1、专题21：双曲线的存在探索性问题1已知双曲线C过点，且渐近线方程为，直线l与C交于M、N两点，（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l过原点，点P是曲线C上任一点，直线PM、PN的斜率都存在，记为、，求证：为定值；（3）若直线l过点，在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出点Q坐标及此常数的值，若不存在，说明理由.2已知双曲线.（1）倾斜角45且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于M，N两点，求.（2）过点的直线l与此双曲线交于，两点，求线段中点P的轨迹方程；（3）过点能否作直线m，使m与此双曲线交于，两点，且点B是线段的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.3已
2、知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.（1）求双曲线的方程；（2）若过原点，为双曲线上异于的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值；（3）若过双曲线右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.4已知直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设坐标原点为O.（1）求双曲线C的方程；（2）若过点的直线l与双曲线C交于R、S两点，若，求直线l的方程；（3）设在双曲线上，且直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴对称的点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由
3、.5已知圆，点，点是圆上的动点，的垂直平分线交直线于点（1）求点的轨迹方程；（2）过点的直线交曲线于两点，在轴上是否存在点，使得直线和的倾斜角互补，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.6已知，点满足，记点的轨迹为.斜率为的直线过点，且与轨迹相交于两点.（1）求轨迹的方程；（2）求斜率的取值范围；（3）在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.7已知双曲线：，设是双曲线上任意一点，为坐标原点，为双曲线右焦点，为双曲线的左右顶点.（1）已知：无论点在右支的何处，总有，求的取值范围；（2）设过右焦点的直线交双曲线于，两点，若存在直线，
4、使得为等边三角形，求的值；（3）若，动点在双曲线上，且与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线：分别相交于点和，试问：是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，试说明理由.8如图，椭圆的左、右顶点分别为A、B，双曲线以A、B为顶点，焦距为，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为为坐标原点.(1)求双曲线的方程；(2)求点M的纵坐标的取值范围；(3)是否存在定直线使得直线BP与直线OM关于直线对称？若存在，求直线的方程；若不存在,请说明理由.9已知，（1）求点的轨迹C的方程；（2）若直线与曲线C交于A、B两点，并且A、B
5、在y轴的同一侧，求实数k的取值范围.（3）设曲线C与x轴的交点为M，若直线与曲线C交于A、B两点，是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过点M？若有，求出k的值；若没有，写出理由.10的内切圆与三边的切点分别为,已知，内切圆圆心,设点A的轨迹为R.（1）求R的方程；（2）过点C的动直线m交曲线R于不同的两点M,N，问在x轴上是否存在一定点Q（Q不与C重合），使恒成立，若求出Q点的坐标，若不存在，说明理由.参考答案1（1）；（2）证明见解析；（3）存在， .【分析】（1）设双曲线的方程为，将点代入双曲线的方程，解方程可得双曲线的方程；（2）设点的坐标为，则点的坐标为，根据斜率公式和双曲线的方程
