1、第一章第一章 统计案例统计案例1.1.1 空间向量及其线性运算高二数学选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何学习目标1.了解空间向量的相关概念,掌握空间向量的表示法.2.能够熟练地进行空间向量的线性运算;3.理解共线向量、共面向量的概念及其充要条件.4.能运用共线向量、共面向量的充要条件证明 四点共面.5.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算. 一、情景引入 这是一个做滑翔伞运动的场景.你能想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自哪些不同方向、大小各异的力吗？OABC正东正东正北正北向上向上已知F1=10N, F2=15N，F3=15N这三个力两两之间的夹角都为90度,它们的合力的大小为多
2、少N?F3F1F2这需要进一步来认识空间中的向量问题1：问题2：如图：已知OA=6米， AB=6米，BC=3米， 那么OC=?a b c AB起点起点终点终点二、探究新知在空间中,具有大小和方向的量. 1).空间向量：NoImageb ,., ac ，小常等写字母用表示a空间向量 的大小.aa的长度叫空间向量.记为或模AB 有向线段空间向量也可用表示，ABAB 的模记为空间向量.1.空间向量的有关概念2).零向量：规定：长度为0的向量叫做零向量，记作:03).单位向量： 模为1的向量称为单位向量当有向线段的起点A与终点B重合时，0AB4).相反向量： 与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的
3、相反向量。aa记作记作: :a5).相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。空间任意两个向量都可以平移到同一平面内， 成为同一平面内的两个向量。C 11111112aba = ba=b;3;4=m=p;51:ABCDABCDACACmn pm nn p 给出以下结论:两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量， 满足，则在正方体中，必有若空间向量 ， , 满足,，则空间中任意两个单位向量必相等.其中不正确6).巩固的个数是A 1 B 2 C 3 D 4平面向量概念概念加法加法减法减法数乘数乘运算运算运运算算律律定义定义
4、 表示法表示法 相等向量相等向量减法减法: :三角形法则三角形法则加法加法: :三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则bkakbak )()()(cbacbaabba2、空间向量加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘数乘:ka,k:ka,k为正数为正数, ,负数负数, ,零零加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律数乘分配律数乘分配律ababab+OAbBCOCOACAABOAOB1).空间向量的加减法a (k0)ka (k0)k2).空间向量的数乘平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或 平行四边形法则空间向量具有大小和方
5、向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律baba )(数乘分配律加法:三角形法则或 平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律数乘:ka,k为正数,负数,零)()(cbacba2、空间向量加减与数乘运算3).推广:(1)首尾相接的若干向量之和，(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形, 则它们的和为:等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；零向量1nA A1223341nnA AA AA AAA12233410nA AA AA AA AABCDABCDA1B1C1D1ABCD4).平行六面体平行六
6、面体:平行四边形ABCD ABCD 平移向量 到 的轨迹所形成的几何体.1111ABC Daa记作：平行六面体 ABCD-ABCD-1111ABC D5).巩固2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简 下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)ABCDA1B1C1D1BCAB)1 (1(2)ABADAA ADAAAB1)3(BCAB)1 (解解:1)2(AAADABADAAAB1)3(AC1AC 1AC 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1GM起点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六
7、面体的以公共起点为起点的对角线所示向量11(4) ().3ABADAA 11(5).2ABADCC AGAM F1F2F1=10NF2=15NF3=15NF36).解决问题2:求合力NABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBAB111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (7).变式：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1
8、x7).变式：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111 ) 3 (ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)( 21AAABAD12AC111 )3(ACxADABAC. 2x7).变式：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。一般的，对于三个不共面的向量以任意点o为起点， 为邻边作平行六面体，则 的和等于以o为起点的平行六面体对角线所表示的向量.cba,cba, ,a b c8)探究：三个不共面的向量的和与这三个 向量有什么关系？零向量与任意向量共线1).共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在 直线
9、互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量 (或平行向量),记作3.空间向量的共线或平行2).共线向量定理:.,ba使条件是存在实数的充要对空间任意两个向量babba/),0(,ba/类比平面向量共线充要条件OABPaaAl且平行已知非零向量为经过已知点如果上在直线点那么对任意一点的直线lPO,OPOAtta 的充要条件是存在实数 使.a其中向量叫做直的方向向量线推论:,OPOAtABABa 若取则可以用此证明三点共线l3).共面向量(1)共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.NoImageOAaa注意：空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量就不一定共面的了.MabABAPp (2)
10、共面向量定理:与那么向量不共线如果两个向量pba,唯一的共面的充要条件是存在向量ba,(., ),pxbyxay 有序实数对使OMabABAPp 推论 OPOMxMAyMB 空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有 MPxMAyMB 1.例1. 如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线在四条射,ODOCOBOA并且使线上分别取点,HGFEOBOFOAOE. kODOHOCOG=证明证明:四点四点E、F、G、H共面共面三.巩固新知EFGHOABCD证明证明:, kODOHOCOGOBOFOAOE=,OAkOE =,ODkOHOCkOGOBkO
11、FADABAC+=,又OAkOCkOEOGEG)(ADABkACk+=)(OAODOAOBk-OF OEOH OE .EHEF .,四点共面HGFEEFGHOABCD2.变式：在空间四边形ABCD中,点E、F分别是BC、 CD边的中点,化简ABECFDAFEF 112ABBCBD 122AFABAC ABCDDCBA(1)()ACx ABBCCC 1x 3变式:在正方体AC中,点E、F是上底面AC和侧 面CD 的中心,求下列各式中的x,y.ABCDDABCEF3变式:在正方体AC中,点E、F是上底面AC和侧 面CD 的中心,求下列各式中的x,y.(2)AEAAxAByAD 12xy(3)AFADxAByAA 12xy四、课堂小结你有哪些收获呢？1、空间向量的线性运算2、空间向量的共线3、共面向量、用于证明点共面作业: 课本P9 习题1.1 1，2题
