1、3.2.1双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程1生活中的双曲线生活中的双曲线生活感知生活感知11取一条拉链，拉取一条拉链，拉开，在两支上各选开，在两支上各选一不对称两点；一不对称两点；22如图把它固定在如图把它固定在 板上的两点板上的两点F F1 1，F F2 2；3 3 笔尖套住拉链笔尖套住拉链头拉动；头拉动；思考思考：笔尖运动的：笔尖运动的 轨迹是什么？轨迹是什么？生活感知生活感知 观察观察AB两图探究双曲线的定义两图探究双曲线的定义 如图如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a如图如图(B)， |MF2|- -|MF1|=|F1F|=2a由可得：由可得： | |MF1|-
2、-|MF2| | = 2a （差的绝对值）差的绝对值）上面上面 两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线右支右支左支左支平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的的距离的差的绝对差的绝对值值等于常数（小于等于常数（小于|F1F2|，且不等于，且不等于0）的点）的点的轨迹叫做的轨迹叫做双曲线双曲线。定点定点F1,F2叫做双曲线的叫做双曲线的焦点焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的两焦点间的距离叫做双曲线的焦距焦距。双曲线的定义双曲线的定义归纳：上面两条曲线合起来叫做双曲线，每归纳：上面两条曲线合起来叫做双曲线，每一支叫做双曲线的一支，其中右支满足一支叫做双曲线的一支，其中右支满足MF1MF2
3、,左支满足MF10)c0)； 常数记为2a(a0)(a0).问题问题5 5: :定义中为什么强调定义中为什么强调常数常数要要小于小于|F|F1 1F F2 2| |且且不等于不等于0 0（即（即02a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？若若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？此时轨迹为以此时轨迹为以F F1 1或或F F2 2为端点的为端点的两条射线两条射线此时此时轨迹不存在轨迹不存在此时轨迹为线段此时轨迹为线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线F1F2F1F2分分3种情况来看：种情况来看：二、双曲线标准方程的推导 建系建系1F2F使使 轴经过两焦点轴经过两焦点 ， 轴为线段轴为
4、线段 的垂直平分线的垂直平分线.x21,FF1 2FFyxyO 设点设点设设 是双曲线上任一点，是双曲线上任一点，),(yxMM 焦距为焦距为 ，那么，那么 焦点焦点 )0(2cc)0,(),0,(21cFcF 列式列式aMFMF221将上述方程化为：将上述方程化为： aycxycx22222移项两边平方后整理得：移项两边平方后整理得： 222ycxaacx两边再平方后整理得：两边再平方后整理得： 22222222acayaxac由双曲线定义知：由双曲线定义知： ac22 即：即：ac 022ac设设 0222bbac代入上式整理得：代入上式整理得： 122222acyax两边同时除以两边同时
5、除以 得：得：222aca)0,0(12222babyax化简化简这个方程叫做双曲线的标准方程这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦，它所表示的双曲线的焦点在点在x轴轴上，焦点是上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0). 其中其中c2=a2+b2.类比椭圆的标准方程，请思考焦点在类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴轴上的双上的双曲线的标准方程是什么？曲线的标准方程是什么？1F2FxyO)0,0(12222babxay其中c2=a2+b2.这个方程叫做双曲线的这个方程叫做双曲线的标准方程标准方程 ，它所表示的双曲线的焦，它所表示的双曲线的焦点在点在y轴轴上，焦点是上，焦点是 F
6、1(0，-c)，F2(0，c).)0, 0( 12222babxay)0, 0( 12222babyax三三. .双曲线两种标准方程双曲线两种标准方程 如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上；如果轴上；如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上。轴上。2xx2yyOMF2F1xyF2 2F1 1MxOy焦点在焦点在y y轴上的双曲线的标准方程轴上的双曲线的标准方程 想一想想一想焦点在焦点在y y轴上的双曲线的图象是什么？轴上的双曲线的图象是什么？标准方程怎样求？标准方程怎样求？0, 012222babxay222bac找出图形中找出图形中a,b,c所表示的几
