1、1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其线性运算 这是一个做滑翔这是一个做滑翔伞运动的场景伞运动的场景. .你能你能想象想象, ,在滑翔过程中在滑翔过程中, ,飞行员会受到来自哪飞行员会受到来自哪些不同方向、大小各些不同方向、大小各异的力吗？异的力吗？情景引入引例1 已知已知F1=10N, F2=15N，F3=15N，这三个力两两之间的夹角，这三个力两两之间的夹角都为都为90度，它们的合力的大小为多少度，它们的合力的大小为多少N？F3F1F2这需要进一步来认识空间中的向量引例2a b c AB起点起点终点终点1. 空间向量的有关概念新课讲授（1）定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的
2、量。的量。表示几何表示法：有向线段几何表示法：有向线段符号表示法：符号表示法： a ，bAB长度（模） 空间向量是平面向量的空间向量是平面向量的推广推广，其表示，其表示方法以及一些相关概念方法以及一些相关概念与平面向量一致与平面向量一致。向量的大小，记作向量的大小，记作| |,|ABaOCOBOA,回顾：平面向量的有关概念（2）零向量：规定：规定：长度为长度为0 0的向量的向量叫做零向量，记作叫做零向量，记作: :0（3）单位向量： 模为模为1 1的向量的向量称为单位向量称为单位向量. .当有向线段的起点当有向线段的起点A A与终点与终点B B重合时，重合时，0AB（4）相反向量：与向量与向量
3、 长度相等而方向相反长度相等而方向相反的向量，的向量，称为称为 的相反向量。的相反向量。aa记作记作: :a（5）相等向量：方向相同且模相等方向相同且模相等的向量称为相等向量的向量称为相等向量 因此，在空间，同向且等长的有向线段因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。表示同一向量或相等向量。1. 空间向量的有关概念空间任意两个向量都是共面的空间任意两个向量都是共面的由于空间任意两个向量都可以转化为同一个平面内的向量，由于空间任意两个向量都可以转化为同一个平面内的向量，所以凡涉及所以凡涉及空间空间两个两个向量向量的问题，的问题，平面向量中的有关结论仍适用于它们平面向量中的有关结
4、论仍适用于它们.思考 空间两条直线的可能存在怎样位置关系？空间两条直线的可能存在怎样位置关系？ 空间两个向量是否可能异面？空间两个向量是否可能异面？ababOAB任意两个空间向量都可以任意两个空间向量都可以平移平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量到同一平面内，成为同一平面内的两向量练习1 给出以下命题：给出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（2）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（3）在正方体）在正方体 中，必有中，必有 ；（4）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（5）空间中任意两个单位向量必相等。
5、）空间中任意两个单位向量必相等。其中其中不正确不正确命题的个数是（命题的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4a b 、ab| |ab1111ABCDABC D11ACACm n p 、 、,mn np mp C平面向量加法减法数乘运算运算律减法：三角形法则三角形法则加法：三角形法则三角形法则或或平行四边形法则平行四边形法则bkakbak )()()(cbacbaabba空间向量数乘：ka，k为正数为正数, ,负数负数, ,零零加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律数乘分配律数乘分配律2. 空间向量的线性运算bbaabababa ababababOABC（1）空间向量的加减法a (0)a
6、 (0)（2）空间向量的数乘ba ba OBABOAbaCAOCOAbaa00a时，平面向量/加法减法数乘运算运算律减法：三角形法则三角形法则加法：三角形法则三角形法则或或平行四边形法则平行四边形法则bkakbak )()()(cbacbaabba空间向量数乘：ka，k为正数为正数, ,负数负数, ,零零加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律数乘分配律数乘分配律2. 空间向量的线性运算 由于任意两个空间向量都可以通过由于任意两个空间向量都可以通过平移平移转化为同一平面内的向量，转化为同一平面内的向量，任意两个任意两个空间向量空间向量的运算就可以的运算就可以转化为转化为平面向量平面向量的运算的
7、运算.证明？)()(cbacba加法结合律ba OABCabccba )(aCOABbc)(cbacb( (平面向量平面向量) )()(cbacba加法结合律ba OABCabccba )(OABCabc)(cbacb( (平面向量平面向量) )（3）推广首尾相接首尾相接的若干向量之和，的若干向量之和，首尾相接首尾相接的若干向量若构成一个的若干向量若构成一个封闭图形封闭图形, , 则它们的和为则它们的和为: :等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；零向量零向量1nA A1223341nnA AA AA AAA12233410nA AA AA
