1、1.1.11.1.1空间向量及其线性运空间向量及其线性运算算 如图，一块正三角形钢板，三如图，一块正三角形钢板，三个顶点用等长的绳子绑起，在个顶点用等长的绳子绑起，在力力 的作用下静止，三条绳子的作用下静止，三条绳子的受力情况如何？的受力情况如何？FF通过这个实验，我们发现三角形钢板受到的通过这个实验，我们发现三角形钢板受到的三个力的特点是：三个力的特点是：（1）三个力）三个力不共面不共面，（2）三个力既有大小又有方向，但）三个力既有大小又有方向，但不在同一不在同一平面平面上上. 这种空间中的既有大小，又有方向的量，这种空间中的既有大小，又有方向的量，我们称之为我们称之为“空间向量空间向量”.
2、这就是我们第三章这就是我们第三章章将要学习的内容，空间向量与立体几何章将要学习的内容，空间向量与立体几何.F我们先看到第三章简介类比平面向量，空间向量有关概念类比平面向量，空间向量有关概念平面向量和空间向量没有本质的区别，因此我们可以通过类比平面向量的有关概念，加减运算等知识来学习空间向量。内容内容平面向量平面向量空间向量空间向量概念概念 画法及其表示画法及其表示 零向量零向量 单位向量单位向量 相相等等向量向量 相相反反向量向量 平面向量与空间向量有关概念平面向量与空间向量有关概念内容内容平面向量平面向量空间向量空间向量概念概念画法及其表示画法及其表示零向量零向量单位向量单位向量相等向量相等
3、向量用有向线段画出来，用有向线段画出来，记作：记作：或或 ABa在平面上，既有大小在平面上，既有大小又有方向的量，其大又有方向的量，其大小叫做向量的模小叫做向量的模在空间，具有大小和在空间，具有大小和方向的量，其大小叫方向的量，其大小叫做向量的模做向量的模用有向线段画出来，用有向线段画出来，记作：记作：或或 ABa长度为零的向量叫长度为零的向量叫做零向量，零向量做零向量，零向量的方向是任意的的方向是任意的长度为零的向量叫长度为零的向量叫做零向量，零向量做零向量，零向量的方向是任意的的方向是任意的平面中模为平面中模为1的向量的向量空间中模为空间中模为1的向量的向量平面中方向相同且模平面中方向相同
4、且模相等的两个向量相等的两个向量空间中方向相同且模空间中方向相同且模相等的两个向量相等的两个向量平面向量与空间向量有关概念平面向量与空间向量有关概念相反向量相反向量平面中长度相等而平面中长度相等而方向相反的向量方向相反的向量空间中长度相等而方空间中长度相等而方向相反的向量向相反的向量平面向量与空间向量有关概念平面向量与空间向量有关概念 ,BB CC DD ,BA B A CD C D 复习平面向量加减运算 1.加法运算 （1）平行四边形法则： （2）三角形法则： 2.减法运算：bOBaOA,设_OC _OC _AB OAOB OAAC OBOA 类比的结果是否正确？如何证明？这就是我们这节课的
5、第二个问题：空间向量的加减运算空间向量的加减运算ACABADAA 问题：在平行四边形中 中，由平行四边形法则可知， ，类比平行四边形中的结论，那么在平行六面体 中， 如何表示？ OCOAOB AC ABCDA B C D空间向量的加减运算空间向量的加减运算OACBababOABb结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以它们内，所以它们 可用同一平面内的两条有向线段表示可用同一平面内的两条有向线段表示.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们中有关结论仍适用于它们.思考：
6、空间中任意两个向量是否一定能够平移到同一个思考：空间中任意两个向量是否一定能够平移到同一个平面内？平面内？空间向量的加减运算空间向量的加减运算 在空间中，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以空间向量的加法和减法运算与平面向量相同. (1)空间向量加法运算： 平行四边形法则： 三角形法则：OBOAOCACOAOC注：首尾顺次相接，起点指向终点三角形法则推广首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量nnAAAAAAAA14332211A2A3A4A1nAnAnAA1空间向量的加减运算空间向量的加减运算 在空间中，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以空间向量的加
7、法和减法运算与平面向量相同.（2）空间向量的减法运算：AB OB OA 注：起点相同，差向量为减向量终点指向被减向量的终点空间向量加法运算律空间向量加法运算律加法交换律：加法交换律：加法结合律：加法结合律：a bc （ + ）+ab问题：平面向量的加法运算符合交换律和结合律，空间问题：平面向量的加法运算符合交换律和结合律，空间向量是否也符合？向量是否也符合？ba()abc问题：能否借助空间图形说明加法结问题：能否借助空间图形说明加法结合律的合理性？合律的合理性？加法结合律加法结合律,a ABb ADc AA 在 平 行 六 面 体 中 ，设()ABADAAACAAAC ()ABAD AAAB
8、ADAC 又()a bcab c （ + ）+这个这个过程同时也说明了前面类比结果是正确的过程同时也说明了前面类比结果是正确的类比的结果是否正确？类比的结果是否正确？如何证明？这就是我们这节课的第二个问题：空间向量的加减运算ACABADAA 问题：在平行四边形中 中，由平行四边形法则可知， ，类比平行四边形中的结论，那么在平行六面体 中， 如何表示？ OCOAOB AC ABCDA B C DOABC空间向量的加减运算空间向量的加减运算化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体DCBAABCD例2(1)AB BBA D (2)ACACBC (1) AB BBA DABA DAB
9、B CAC (2)ACAC BCCCBCBC 变式abc 规律总结：规律总结：掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量、相等向量及两题的关键，灵活应用相反向量、相等向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解向量和、差，可使这类题迅速获解.abc当堂检测当堂检测A D C 相等相等 相反相反 BA 课堂小结课堂小结1.这节课你收获了哪些知识？这节课你收获了哪些知识？2.你是如何获得的？你是如何获得的？3.你在获得知识的过程中用到了哪些数学思你在获得知识的过程中用到了哪些数学思想方法？想方法？4.你还有哪些疑惑你还有哪些疑惑?作业：作业：P86第第3题题P97第第1题（题（1）（）（2）
