1、2021.71.2空间向量的基本定理空间向量的基本定理新课程标准解读新课程标准解读核心素养核心素养1.了解空间向量的基本定理及其意义了解空间向量的基本定理及其意义1数学抽象、直观想象数学抽象、直观想象2.掌握空间向量的正交分解掌握空间向量的正交分解 2数学抽象、数学运算数学抽象、数学运算平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2 若 e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？为了表示空间中的任意向量，我们至少需要
2、几个向量？两个不共线的向量还够用吗？如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 pxayb至少需要三个向量 任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？l 三个向量共面不可以l 三个向量不共面可以吗ijkOPQOPOQQPuuruuu ruur=xi+yj+zkabcpAaBbCcQPO空间向量基本定理空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)， pxaybzc 那么，所有空间向量组成的集合就是 p | pxaybzc，x，y，zR 我们把a，b，c叫做空
3、间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量 空间的基底有多少个，需要满足什么条件？ 答：任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底空间的基底有无穷多个 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k表示 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk，使 axiyjzk 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解PQijkOa|i|j|k|1.且ijjkik0，这是其他一般基底所没有的1判断正误判断正误(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)(1)只有两两垂
4、直的三个向量才能作为空间向量的一组基底只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()(2)若若a，b，c为空间一个基底，则为空间一个基底，则a，b，2c也可构成空间一个也可构成空间一个基底基底()(3)若三个非零向量若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则不能构成空间的一个基底，则a，b，c共共面面()ABCDA1B1C1D1ABCDMbcd解：解：因为M为BC的中点探究点探究点1空间向量的基底空间向量的基底由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，i2jkx(3ij2k)y(ijk)(3xy)i(xy)j(2xy)k.因为i，j，k是空间的一个基底，所以i，j，k不共面，空间向
5、量基底的判断依据空间向量基底的判断依据(1)判断一组向量能否作为空间向量的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间向量的一个基底(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断 探究点探究点2利用基底表示向量利用基底表示向量BCABACMN探究点探究点3空间向量基本定理的应用空间向量基本定理的应用例例3如图，已知在直三棱柱如图，已知在直三棱柱ABCABC中，中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为分别为AB，BB的中点的中点(1)求证：求证：CEAD；(2)求异面直线求异面直线CE与与AC所成角的余弦值所成角的余弦值BCABACED
