1、抚松一中2021-2022年上学期高二年期末复习题一一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若向量，不共面，则下列选项中的三个向量不共面的是（ ）A，B，C，D，【答案】C【分析】利用向量共面定理即可判断出结论【详解】解：向量，不共面，A，因此三个向量共面；B，因此三个向量共面；C，若，共面，则存在实数，使得，故，这与，不共面矛盾，故三个向量不共面；D，因此三个向量一定共面故选：C2. 已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【分析】作出图形，求出直线、的斜率，数形结合可得出直线的斜率的取值范围，进而可求得直线的倾斜角的取值范围
2、.【详解】如下图所示：直线的斜率为，直线的斜率为，由图形可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率.因此，直线的倾斜角的取值范围是.故选：C.3.已知等差数列，若，则（ ）ABCD【答案】C【详解】在等差数列中，设公差为d，依题意，即解得公差，所以.故选：.4.已知正四棱柱中，则与平面所成角的正弦值等于（ ）ABCD【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得与平面所成角的正弦值.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以.设与平面所成角为，则.故选：A5. 过点可以向圆引两条切线，则的范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据方程表示圆，以及点在圆
3、外，列不等式即可求解.【详解】因为表示圆，所以，解得：，若过点可以向圆引两条切线，则点在圆外，所以，解得，所以的范围是，故选：C.6. 正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】C以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则，又，平面，是平面的一个法向量，直线与平面所成角的正弦值为故选：C7. 已知椭圆上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，的面积为（ ）A1BC2D【答案】B【分析】根据椭圆定义，结合基本不等式求出，进而求出面积.【详解】根据椭圆定义，则，当且仅当时取“=”，此时三角形是等腰三角形，易知，所以的面积为。故选：B.8.
4、平行四边形的四个顶点均在双曲线上，直线的斜率分别为，1，则该双曲线的渐近线方程为ABCD【答案】A【分析】利用点差法可求，从而可得渐近线方程.【详解】方法一：因为双曲线是中心对称的，故平行四边形的顶点关于原点对称，设，则，故，所以，整理得到：即，故即，所以渐近线方程为即，选A.9. 抛物线，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（ ）ABCD【答案】B【分析】易知直线为准线方程，根据抛物线的定义，到准线的距离转化为到焦点的距离，再根据点到直线垂线段最短即可得解.【详解】由为抛物线的准线，则到直线的距离等于到焦点的距离，所以点到直线和距离之和，即为点到直线和到点的距离之和，根据点到直线垂线段
5、最短，所以距离之和最短为点到直线的距离，即，故选：B10. 已知，若对任意恒成立，则实数的最小值是( )ABCD【答案】B【详解】依题意，所以，即，所以对于恒成立，不妨令，当为偶数时，当增大，增大，且，当为奇数是，当增大，减小，故当时，取得最大值，所以，故实数的最小值.故选:B.11.已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，当的周长最小时，的面积为（ ）AB9CD4【答案】A【详解】设的右焦点为，由题意可得，因为，所以，.的周长为，即当，三点共线时，的周长最小，此时直线的方程为，联立方程组.解得或，即此时的纵坐标为，故的面积为.故选：A12. 已知椭圆：的左右端点分别为，点，是椭圆上关于原点
6、对称的两点(异于左右端点)，且，则下列说法正确的有（ ）A椭圆的离心率为B椭圆的离心率不确定C的值受点，的位置影响D的最大值为【答案】A【详解】解：设，则，因为，所以，因为，所以，所以，所以离心率，所以A正确，B错误；因为点，是椭圆上关于原点对称的两点，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，不受，位置影响，所以C错误；设，由题意得，则有，所以，当且仅当时取等号，即当时，即当点为短轴的端点时最大，此时最小，所以，所以D不正确，故选：A二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知两条直线和都过点，则过，两点的直线方程是_【答案】【分析】结合直线方程的定义求过，两点的直线方程.
