方程为或.故选C11或（答案不唯一在内任取两个实数）【分析】由对称性可知，线段AB被直线垂直平分，则AB的中点M在直线上，且，设直线AB的方程，联立直线AB的方程和椭圆方程，由韦达定理表示中点M的坐标，由相交于相异两点，可由判别式得到b的取值范围，由M在直线上，用b表示t，则任取范围内两个实数即可.【解析】设上存在关于直线对称的两点由对称性可知，线段AB被直线垂直平分，则AB的中点在直线上，且故可设直线AB的方程为：联立方程：由韦达定理可知：，即中点M的坐标为由，得因为M在直线上，所以任取
11、或（答案不唯一，在内的任意两个实数均可）【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，涉及对称性的性质，属于难题.12【分析】当在上时，不为定值，错误；根据对称性得到正确；图形在边长为的正方形内部，正确，得到答案.【解析】不考虑交点的情况，当在上时，不为定值，错误；两个椭圆均关于对称，故曲线C关于直线均对称，正确；曲线C在边长为的正方形内部，故面积小于，正确；故答案为【点评】本题考查了椭圆的相关知识，判断命题的正误，意在考查学生的计算能力和推断能力.132【分析】由题意设直线的方程代入椭圆中，求出点的坐标，进而由题意得点的坐标，再整理成用到均值不等式形式，求出面积的最大值.【解析】由题意可知直
12、线的斜率一定存在，因此设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，所以，所以所以，由题意得，所以三角形的面积因为，所以.故答案为：2.【点评】关键点睛：一是要构建三角形面积的方案，采用了割补思想，二是在求最值时转化为基本不等式问题，这些都是解决本问题的关键.143，2【解析】【分析】延长CF2交椭圆于D,有对称性可知当CD垂直于x轴时，比值最小，当倾斜角为0时比值最大，但取不到【解析】延长CF2交椭圆于D,有对称性可知AF1+CF2=CD，当CD垂直于x轴时，CDOB最小，此时CDOB=33=3，当倾斜角为0时比值最大，此时CDOB=42=2，但取不到故答案为3，2.【点评】本题考查椭圆的对称性的运用
13、，考查小题小做的技巧，是中档题15【解析】【分析】由题意首先求得点P的坐标，然后结合椭圆的定义求解焦点三角形的周长即可.【解析】设，F1关于直线的对称点P坐标为（0，c），点P在椭圆上，则：，则c=b=1,，则，故的周长为：.【点评】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到a，c的关系16【解析】试题分析：设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可解：设Q（m，n），由题意可得，由可得：m=，n=，代入可得：，解得e2（4e44e2+1）+4e2=1，可得，
14、4e6+e21=0即4e62e4+2e4e2+2e21=0，可得（2e21）（2e4+e2+1）=0解得e=故答案为考点：椭圆的简单性质1710 . 【解析】连接，则由椭圆的中心对称性可得 18取值范围为【分析】根据对称性可知线段被直线垂直平分，从而可得直线的斜率，直线与椭圆有两个交点，且的中点在直线，可设直线的方程为，联立方程组，整理可得可求中点，由可求的范围，由中点在直线可得， 的关系，从而可求的范围【解析】设椭圆上关于直线对称的点，则根据对称性可知线段被直线垂直平分，故直线的斜率，直线与椭圆有两个交点，且的中点在直线，故可设直线 的方程为，联立方程组，整理可得，解得：，代入，解得：，的取
15、值范围是【点评】本题重点考查了椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题，涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单属于中档题19（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）设点，则有，代入椭圆的方程得出，然后利用两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求出的最大值，从而证明；（2）由、关于直线对称，可得出直线与直线，从而可得出直线的斜率为，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，得出，并列出韦达定理，求出线段的中点，再由点在直线上列出不等式
16、，结合可求出的取值范围；（3）令，可得出直线的方程为，利用韦达定理结合弦长公式计算出，利用点到直线的距离公式计算出的高的表达式，然后利用三角形的面积公式得出面积的表达式，利用基本不等式可求出面积的最大值.【解析】（1）设，则，得，于是因，所以当时，即；（2）由题意知，可设直线的方程为由消去，得因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，即，由韦达定理得，所以，线段的中点.将中点代入直线方程，解得，将代入得，化简得.解得或，因此，实数的取值范围是；（3）令，即，且.则，则，且到直线的距离为，设的面积为，所以，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为【点评】本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交所
17、得弦长问题、直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的三角形面积的计算，考查计算能力，属于难题.20（1）（2）见解析【分析】（1）将点代入椭圆方程，由离心率得到关系，结合，即可求解；（2）若，根据椭圆的对称性即可得证，若，只需证明关于直线l的对称点在直线上，根据点关于直线对称关系求出点坐标，而后证明三点共线，即可证明结论.【解析】（1）解：由题意知可得，所以椭圆C的标准方程为.（2）证明：若，则，此时直线与直线关于直线l对称.设关于直线l的对称点为，若，则则，要证直线与直线关于直线l对称，只需证Q，P，三点共线，即证，即证，因为，综上，直线与直线关于直线l对称.【点评】本题考查椭圆标准方程及方程的应用、点关于直线对称问题，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
