1、3.1.2椭圆的简单几何性质高二数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程学习目标1.掌握椭圆的几何图形及简单几何性质；2.能用坐标法解决一些与椭圆有关的简单几何问题和实际问题；3.通过学习椭圆,进一步体会数形结合的思想.4.核心素养：数学抽象、逻辑推理。 1.椭圆的定义: 平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a （大于|F1F2 |）的动点M的轨迹叫做椭圆.2.椭圆的标准方程：3.椭圆中a,b,c的关系:当焦点在X轴上时当焦点在Y轴上时)0( 12222 babyax)0( 12222babxay|)|2(2|2121FFaaMFMF a2=b2+c2 ) 0(ba，一、回顾旧知：
2、 -axa, -byb 椭圆位于直线x=a,y= b所围成的矩形中， 如图所示： oyB2B1A1A2F1F2cab 1.椭圆 的范围：)0(12222babyax, 122 ax得：得：122 by由x二、探究新知 2.椭圆 的对称性：)0(12222babyax从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、 原点对称.YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y） 从方程上看： (1)把x换成-x方程不变，图象关于 轴对称； (2)把y换成-y方程不变，图象关于 轴对称； (3)把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 图象关于 成中心对称。)0( 12222 babyaxy x 原点 坐标轴是椭
3、圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心.中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）*长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长分别等于2 a和2 b 。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(0,-b)(a，0)(-a，0)3. 椭圆 的顶点：)0(12222babyax令 x=0,得 y=？说明椭圆与 y轴的交点为（ ）， 令 y=0,得 x=？说明椭圆与 x轴的交点为（ ）。0, ba, 0*顶点：椭圆与它的对称轴的四个 交点，叫做椭圆的顶点。123-1-2-3-44y123
4、-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x4.根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 005.椭圆的离心率ace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.(1)离心率的取值范围：(2)离心率对椭圆形状的影响：0eb)ceaa2=b2+c2 ) 0(ba，7.椭圆的几何性质标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率 a、b、c的 关系22221(0)xyabab关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(
5、0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b. (ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea-a x a, - b y b-a y a, - b x ba2=b2+c2 ) 0(baa2=b2+c2) 0(ba1.练习：已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则它的长轴长是： ；短轴长是： ；焦距是： ；离心率等于： ；焦点坐标是： ；顶点坐标是： ； 外切矩形的面积等于： ； 108635( 3,0)( 5,0)(
6、0, 4)80解题步骤：1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：1162522yx2、确定焦点的位置和长轴的位置.三、巩固新知：2.变式：求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a=6, e= , 焦点在x轴上.(2) 离心率 e=0.8, 焦距为8.(3) 长轴是短轴的2倍, 且过点P(2,-6).求椭圆的标准方程时, 应: 先定位(焦点), 再定量a、b 当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！31 (4)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直， 且焦距为6.1323622yx192519252222xyyx或11352y137y1482222xx或191822yx3.例5.1212
7、12112().,2.8,4.5.(0.1).BCF FF Bcm F FcmBACcm如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面 椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面 的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F上，片门位于另一个焦点F 上.由椭圆一个焦点F发出的光线，经过旋转椭圆面反射到另一个焦点F 已知试建立适当的平面直角坐标系，求截口所在椭圆的方程 精确到2222:1(0)xyabab 建立如图所示的坐标系，设所求椭圆方程为解22221221122.84.5Rt BF FF BF BF F在中，22121211+=,=+=2.8+ 2.84.54.122FBF B
