1、第一章第一章 统计案例统计案例1.1.2 空间向量数量积的运算高二数学选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何学习目标1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2.掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算规律；3.掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的一些简单的问题.4.核心素养：空间想象力、逻辑推理、数学运算。 180 与与 反向反向abOABabOAa0 与与 同向同向abOABaba Bbb记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB ab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的一、回顾旧知1.平面向量的夹角：b,baOAa OB 两个非零向量 和 ，作，0
2、180b.a则 AOB=叫向量 和 的夹角平面向量的数量积的定义：2.平面向量的数量积bb cosaa 两个非零向量 和 ，则bbaa 叫做向量 ， 的数量积，记作b=b cosaa 即0=0.a 并规定：1. 空间两个向量的夹角的定义0,a ba bb a 范围在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确且定了，并：,2a baabb 如果则称 与 互相垂直，并记作：O OA AB Baabb二、探究新知,b,bbaOOAa OBa bAOBa 如图，已知两个非零向量 和 ，在空间任取一点作，则角叫向量 和 的夹角，记作：2.空间两个向量的数量积注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向
3、量与任意向量的数量积等于零。,cos,a bOAaOAaaa ba ba ba b 设则有向线段的长度叫做向量 的长度或模 记作：已知空间两个向量，则叫做向量的数量积，记作：即cos,a ba ba b 3.空间向量的数量积性质 aaababaeaaea2)30)2,cos) 1注意：性质2）是证明两向量垂直的依据； 性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,ab4、投影向量思考 ：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。类似地，向量 在向量 上的投影有什么意义？向量 向向量 的投影呢？向量 向向量 的投影呢？1.111(1)1.111(2).cos,abb
4、calbcacaba bb如图，在空间，向量 向向量 投影，由于称为向量它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一平面 内，进而利用平面 上向量的投影，得到与向量 共线的向量 ，向量，类似地在向量 上的投影向量，可将 向直线 投影图abaabb图图1.1-11aacb(1)laac(2)aac(3)ABAB5.空间向量的数量积满足的运算律 注意：分配律）交换律）()(3()2)()() 1cabacbaabbababa)()cbacba（数量积不满足结合律三巩固新知1)下列命题成立吗? 若 ,则 若 ,则 a ba c bc kab a bk ()()a bcab c 135 则已知2,22,
5、 22)2(baba._的夹角大小为与ba1.例1.00ABCDABC DAB5AD3AA72, BAD60 , BAA:AD A45 如图平行六面体中，2，例，.1,2AC0.1AB AD 求（）（ ）的长（精确到）22(2) ACABADAA 2222()ABADAAAB ADAB AAAD AA 2225372 5 3 cos605 7 cos453 7 cos4598 56 213.3AC （）(1)cos,:AB ADAB ADAB AD 解5 3 cos607.5 ; DCBDABCA分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一
6、条直线都垂直.3.例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线, 如果如果 m, n,求证求证: . lll lmngm g m l 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么运算 即要证的结论可以转化为向量的什么运算?怎样建立向量的条件与向量的运算的联系?共面向量定理lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0 ,0,lmln 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线. . .证: 在在 内作不与内作不与m
7、,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m ,n, , ,l m n g 不平行不平行,由由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 ( , )x y3.例3:已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线, 如果如果 m, n,求证求证: .lll ,120CABD 22222222222|()|2222cos120CDCD CDCAABBDCAABBDCA ABCA BDAB BDbabbab 22CDab bab CABDD4,30 ,= ,.ABACBDABDDDBDAB
8、a ACBDbCD如图，已知线段在平面 内，线段，线段线段如果求 、 之式：间的距离变,30ACACABDBD由可知，由解：知，5.变式ABA1C1B1C1).如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1 中,若AB= BB1,则AB1与C1B所成角的大小为( )A. B. C. D.2B11,=2.:BBAB设则解1111,ABBBBA BCBBBC 1111,ABBCBBBABBBC 21,BBBA BC 122cos600, 60105907511ABBC 2).已知在平行六面体ABCD-ABCD中, AB=4, AD=3,AA=5, BAD=90,BAA=DAA=60, 求对角线AC的长。22222222|()|2()4352 (0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA |85AC DCBDABCA| |ACABADAA 解解： 通过学习, 我们可以利用向量数量积解决 立体几何中的以下问题： 1.证明两直线垂直; 2.求两点之间的距离或线段长度; 3.求两直线所成角. 四、课堂小结作业: 课本P9 练习 3，4题
