1、1.1空间向量及其运算空间向量及其运算第一章1.1.1 1.1.1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算高中数学 选择性必修第一册 RJA1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律.4.理解向量共面的充要条件，并会运用判断两空间向量是否共面.核心素养：数学运算、数学抽象、直观想象学习目标高中数学 选择性必修第一册 RJA问题1 空间向量是平面向量的推广。 我们已经学过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性表示吗？高中数学 选择性必修第一册 RJA新知讲解:大小大小方向有
2、向线段高中数学 选择性必修第一册 RJA长度为0二 几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量单位向量 的向量称为单位向量相反向量共线向量(平行向量)相等向量大小 方向 的向量称为相等向量模为1相等相反相等相同高中数学 选择性必修第一册 RJA问题2 在学习完平面向量的相关概念后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？高中数学 选择性必修第一册 RJA思考 空间中的任意两个向量是不是共面的？是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.空间向量的线性运算加法 减法数乘 三 空间向量的运算（同平面向量）当0时，a0想一想 向量起点的选
3、择对向量线性运算的结果有影响吗？没有影响，向量起点可以平移到任何位置.高中数学 选择性必修第一册 RJA1.两个有公共终点的向量，一定是共线向量.()2.在空间中，任意一个向量都可以进行平移.()3.空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算.()正误辨析:即时巩固高中数学 选择性必修第一册 RJA四 空间向量的运算律高中数学 选择性必修第一册 RJA高中数学 选择性必修第一册 RJA思考怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和.加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.思考由数乘a0，可否得出0?不
4、能.a00或a0.高中数学 选择性必修第一册 RJA问题3 空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？高中数学 选择性必修第一册 RJA1.空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使 .2.直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把 称为直线l的方向向量.想一想对于空间向量a，b，c，若ab且bc， 是否可以得到ac?不能.若b0，则对任意向量a，c都有ab且bc.高中数学 选择性必修第一册 RJA2.向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 .思考空间中，任意
5、两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是空间中，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的。共面的，也可能是不共面的。高中数学 选择性必修第一册 RJA正误辨析:即时巩固2.若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.()3.空间中任意三个向量一定是共面向量.()高中数学 选择性必修第一册 RJA典例剖析例1 (1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知 e1ke2， 5e14e2， e12e2，且A，B，D三点共线，实数k_.(2) 已知平行四边形ABCD ，从平面AC外一点O引向量使 , 求证：四点E、F、G、H共面；ABBCDC
6、kODOHOCOGOBOFOAOEkODOHOCOGOBOFOAOE解：ODkOHOCkOGOBkOFOAkOE,是平行四边形四边形ABCDADABACOAkOCkOEOGEGOAODOAOBkADABkACkEHEF 四点共面可知，由向量共线的充要条件HGFE,1高中数学 选择性必修第一册 RJA课堂小结1.知识清单：(1)向量的概念.(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).(3)向量的线性运算的运算律.(4)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量.(5)空间向量共面的充要条件.2.方法归纳：三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想、转化化归思想.3.常见误区：（1）对空间向量的理解应抓住
7、向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.（2）混淆向量共线与线段共线、点共线.高中数学 选择性必修第一册 RJA典例剖析例1 (多选题)下列说法中正确的是（ ）A.若|a|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|C.空间向量的加法满足结合律 D.任一向量与它的相反向量不相等反思感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.高中数学 选择性必修第一册 RJA例2 如图，已知长方体ABCDAB
8、CD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.高中数学 选择性必修第一册 RJA例3 在空间四边形ABCD中，G为BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式.所以由向量的加法法则，（2）如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，高中数学 选择性必修第一册 RJ
9、A证明E，H分别是AB，AD的中点，又F不在直线EH上，四边形EFGH是梯形.反思感悟 向量共线的判定及应用(1)本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别.(2)判断或证明两向量a，b(b0)共线，就是寻找实数，使ab成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.(3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数，使高中数学 选择性必修第一册 RJA(2)判断M是否在平面ABC内.而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，M，A，B，C共面，即M在平面ABC内.反思感悟 解决向量共面的策略(2)证明三
10、个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.高中数学 选择性必修第一册 RJA随堂小测2.(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式运算结果为 的是（ ）AB高中数学 选择性必修第一册 RJAA高中数学 选择性必修第一册 RJAA.P直线AB B.P 直线ABC.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D.以上都不对A高中数学 选择性必修第一册 RJA且M，A，B，C四点共面，6.已知非零向量e1，e2不共线，则使ke1e2与e1ke2共线的k的值是_.解析若ke1e2与e1ke2共线，则ke1e2(e1ke2)，D1高中数学 选择性必修第一册 RJA7.如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GMGA13.求证：B，G，N三点共线.又BNBGB，B，G，N三点共线.高中数学 选择性必修第一册 RJA谢 谢！