7、【详解】点在直线上，由此可知点的坐标满足点在直线上，由此可知点的坐标也满足两点确定一条直线，过，两点的直线方程是，故答案为：.14.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，ABC的顶点都在抛物线上，且满足0，则_.【答案】0【解析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，由，得y1y2y30，同理答案：015.记为数列的前项和，记，则_，_.【答案】 【详解】由题意，有a11a1，故a1.当n2时，由，得ananan1，则，an是首项、公比均为的等比数列，故数列an的通项公式为an.由等比数列的性质得a1a3，a3a5，a2n1a2n1，数列a2n1a2n1是首项、公比均为的等
8、比数列，则Tn.故答案为：，.16. P是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是的内切圆，设圆与，分别切于点D，E，当圆C的面积为时，直线的斜率为_.【答案】【分析】由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为，又根据圆的面积可求出半径，可知圆心，可求出，因为是的角平分线，借助于角相等可求直线的斜率.【详解】由题意可知，所以，设，则，即，设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，因为，所以，于是，因为是的角平分线，所以，所以，即直线的斜率为.故答案为：.三、 解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）直线经过两
9、直线：和：的交点（1）求与直线平行的直线的方程；（2）求横纵两截距相等的直线的方程【答案】（1）由，得；与的交点为设与直线平行的直线为，有，所求直线方程为（2）设横纵两截距相等的直线的方程为或，由第一问可知：与的交点为，将其代入直线的方程则或，解得：或，所求直线方程为或18.（本小题12分）已知圆C过点，.（1）求圆C的标准方程；（2）已知点P是直线与直线的交点，过点P作直线与圆C交于点A，B，求弦的中点M的轨迹方程.【答案】（1）设圆的方程为把点，代入得： 解得：所以圆的方程为：，化为标准方程为：（2）联立，解得：所以设弦的中点M的坐标为由垂径定理得：，即，则 由第一问知，圆心坐标为所以，整
10、理得：故中点M的轨迹方程为19.（本小题12分） 已知数列为等差数列，且，数列满足，其中为数列的前项和，.（1）求数列，的通项公式；（2）若满足：，求的前项和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由题意得出等差数列的公差，结合题意即可得出其通项公式.通过题意计算得到再令得到首项即可得出数列的通项公式；（2）通过数列求和的两种常用方法（错位相减法和裂项相消法）任选其一即可直接求得的前项和.【详解】（1）的公差，故.由题意，故，即，令可得：，故数列是首项为、公比为的等比数列，即.（2）方法1：错位相减法由题意，则，因此，.方法2：裂项相消法（可待定系数法）由题可令，对比系数可得：，即，因此，.
11、20.（本小题12分）已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1）（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）见解析.【解析】（1）由抛物线经过点，得.所以抛物线的方程为，其准线方程为.（2）抛物线的焦点为.设直线的方程为.由得.设，则.直线的方程为.令，得点A的横坐标.同理得点B的横坐标.设点，则，.令，即，则或.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.21.（本小题12分）如图，在三棱柱中，
12、四边形为矩形，点E为棱的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求平面AEB与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明：由三棱柱的性质及可知四边形为菱形又为等边三角形，又，又四边形为矩形又平面又平面平面平面.（2）以B为原点BE为x轴，为y轴，BA为E轴建立空间直角坐标系，如图所示，设平面的法向量为.则即，又平面ABE的法向量为，平面ABE与平面夹角的余弦值为.22.（本小题12分） 如图，椭圆C：(ab0)，圆O：x2y2b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：ykxb分别交圆O、椭圆C于不同的两点P，Q，设.（1）若点P(3，0)，点Q(4，1)，求椭圆C的方程；（2）若3，求椭圆C的离心率e的取值范围【答案】（1）（2）e1【分析】（1）由在圆上，求得，由点坐标求得，得椭圆方程；（2）直线方程与圆方程、椭圆方程分别求出的横坐标，由得横坐标间的关系，从而得出的关系，转化炎的关系式，利用可得的范围（1）由P在圆O：x2y2b2上，得b3.又点Q在椭圆C上，得，解得a218，所以椭圆C的方程是.（2）由得x0或xP.由得x0或xQ.因为，3，所以，所以，即，所以k24e21.因为k20，所以4e21，即e，又0e1，所以e1.
