1、 在物理课中我们学过在物理课中我们学过功功的概的概念：念：如如果一个物体在力果一个物体在力F的作用下产生位的作用下产生位移移s，那，那么力么力F所做所做的功的功为为一一般般化化一一般般化化定定义义为为(0)平面向量的数量积 性质几何意义运算律(1) (2) ()()()(R);(3) ().a bb aaba bababca cb c ；ACDA1B1Bab2(1)cos .(2)0.(3);.abeba ee aaaba baba ba baba ba ba aaaa a 设 ， 是非零向量，夹角为 ， 是与 方向相同的单位向量当 与 同向时，当 与 反向时，特别地，或11ab AB 是是
2、在在 上上的的投投影影向向量量. .a b b a b a OBAb a OBA 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义, ,.a bOOAa OBbAOBa ba b 如如图图 已已知知两两个个非非零零向向量量在在空空间间任任取取一一点点作作则则叫叫做做向向量量的的夹夹角角 记记作作, 0,.a ba bb a 通通常常规规定定且且,.2a ba bab 如如果果那那么么向向量量互互相相垂垂直直 记记作作cos,(),co s, a binner producta ba ba ba ba ba ba b 已已知知两
3、两个个非非零零向向量量数数量量记记则则积积叫叫做做的的作作即即特别地，零向量与任意向量的数量积为02,0,cos,aba ba aa aa aa 由由向向量量的的数数量量积积定定义义 可可以以得得到到：2a aa 也也记记作作,.,?labaa 在在平平面面向向量量的的学学习习中中 我我们们学学习习了了向向量量的的投投影影 类类似似地地在在空空间间 向向量量 向向向向量量 的的投投影影有有什什么么意意义义 向向量量 向向直直线线 的的投投影影呢呢思思考考：向向量量 向向平平面面 的的投投影影呢呢a b (1)a l(2)a AB (3)a b c a a c l(1)(2)(1),cos,ab
4、bbc caa bcabb 如如图图在在空空间间 向向量量 向向向向量量 投投影影 由由于于它它们们是是自自由由向向量量 因因此此可可以以先先将将它它们们平平移移到到同同一一个个平平面面 内内 进进而而利利用用平平面面上上向向量量的的投投影影 得得到到与与向向量量共共线线的的向向量量向向量量 称称为为向向量量 在在向向量量 上上的的投投影影向向量量. .a ,(2)()l类类似似地地 可可以以将将向向量量向向直直线线 投投影影 图图a a c ABA B (3),aA BA BAaABA BaaaB 向向 如如图图 向向量量 向向平平面面 投投影影 就就是是分分别别由由向向量量 的的起起点点
5、和和终终点点 作作平平面面的的垂垂线线 垂垂足足分分别别为为得得到到向向量量称称为为向向量量 在在平平面面上上 的的投投影影向向量量. .这这时时, ,向向量量 与与向向量量的的夹夹角角就就是是向向量量 所所在在直直线线与与平平面面 所所量量成成的的角角. .()(),R;()()()aba ba bb aabca cb c 空空间间向向量量的的数数量量积积满满足足如如下下的的运运算算律律：交交换换律律分分配配律律acb0 00 ，但aba baca ca ba cbc不 能 1. 0 , , , , , ,a b cabacbca b ca ba cbc .思考：对于三个均不为 的数若则对于
6、向量由你能得到吗？如果不能 请举出反例. 2. 0 , , , , , ( ) a b ca babba对于三个均不为 的数若则对于向量由你能得到或的形式吗？ca b cabcabkkk. 不能不能 向量没有除法运算，向量没有除法运算，因为有两种乘法：一是因为有两种乘法：一是数量积数量积ab，二是向量积，二是向量积ab，所以向量的除法，所以向量的除法没有意义没有意义. 3. 0 a b c a b ca b c对于三个均不为 的数 , , ,若, 则对于向量 , , ,由成立吗？为什么？a b cab ca bcbc . ()()()()不成立不成立cbacbacos|)(ccos|)(cba