6、，即可求出为定值；（3）假设存在定点，用点斜式设出直线的方程代入双曲线方程，利用根与系数的关系以及为常数，求得值，可得结论【解析】（1）由双曲线的渐近线方程，可设双曲线的方程为，又双曲线过点，可得，即，则双曲线的方程为；（2）证明：设点的坐标为，则点的坐标为，其中，又设点的坐标为，由，得，将，代入得故为定值；（3）设直线的方程为，设定点，联立方程组，消可得，则，且，解得且，设，可得，所以，所以，为常数，与无关所以，解得，此时故存在，使得【点评】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后
7、的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题2（1）8（2）（3）不存在，理由见解析【分析】（1）直线斜率为1，写出直线方程与双曲线联立，由韦达定理即弦长公式求解；（2）设，则，两式相减，利用是中点及斜率相等可求得轨迹方程，从而得到其轨迹；（3）假设直线存在由已知条件利用点差法求出直线的方程为，联立方程组，得，由，推导出直线不存在【解析】（1）由双曲线知，右焦点为，由直线倾斜角45可知直线斜率为1，所以直线方程为：，联立可得，设，则且，所以（2）设，则，直线的斜率，共线，即线段的中点的轨迹方程是（3）假设直线存在设是弦的中点，且，则，在双曲线上，直线的方程为，即，联立方程
8、组，得，直线与双曲线无交点，直线不存在【点评】关键点点睛：在直线与双曲线相交问题中，涉及弦及弦中点的问题，可以采用“点差法”，可以简化运算，降低运算难度.3（1）；（2）证明见解析；（3）存在，.【分析】（1）利用双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，建立方程即可求解；（2）设点坐标为，则由对称性知点坐标，设，由点A,P在双曲线上可得，代入中化简即可；(3）先假设存在定点M，使MA MB恒成立，设出M点坐标，根据数量积为0，求得结论.【解析】（1）由题意得：解得：双曲线的方程为（2）证明：设点坐标为，则由对称性知点坐标为设，则，得（3）当直线的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消得：，得且
9、设假设存在实数，使得，对任意的恒成立，解得.当时，.当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立综上：存在，使得.【点评】本题主要考查点的轨迹方程的求法，考查斜率的计算，考查存在性问题，综合性强，属于难题.4(1) （2） （3）存在，【分析】（1）根据渐近线求解a,b关系，再根据双曲线上一点A求解双曲线标准方程；（2）由知D为RS中点，利用点差法求解直线l斜率，进而求解直线方程；（3）根据直线斜率及点斜式方程，分别列出直线AM和直线AN方程，求P,Q坐标，满足,即可求解点T坐标.【解析】（1）由直线是双曲线渐近线，则，则双曲线方程，代入，解得，故双曲线C的方程为（2）由题意，可知D为RS中点，设
10、RS两点坐标为，代入原式，两式作差得整理得，再由中点坐标公式解得故直线l的方程为（3）存在，根据题意，由，则斜率，直线，当时，即同理，由则斜率，直线，当时，即设：，则，又，得到解得，又双曲线C中，或故T坐标为【点评】（1）双曲线中由渐近线方程可确定a与b的倍数关系，不能直接得具体值，需要再有一点坐标才能确定a,b值.（2）点差法步骤：设点代入作差变形求解.（3）顺应题意列出方程，注意自变量的取值范围，本题着重考查运算能立，属较难题.5（1）；（2）存在，.【分析】（1）连接，则，即，则点的轨迹是以，为左右焦点，的双曲线，求解轨迹方程即可.（2）由题意可知时直线和的倾斜角互补.分类讨论：当直线斜
11、率不存在时，关于轴对称，轴上的任意点都有.当直线斜率存在时，设直线的方程为：，与双曲线方程联立，整理得，设，则，.根据，可知，整理得，将，代入求解，即可.【解析】（1）连接，则，即点的轨迹是以，为左右焦点，的双曲线.即，点的轨迹方程为：（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为：，则，关于轴对称.因为点在轴上所以直线和关于轴对称.则轴上的任意点都有，即直线和的倾斜角互补当直线斜率存在时，设直线的方程为：则即直线交曲线于两点即设，则，是方程的两根.即，假设存在点，使得直线和的倾斜角互补.则即即，即综上所述，存在点，使得直线和的倾斜角互补【点评】本题考查求双曲线方程，以及直线与双曲线的位置关系.属于较