7、何意义所表示的几何意义观察图形观察图形F1F2xOycaF2F1定义定义图形图形方程方程焦点焦点 a.b.c的关系的关系焦点位置的焦点位置的判定判定|MF1|MF2|=2a（2a|F1F2|）F1(-c,0), F2(c,0)F1(0,-c), F2(0,c)c2=a2+b20, 012222babxay0,012222babyax看看x2,y2项系数的正负项系数的正负,哪项系数为正哪项系数为正,焦点就在哪一条轴上焦点就在哪一条轴上注注:任何一条双曲线任何一条双曲线,只需选择适当的坐标系只需选择适当的坐标系,其方程均可写成标准形式其方程均可写成标准形式,当且仅当且仅当双曲线的当双曲线的焦点在坐
8、标轴上焦点在坐标轴上,且且两焦点的中点是原点时两焦点的中点是原点时,其方程才具有标准形式其方程才具有标准形式焦点位置确定：焦点位置确定：椭圆看分母大小椭圆看分母大小双曲线看双曲线看x x2 2、y y2 2的系数正负的系数正负F2F1F2F1MM定定 义义焦焦 点点a、b、c的关系的关系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭圆椭圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）12222byax12222bxay22221yxab-=22221xyab-=口答：口答：判断下列方程是
9、否表示双曲线，若是，求出其焦点的判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标坐标.12422yx12222yx12422yx369422 xy(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)解：因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的轴上，所以设它的标准方程为标准方程为)0,0(12222babyax因此，双曲线的标准方程为因此，双曲线的标准方程为221.916xy求标准方程求标准方程时时,先定先定向向,后定量后定量.例例1、已知双曲线的焦点、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等到焦点的距离差的绝对值等于于
10、6，求双曲线的标准方程。，求双曲线的标准方程。所以所以2c=10，2a=8。即即a=3，c=5那么那么b2=c2-a2=25-9=16根据已知条件，根据已知条件，|F1F2|=10. |PF1|-|PF2|=6，图图变式训练变式训练两条射线两条射线轨迹不存在轨迹不存在1.若若|PF1|-|PF2|=8呢？呢？2.若若|PF1|-|PF2|=10呢？呢？3.若若|PF1|-|PF2|=12呢？呢？)0.(191622xyx例例2 2、已知双曲线两个焦点的坐标为、已知双曲线两个焦点的坐标为F F1 1( - 5 , 0)( - 5 , 0)、 F F2 2(5 , 0),(5 , 0),双曲线上一
11、点双曲线上一点P P到到F F1 1、F F2 2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6 6，求双曲线的，求双曲线的标准方程。标准方程。解：因为双曲线的焦点在解：因为双曲线的焦点在x x轴上，所以设它的轴上，所以设它的 2 2a =6 2=6 2c=10 a =3 =3 c =5=5 b2= 52- 32= 16 所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为)00(12222babyax标准方程为标准方程为11692222yx例例3求与椭圆求与椭圆 共焦点且过点共焦点且过点 的双曲线的双曲线的方程的方程.221255xy(3 2,2)(2 5,0),( 2 5,0)221255xy解：
12、椭圆解：椭圆 的焦点为的焦点为 可以设双曲线的方程为可以设双曲线的方程为 22221xyab221821ab22202 10,2 10ab221202 102 10 xy(3 2,2)又又过点过点2220ab则则综上得综上得所以所以思考题：已知双曲线上有两点思考题：已知双曲线上有两点P P1 1、P P2 ,2 ,坐标分别为（坐标分别为（3 3，-4 -4 ）, ,( ,5 ) ( ,5 ) ，求双曲线的标准方程。，求双曲线的标准方程。 2491.1.分类法：分类法： 或或 ( (a 0,b 0)0,b 0)12222byax12222bxay2.2.设设 （m,n异号）异号） 122nymx
13、3.3.设设 mx2+ny2=1 （m,n异号）异号） 总结总结: :和椭圆一样和椭圆一样, ,求双曲线方程的基本方法是待定系数法求双曲线方程的基本方法是待定系数法, ,其基本步骤是其基本步骤是: :定类型定类型, ,设方程设方程, ,求系数求系数. .参数参数a、b是双曲线是双曲线的的定形定形条件条件, ,也是确定双曲线标准方程的两个也是确定双曲线标准方程的两个独立独立条件条件. .焦焦点点F F1 1、F F2 2的位置的位置是双曲线的是双曲线的定位定位条件条件, ,它决定着双曲线与它决定着双曲线与坐标系的相对位置关系坐标系的相对位置关系方程方程Ax2+By2=c(c0)满足什么条件时表示
14、双满足什么条件时表示双曲线曲线?表示椭圆表示椭圆?还可以表示什么曲线还可以表示什么曲线?解：原方程化为：解：原方程化为：A A、焦点在、焦点在x x轴上的椭圆轴上的椭圆C C、焦点在、焦点在y y轴上的椭圆轴上的椭圆B B、焦点在、焦点在y y轴上的双曲线轴上的双曲线D D、焦点在、焦点在x x轴上的双曲线轴上的双曲线 k1k1 k k2 2-1 0 1+k 0-1 0 1+k 0方程的曲线为焦点在方程的曲线为焦点在y y轴上的双曲线。轴上的双曲线。故故 选（选（B）111222kkyx例例4 4：k 1,k 1,则关于则关于x x、y y的方程的方程(1- k )x(1- k )x2 2+y