8、 AA A（4）平行六面体探究1 如图，在平行六面体如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，分别标出中，分别标出 ， 表示的向量表示的向量. 一般地，三个不共面的向量的和与这三个向一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系吗？量有什么关系吗？AAADABADAAABABCDABCD起点相同的三个不共面向量之和，等于以这起点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的三个向量为棱的平行六面体平行六面体的以公共起点为的以公共起点为起点的起点的对角线对角线所示向量所示向量. .（课本（课本P4 P4 第一段）第一段）GMCCADABAAADAB212)(311）（）（练习2AGAM 练习
9、3（课本（课本P5P5练习练习T2T2）探究2 对任意两对任意两个空间向量个空间向量a与与b，若，若a=b，a与与b有什么位置关系？有什么位置关系？ 反过来反过来，a与与b有什么位置关系时，有什么位置关系时，a=b？3. 空间向量的共线（平行）的 充要条件零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线（1）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合合, ,则这些向量叫做共线向量则这些向量叫做共线向量( (或平行向量或平行向量),),记作记作（2）共线向量定理:ba/（类比平面向量共线充要条件）（类比平面向量共线充要条件）bababba，使
10、存在实数）（对空间任意两个向量/,0,（3）方向向量：OPalaOP与向量与向量a平行的非零向量成为直线平行的非零向量成为直线l的的方向向量直线直线l上任意一点都可以由上任意一点都可以由直线直线l上的一点和它的方向向量确定，上的一点和它的方向向量确定，即即直线可以由其上一点和它的方向向量确定直线可以由其上一点和它的方向向量确定(1)共面向量：平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .OAaa4 .空间向量的共面充要条件探究3 空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了的了. 请问什么情况
11、下三个空间向量共面呢？请问什么情况下三个空间向量共面呢？探究3 空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了的了. 请问什么情况下三个空间向量共面呢？请问什么情况下三个空间向量共面呢？对对平面内平面内任意两个不共线向量任意两个不共线向量a，b，由，由平面向量基本定理平面向量基本定理，平面内的，平面内的任意一向量任意一向量p可以写成可以写成p=xa+yb，其中，其中(x,y)唯一确定唯一确定.对两个不共线的对两个不共线的空间向量空间向量a，b，若，若p=xa+yb，那么向量那么向量p与与向量向量a，b有有什么什么位置关系位置
12、关系？反过来，向量反过来，向量p与与向量向量a，b有什么有什么位置关系位置关系时，时，p=xa+yb？（2）共面向量定理:4 .空间向量的共面充要条件byaxpyxbapba，使对存在唯一一组有序实数共面与向量向量不共线，那么若两个向量),(,例题1 如图如图,已知平行四边形已知平行四边形ABCD,从平面从平面AC外一点外一点O作射线作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使，使OBOFOAOE. kODOHOCOG=证明：四点证明：四点E，F，G，H共面共面EFGHOABCD典例分析四点共面四点共面有公共起点的三个向量共面有公共起点的三个向量共
13、面尝试用空间向量解决立体几何问题尝试用空间向量解决立体几何问题证明:, kODOHOCOGOBOFOAOE=,OAkOE =,ODkOHOCkOGOBkOFADABAC+=,又OAkOCkOEOGEG)(ADABkACk+=)(OAODOAOBk-OF OEOH OE .EHEF .,四点共面HGFEEFGHOABCD【解决几何问题的常用方法（三部曲）】选择恰当的选择恰当的向量表示向量表示问题中的问题中的几何元素几何元素通过通过向量运算向量运算得出几何元素的得出几何元素的关系关系把运算结果把运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义成相应的几何意义ABECFDAFEF 练习巩固)213)2121AC
14、ABAFBCBDABCDBCAB（）（）（）（练习4（课本（课本P5P5练习练习T4T4）练习5（课本（课本P5P5练习练习T5T5）(1)()ACx ABBCCC 1x (2)AEAAxAByAD 12xy(3)AFADxAByAA 12xy课堂小结类比类比平面向量推广得到空间向量平面向量推广得到空间向量加法减法数乘运算运算律减法：三角形法则三角形法则加法：三角形法则三角形法则或或平行四边形法则平行四边形法则bkakbak )()()(cbacbaabba空间向量数乘：ka，k为正数为正数, ,负数负数, ,零零加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律数乘分配律数乘分配律概念既有既有大小大小又有又有方向方向的量。的量。空间向量的空间向量的共面共面充要条件（共面向量定理）充要条件（共面向量定理）空间向量的空间向量的共线共线的充要条件（共线向量定理）的充要条件（共线向量定理）课堂小结
