1、3.3.1抛物线及其标准方程关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（- a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐进线ayxb .yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)byxa 复习引入例.25()(4 0):44.5MxyFlxM点，与 定 点， 的 距 离 和 它 到 定 直 线的 距 离 的 比 是 常 数， 求 点的 轨 迹例 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l: 的距离的比是常数 ,求点M的轨迹.49x34221259xy
2、即17922yx即MFllFM探究 通过例题，我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：在平面内，动点M与定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比值是一个常数(大于零且不等于1)， 那么在平面内，动点M与定点F的距离和它到一条定直线l的距离相等，那么点M的轨迹会是什么形状.MFllFMFMl 可以发现可以发现, ,点点M随着随着H H运动的过程中运动的过程中, ,始终有始终有| |MF|=|=|MH|,|,即点即点M与点与点F和定直线和定直线l的距离相等的距离相等. .点点M生成的轨迹是生成的轨迹是叫做叫做抛物线抛物线新知抛物线的定义抛物线的定义: :在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和
3、一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨的点的轨迹叫迹叫抛物线抛物线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线CMFle=1Hd 为为 M 到到 l 的距离的距离准线准线焦点焦点d思考:比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单,其标准方程形式怎样?探究标准方程的推导lxKyoM(x,y)F解：解：以过以过F F且垂直于且垂直于l l 的直线为的直线为x x轴轴, ,垂足为垂足为K K. .以以F F, ,K K的中点的中点O O为坐标原点建立直角坐标系为坐标原点建立直角坐标系xoyxo
4、y. .设设M(x,y),|FK|=p,M(x,y),|FK|=p,则焦点则焦点F ,F ,准线准线l为为)0 ,2(p2px22()|22ppxyx 依题意得两边平方,整理得22(0)ypx p 表示焦点在x轴正半轴上,焦点坐标是 ,准线方程为 的抛物线的标准方程)0 ,2(p2px 把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.且 p的几何意义是:焦点坐标是(,0)2p2px 准线方程为:yxo(1)yxoyxo(2)(3)yxo(4)焦点到准线的距离新知准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy y
5、lx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0,2p(2px)0,2p(2px )2p0( ，2py)2p0(，2py P的意义的意义:抛物线的焦抛物线的焦点到准线的距离，点到准线的距离，方程的特点方程的特点:(1)左边左边是二次式是二次式,(2)右边右边是一次式是一次式;相同点：相同点：(1)顶点为原点顶点为原点;(2)对称轴为坐标轴对称轴为坐标轴; 不同点不同点：(1)一次项变量为一次项变量为x(y)，则对称轴为则对称轴为x(y)轴轴;(2)一次项系数为正（负），则开口方向坐标轴的正（负）方向一次项系数为正（负），则开口方向坐标轴的正（负）方向.新知准线方程准线方程焦
6、点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0,2p(2px)0,2p(2px )2p0( ，2py)2p0(，2py P的意义的意义:抛物线的焦抛物线的焦点到准线的距离，点到准线的距离，方程的特点方程的特点:(1)左边左边是二次式是二次式,(2)右边右边是一次式是一次式;开口方向看正负开口方向看正负一次变量定焦点一次变量定焦点焦准看焦准看p的一半的一半新知焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=- -5（0，）18y= - 188x= 5（- - ，0）58（0，- -2）y=2练
7、习求下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1)y2 = 20 x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =021例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 =6x，求它的焦点坐标和准线方程;(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.例题解:(1)因为p=3，所以焦点坐标 准线方程是)0 ,23(23x(2)因为焦点在y轴的负半轴上，且所以p=4,所以所求抛物线的标准方程是x2 =-8y22p练习根据下列条件，写出抛物线的标准方程（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程 是x = ；（3）焦点到准线的距离是2。41y2 =12xy2 =xy2 =4x，y2 =
8、-4x，x2 =4y 或或 x2 = -4y例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。xyOAB例题设抛物线的标准方程是y2=2px(p0)，由已知条件可得，点A的坐标是(0.5,2.4)，代入方程，得解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。 220.52.4p5.76p 即(2.88,0)211.52xy所以，所求抛物线的标准方程是 ，焦点的坐标是例题求过点求
9、过点A（3，2）的抛物线的标准方程）的抛物线的标准方程xyo(3,2)解:当焦点在x轴的正半轴设抛物线的标准方程是 y2 = 2px（p0），因为A（3，2）在抛物线上所以4=6p 解得p=抛物线的标准方程为当焦点在y轴的正半轴设抛物线的标准方程是 x2 = 2py（p0），因为A（3，2）在抛物线上所以9=4p 解得p=可得抛物线的标准方程为 y2 = x 43 x2 = y922394练习当焦点位置不确定时，结合图像，分类讨论进而写出抛物线的标准方程(1)抛物线y2 = 2px（p0）上一点M到焦点的距离是a(a0),则点M到准线的距离是 ，点M的横坐标是 。(2)抛物线y2 = 12x，
10、上与焦点的距离等于9的点的坐标是 。a2pa-22（6，6），（6，-6）FlHyxKOMaa2P练习归纳：抛物线的定义及应用抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线的定义解决最值问题及其他问题的实质小结准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0,2p(2px)0,2p(2px )2p0( ，2py)2p0(，2py 1.开口方向看正负开口方向看正负一次变量定焦点一次变量定焦点关键看关键看p的一半的一半2.作业课本 P138 习题3.3 1、2