15、+y2 2=k=k2 2- 1- 1所表示的曲所表示的曲线是线是( )( )使使A、B两点在两点在x轴上，并且轴上，并且点点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合解解: : 由声速及在由声速及在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地地晚晚2 2s, ,可知可知A A地与爆炸点的距离比地与爆炸点的距离比B B地与爆炸点地与爆炸点的距离远的距离远680680m. .因为因为|AB|680|AB|680m, ,所以所以爆炸点爆炸点的轨迹是以的轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的处的一支上一支上. . 例例5 5已知已知A,BA,B两地相距两地相距8
16、00800m, ,在在A A地听到炮弹地听到炮弹爆炸声比在爆炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,且声速为且声速为340340m/ /s, ,求炮求炮弹爆炸点的轨迹方程弹爆炸点的轨迹方程. .如图所示,建立直角坐标系xyoPBA图图即即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx2800,400,cc 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca 2 22 22 21(0)11560044400 xyx2222设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则，则340 2680PAPB例例6 6.已知圆已知圆C1：(x+3)2+y2=1
17、和圆和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆动圆M同时与圆同时与圆C1及圆及圆C2相外切，求动圆圆心相外切，求动圆圆心M的轨的轨迹方程迹方程解：设动圆解：设动圆M与圆与圆C1及圆及圆C2分别外切于点分别外切于点A 和和B，根据两圆外切的条件，根据两圆外切的条件，|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|这表明动点这表明动点M与两定点与两定点C2、C1的距离的差是常数的距离的差是常数2根根据双曲线的定义，动点据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支的轨迹为双曲线的左支(点点M与与C2的距离大，与的距离大，与C1的距离小的距离小)，这里，这里a=1，c=3，则，则b2=8，
18、设点，设点M的坐标为的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：，其轨迹方程为：1、a=4，b=3 ,焦点在焦点在x轴上的双曲线的标准方程是轴上的双曲线的标准方程是 3、设双曲线、设双曲线 上的点上的点P到到(5,0)的距离是的距离是15,则则P到到(-5,0)的距离是的距离是 .7或或234 4、如果方程、如果方程 表示双曲线，则表示双曲线，则m m的取值范围的取值范围是是 _11222mymx2、焦点为（、焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（经过点（2，-5）的双曲线的标）的双曲线的标 准方程是准方程是 m | m1或或m 25 5、已知点、已知点F F1 1(- 8, 3 )(- 8, 3
19、)、F F2 2(2 ,3)(2 ,3)，动点，动点P P满足满足|PF|PF1 1| - |PF| - |PF2 2|= 10|= 10，则，则P P点的轨迹是点的轨迹是( )( ) A A、双曲线、双曲线 B B、双曲线一支、双曲线一支 C C、直线、直线 D D、一条射线、一条射线6 6、若椭圆、若椭圆 与双曲线与双曲线 的焦点相同的焦点相同, ,则则 a =_ =_ )0(14222ayax12322yx3D7 7、说明下列方程各表示什么曲线。、说明下列方程各表示什么曲线。4) 3() 3() 1 (2222yxyx5) 3() 3() 2(2222yxyx6)3()3()3(2222
20、yxyx方程表示的曲线是双曲线方程表示的曲线是双曲线方程表示的曲线是双曲线的右支方程表示的曲线是双曲线的右支方程表示的曲线是方程表示的曲线是x x轴上分别以轴上分别以F F1 1和和F F2 2为端点，指向为端点，指向x x轴的负半轴和轴的负半轴和正半轴的两条射线。正半轴的两条射线。8.已知定点已知定点A、B且且 =4,动点动点P满足满足 , 则则 的最小值是的最小值是( )3 PBPAPAAB9.若线段若线段AB是过双曲线是过双曲线 左焦点左焦点F1的一条弦的一条弦,且且 F2为右焦点为右焦点,则则ABF2的周长是的周长是_1422 yx3AB274:双曲线 ( (3)3)应用应用(1)(1)定义定义: :| |MF1|- -|MF2| | =2a（02a|F1F2|）