8、aaFBF B由椭圆的性质可知，2所以2222144.13.xy所以，所求的椭圆方程为4.例6.的距离和它到直线与定点点)0 , 4(),(FyxM.,54425:的轨迹求点的距离的比是常数Mxl,425:的距离到直线是点设xlMdOxyMFdH解:的轨迹就是集合点由题意知M,54dMFMP.54425)4(22xyx即，22125,.9xy化简得106.M点的轨迹是长轴、短轴长分别为， 的椭圆的的距距离离和和它它到到定定直直线线，与与定定点点若若点点)0(),(cFyxM思考上面探究问题，并回答下列问题：的的距距离离和和它它到到定定直直线线，与与定定点点）若若点点（)0(),(3cFyxM
9、的的，此此时时点点的的距距离离的的比比是是常常数数Mcaaccaxl)0(:2 ？轨轨迹迹还还是是同同一一个个椭椭圆圆吗吗时时，对对应应，定定直直线线改改为为，）当当定定点点改改为为（caylcF2:)0(4 ？的的轨轨迹迹方方程程又又是是怎怎样样呢呢5.探究：2:(0)acl xacMca的距离的比是常数，求点的轨迹.（1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹（2）给椭圆下一个新的定义OxyMFdHdMl设 是点直线 的距离，根据题意，所求轨迹解：就是集合,MFcPMda由由此此可可得得：.)(222acxcaycx 简简，得得将将上上式式两两边边平平方方，并并化化).()22222222
10、caayaxca （则方程可化成则方程可化成设设,222bca ).0( 12222 babyax的的轨轨迹迹是是长长轴轴、短短轴轴长长所所以以点点这这是是椭椭圆圆的的标标准准方方程程，M.22的椭圆的椭圆、分别为分别为baOxyMFdH6.椭圆第二定义：注意：我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，而相应的把另一个定义称为椭圆的第一定义.一一个个定定点点的的距距平面内与平面内与离离和和它它到到一一条条定直线的距离定直线的距离的的比比是是常常数数) 10( eace的点的轨迹.定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线.7.椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的定义 1图 形定义 2平平面面内内与与一一
11、个个定定点点的的距距离离和和它它到到一一条条定定直直线线的的距距离离的的比比是是常常数数)10( eace的的点点的的轨轨迹迹。)0 ,()0 ,(21cFcF、焦点：焦点： ),0(),0(21cFcF、焦焦点点： cax2 准线：准线：cay2 准线：准线：、两两个个定定点点1F的的距距离离的的和和2F等等于于常常数数（大大）的的点点于于21FF的的轨轨迹迹。平面内与平面内与8.椭圆与直线的位置关系及判断方法（1）联立方程组 （2）消去一个未知数相离相切相交0判断方法9.例7.2245m01,259xylxy已知直线 ：和椭圆 m123lC为何值时，直线 和椭圆 ： 有两个公共点？有且只有
12、一个公共点？没有公共点？2245012:59xymxy由 方 程 组解 22y822510.mxm消去 ，得25x 22221=644 252253625.mmm 方程的根的判别式F1F2Oxy-25m 25,有两个交点; m1=-25, m2= 25,有一个交点; m -25或m 25,没有交点.10.变式：.04054, 192522yxlyx：直线已知椭圆的距离最小？它到直线椭圆上是否存在一点l,最小距离是多少？F1F2xOy2222450822501259xy kykx kxy 由消去 得,25x设与直线l平行的直线m的方程为4x-5y+解：k=0,22=644 252250,k= 2
13、5kk 由得，25kml当时，直线 与椭圆的交点到直线 距离最近.2240-2515d=41414 +5ml最短距离为直线 与直线的间的距离.11.变式:的作倾斜角为的左焦点经过椭圆6012122Fyx.,的长求线段两点与椭圆相交于直线直线ABBAll222121()()ABxxyyF1F2Oxy2122121224)()1 (1xxxxkxxkABAB解:112222bac由)0 , 1(, 1,1Fc得360tank又的方程为直线 l) 1(3xy),(),(2211yxByxA设得消去由yyxxy12) 1(322041272 xx.74,7122121xxxx2122124)()1 (
14、xxxxkAB21241 3477 72812变式：,1641002221的两个焦点是椭圆，已知yxFF.是椭圆上任意一点P1212(1),;3FPFFPF若求的面积.)2(21的最大值求PFPF OxyPF1F2解:,) 1 (21nPFmPF设,12,20,21FFnm则由余弦定理得中在,21PFF,123cos2222mnnm,1443)( ,2mnnm即,1443202mn,3256mn2121sin2121PFFPFPFSPFF12563.234326312(220)PFPF由题意知，21212PFPFPFPF22121()2PFPFPF PF即.100)220(212=,PFPF当且仅当时 “ ”成立.10021的最大值是PFPF 标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率 a、b、c的关系22221(0)xyabab关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b. (ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)-a x a, - b y b-a y a,- b x ba2=b2+c2 ) 0(ba，四.课堂小结作业: 课本P115 习题3.1 4 题