12、难的题.6（1）；（2）；（3）存在，.【分析】（1）根据双曲线的定义即可求得方程；（2）联立直线与双曲线方程，转化成方程有解问题；（3）假设存在点，联立直线和双曲线整理成二次方程，根据结合韦达定理求解.【解析】（1）因为，点满足，所以点的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，设其方程，则，所以轨迹的方程：；（2）斜率为的直线过点，直线方程为，代入，即有两个不等正根，由得，当时，且即不等式组的所以；（3）假设存在，设点，使，由（2）：斜率为的直线过点，直线方程为，代入，即有两个不等正根，所以，对恒成立，所以，解得，即，当直线斜率不存在时，直线方程，此时，仍然满足，所以这样的点存在，.【点评
13、】此题考查求双曲线方程，注意考虑图象限制范围，通过直线与双曲线位置关系求参数范围，结合韦达定理解决相关定点问题.7（1）；（2）；（3）存在，坐标为或【分析】（1）设点坐标，分别求出和的长度，比较大小，得到的取值范围；（2）要使为等边三角形，则,即,直线l斜率不存在，再通过求出的值；设直线l：，；（3）设点的坐标，再计算出点和的坐标，由Q点在双曲线上关于轴的对称性得，若存在点，使得恒成立，点只能在轴上，再设，根据算出t的值。【解析】（1）设点，要使，则，代入化简得，又所以的取值范围是。（2）要使为等边三角形，则,即,直线l斜率不存在，设直线l：，则，要使为等边三角形，又，（3）设点，则直线：，
14、则，直线：，则由Q点在双曲线上关于轴的对称性得，若存在点，使得恒成立，则点只能在轴上，设，若，则，或，即存在定点E，坐标为或【点评】本题考查了双曲线中的关系及转换，解析几何类型题目多与几何关系有关，多画图，找到变量间的几何关系，再根据圆锥曲线的对称性，猜测出定点可能存在的位置（比如轴、轴等）。注意利用向量的关系来解方程会简单一些。本题属于难题。8（1）；（2）；（3）存在直线满足题意，详见解析【分析】（1）根据题意，得到，即可求得双曲线的方程；（2）由在上单调递增，即可求得点的纵坐标的取值范围；（3）求出，可得直线与关于直线对称，即可求解【解析】（1）由题意，椭圆的左、右顶点分别为，双曲线以A
15、、B为顶点，焦距为，可得，所以，所以双曲线的方程（2）由题意，设，直线的方程为，代入椭圆方程，整理，所以或，所以，所以在上单调递增，所以（3）由（1）双曲线的方程，可得，同理,所以，即，设直线，则直线，解得，所以直线与关于直线对称【点评】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程及几何性质的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系及斜率计算等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题9（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由得，结合，可求出轨迹方程；（2）联立直线与曲线方程，得到韦达定理，由判别式大于0，且，解出k的范围；（3）假设存在点M，则，结合韦达定理得到方程，解出k即可.【
16、解析】（1）由，得，即又，所以，即故所求的轨迹方程是（2）设、，把代入，得得 由且，解得且 A、B在y轴的同一侧，所以，即，得到或综上，得.（3）由（2）得曲线C与x轴交点、，若存在实数k，符合题意，则不妨取点，,得将式代入上式,整理得到,解得舍去）根据曲线的对称性知存在实数，使得以AB为直径的圆恰好过M点【点评】本题考查了双曲线的轨迹方程，直线与双曲线的位置关系，属于中档题.10(1)；(2)存在【分析】(1)根据切线长定理可得，AB-AC=2.根据双曲线的定义可得点A的轨迹是双曲线的一支，即可得到轨迹方程.(2)因为恒成立，通过化简可得等价结论，QC为MQN的角平分线.由直线MN垂直于x轴，显然存在点Q.当MN不垂直x轴时，依题意所求的结论等价转化于，通过联立方程，利用韦达定理，即可求得点Q的横坐标.【解析】（1）设点，由题知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2根据双曲线定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去点E（1，0），故R的方程为（2）设点由（I）可知当直线轴时点在轴上任何一点处都能使得成立当直线MN不与轴垂直时，设直线由得要使，只需成立即即即故,故所求的点Q的坐标为时使成立.考点：1.圆的切线长定理.2.双曲线的性质.3.消元，韦达定理，运算能力等.4.等价转化的数学思想.