7、cbaa当当a与与c共线时，共线时，(ab)ca(bc)成立；成立；当当a与与c不共线时，不共线时，(ab)ca(bc).因此因此，(ab)ca(bc)不一定成立不一定成立. .向量的数量积不满足结合律向量的数量积不满足结合律. .证明证明: :ABCDD C B A 5,3,7,60,45 .(1); (2)(0 1).,.2ABADAABAABCDA B C DBAADAAABDADAC 如如图图 在在平平行行六六面面体体中中求求：的的长长 精精确确到到例例(1)cos,5 3 cos607.5,AB ADAB ADAB AD 解解：22222(2)()2()ACABADAAABADAAA
8、B ADAB AAAD AA 2225372(5 3 cos605 7 cos453 7 cos45 ) 9856 213.3AC 所所以以 lmng,3,.,lmm nlnl 如如图图是是平平面面 内内的的两两条条相相交交直直线线求求证证：如如果果例例(,.,),.llm llggnlgmn 要要证证明明就就是是要要证证明明如如果果我我们们能能在在并并由由垂垂直直于于 内内的的任任意意一一条条和和直直线线直直线线与与平平面面垂垂直直的的定定之之间间建建立立某某种种联联得得到到那那么么就就能能解解决决系系分分：义义此此问问题题析析 lmngl n g m , , ,.gl m n gl m n
9、 g 证证明明： 在在平平面面 内内作作任任意意一一条条直直线线分分别别在在直直线线上上取取非非零零向向量量,.,( ,),mnm nx ygxmyn 因因为为直直线线与与 相相交交 所所以以向向量量不不平平行行由由向向量量共共面面的的充充要要条条件件可可知知 存存在在唯唯一一的的有有序序实实数数对对使使,.ll gxl myl n 将将上上式式两两边边分分别别与与向向量量 作作数数量量积积运运算算得得,.ll 这这就就证证明明了了直直线线 垂垂直直于于平平面面 内内的的任任意意一一条条直直线线 所所以以0,0,0.l ml nl glg 因因为为所所以以所所以以ABCC1A1B1111111
10、1.,().60.90.105.752,ABCA B CABBCABBCABBD 在在正正三三棱棱柱柱所所成成角角如如图图中中 若若则则为为与与的的大大小小1111111112111111,2.,() ()122cos600,90BBABABBBBA BCBBBCABBCBBBABBBCBBBA BCABBCABBC 解解：设设则则与与所所成成的的角角为为BBDACD C B A a b c ,(1)();(2)();(3)()2.,).1,(ABa ADb AAcabcaabABCDA B CbDcabc 如如图图 正正方方体体的的棱棱求求长长为为 设设：(1)()000;abca ba c
11、 解解：22(2)()001;aabcaa ba ca 22(3)() ()00l01abbca ba cbb c 4,3,5,903.,60 .(1);(2).,ABADAABAABCDA B C DBAADAAAAACDBA 如如图图 在在平平行行六六面面体体中中求求： 的的长长(1)cos,5 4 cos6010,AAABAAABAA AB 解解：22222(2)()2()ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA 2224352(4 3 cos904 5 cos603 5 cos60 ) 85 = 85AC 所所以以ABCDD C B A 4.,.,.ABaBDAB BDBDAB ACCbCcDA 如如图图 线线段段在在平平面面 内内且且求求两两点点间间的的距距离离22()CDCAABBD ABDCacb2222()CAABBDCA ABCA BDAB BD 2222(000)cab 222cab 222CDcab ,ACABBDACAB ACBD解解：空间向量空间向量的数量积的数量积空间两个向量的夹角空间两个向量的夹角定义定义几何意义几何意义运算律运算律性质性质利用向量解利用向量解决立体几何决立体几何问题的应用问题的应用
