1、1.会用基底法表示空间向量.2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想.学习目标XUE XI MU BIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使 .(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 .abpxayb思考怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？答案平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.知识点二求夹角、证明垂直问题(1)为a，b
2、的夹角，则cos .(2)若a，b是非零向量，则ab .ab0思考怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？答案几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围.知识点三求距离(长度)问题思考怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？答案几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU2题型探究PART TWO一、证明平行、共面问题例1如图，已知正方体ABCDABCD，E，F分别为AA和CC的中点.求证：BFED.直线BF与ED没有公共点，BFED.反思感
3、悟证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.跟踪训练1如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE BB1，DF DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.所以A，E，C1，F四点共面.二、求夹角、证明垂直问题例2如图所示，在三棱锥ABCD 中，DA，DB，DC两两垂直，且DBDCDA2，E为BC的中点.(1)证明：AEBC；又DA，DB，DC两两垂直，且DBDCDA2，(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值.反思感悟求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cosa，b
4、 ，求a，b的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.跟踪训练2在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCB1B1，M，N分别是AD，DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.三、求距离(长度)问题例3已知平面平面，且l ，在l上有两点A，B，线段AC ，线段BD ，并且ACl ，BDl，AB6，BD24，AC8，则CD_.26解析平面平面，且l，在l上有两点A，B，线段AC，线段BD，AC l ，BD l ，AB6，BD24，AC8，CD26.反思感悟求距离(长度)问题的思路选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的
5、模的问题.3随堂演练PART THREE1.(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是因为2(1)(1)01,11(1)1,由上可知，BD满足要求.12345A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定12345同理，C，D均为锐角.A.90 B.60C.45 D.30 12345解析因为SA底面ABC，所以SAAC，SAAB，又ABBC，ABBC2，所以SC与AB所成角的大小为60 .123454.如图，已知ABCD中，AD4，CD3，D60，PA平面ABCD，且PA6，则PC的长为_.123457PC7.5.已知a，b是
6、空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab| ，则cosa，b_.123451.知识清单：(1)空间向量基本定理.(2)空间向量共线、共面的充要条件.(3)向量的数量积及应用.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：(1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆.(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义.课堂小结KE TANG XIAO JIE4课时对点练PART FOUR基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 162.如图，已知空间四边形ABCD中，ACBD，顺次连接各边中点P，Q，R，S，所得图形是A.长方形B.正方形C.梯形D.菱形1234
7、5678910 11 12 13 14 15 16所以四边形PQRS为平行四边形.所以PSPQ，故四边形ABCD为菱形.12345678910 11 12 13 14 15 163.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是解析根据题意可得，12345678910 11 12 13 14 15 164.在正三棱柱ABCA1B1C1 中，若AB BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是A.60 B.75C.90 D.105abbcacc2CA1与C1B所成的角的大小是 90.12345678910
8、 11 12 13 14 15 165.如图，二面角l等于 ，A，B是棱l上两点，BD,AC分别在平面，内，ACl ，BDl ，且 2ABACBD2，则CD的长等于12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 166.已知向量a，b满足条件|a| ，|b|4，若mab，nab，a，b135，mn，则实数_.解析因为mn0，所以(ab)(ab)0，所以a2(1)abb20，12345678910 11 12 13 14 15 16设直线AB与CD所成角为，12345678910 11 12 13 14 15 168.如图，平行六面
9、体ABCDA1B1C1D1中，|AB|AD|AA1|1，BADBAA1120，DAA160，则线段AC1的长度是_.12345678910 11 12 13 14 15 16解如图，连接AC，EF，D1F，BD1，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1610.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16综合运用A.3 B.1C.1 D.3解析连接AG(图
10、略)，12345678910 11 12 13 14 15 1612.在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90， 点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是A.30 B.45C.90 D.60解析因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点，设所求异面直线的夹角为，则12345678910 11 12 13 14 15 1613.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_.9012345678910 11 12 13 14 15 1614.如图，一个结晶体的形状为平行六面
11、体ABCDA1B1C1D1 ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是_.(填序号)12345678910 11 12 13 14 15 16解析以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60，可设棱长为1，12345678910 11 12 13 14 15 16所以正确.显然AA1D为等边三角形，则AA1D60 .则不正确.12345678910 11 12 13 14 15 16所以不正确，故正确.12345678910 11 12 13 14 15 1615.(多选)在四面体PABC 中，以上说法正确的有12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心.求证：B1O平面PAC.12345678910 11 12 13 14 15 16证明如图，连接BD，则BD过点O，12345678910 11 12 13 14 15 16又ACAPA，AC，AP平面PAC，OB1平面PAC.12345678910 11 12 13 14 15 16
