1、 如果两个向量如果两个向量 不共线不共线, ,则向量则向量 与向量与向量 共面共面的的充要条件充要条件是存在实数对是存在实数对 使使, a byx, p, a bpxayb 类比平面向量推广得到空间向量平面向量推广得到空间向量1. 空间向量的定义及相关概念空间向量的定义及相关概念2. 空间向量的线性运算及运算律（加法、减法、数乘）空间向量的线性运算及运算律（加法、减法、数乘）3. 【共线【共线向量向量定理】定理】4. 【共面【共面向量向量定理】定理】 对任意两个空间向量对任意两个空间向量 , , 的的充要条件充要条件是存在实数是存在实数使使, a b）（0bba/ba复习巩固1.1 空间向量及
2、其运算180 与与 反向反向abOABab0 与与 同向同向abOABab记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB ab1.平面向量的夹角：复习回顾范围：范围：_定义：定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 a， b，则_ 叫做向量a与b的夹角夹角记作: _OAOBAOB0特殊情况：特殊情况：OAaa Bbb关键是起点相同！ 由于任意两个空间向量都可以通过由于任意两个空间向量都可以通过平移平移转化为同一平面转化为同一平面内的向量，因此，内的向量，因此，两个两个空间向量空间向量的夹角和数量积就可以像的夹角和数量积就可以像平平面向量面向量那样来定义那样来定义.1. 空间向量的
3、夹角新课讲授定义：定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 a， b，则_叫做向量a与b的夹角夹角记作: _OAOBAOB关键是起点相同！abOBbaA通常规定：通常规定：_0 两个向量的夹角唯一确定，且两个向量的夹角唯一确定，且= OBOAOBOAOBOA,_,_,如果如果=90，那么a,b互相垂直，记作互相垂直，记作ab=2. 空间向量的数量积【注意】两个向量的【注意】两个向量的数量积是数量数量积是数量，而不是向量，而不是向量. . 零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零. .cos,a ba ba b 定义：定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cos
4、叫做a，b的数量积数量积即 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则（1）aeea_.（2）ab_.（垂直的判断垂直的判断）（3）当a，b同向时，ab_； 当a，b反向时，ab_.（4）aa_或|a|_.（求向量模长求向量模长）（5）|ab|_.（6）cos _.（求角度求角度）|a|cos ab0|a|b|a|b|a|2|a|b|【数量积的性质】以上结论说明以上结论说明,可以可以从向量角度有效地分从向量角度有效地分析有关析有关垂直、长度、垂直、长度、角度角度等问题等问题.aacb(1)laac(2)aac(3)ABAB3. 空间向量的投影思考1 在平面向量的学习中
5、，我们学习了在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影向量的投影. 类似地，类似地，向量向量 a 在在向量向量 b 上的投影有什么意义？上的投影有什么意义？向量向量 a 向向直线直线 l 的投影呢？的投影呢？向量向量 a 向向平面平面 的投影呢？的投影呢？bbabac,cos|4. 空间向量数量积的运算律（分配律）（交换律）cbcacbaabbaRbaba)(3()2(),()(1 (思考2 空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此自然会空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此自然会想到将其与数的乘法类比想到将其与数的乘法类比.向量的数量积与数的乘法有什么共性与差异向量的数量积与
6、数的乘法有什么共性与差异？).()(.cbacbaakbbkakbacbcaba）（或，则若，则若共性差异22(2) ACABADAA 2222()ABADAAAB ADAB AAAD AA 2225372 5 3 cos605 7 cos453 7 cos459856 213.3AC （）(1)cos,:AB ADAB ADAB AD 解5 3 cos607.5 ; DCBDABCA例题讲解例题2 如图，在平行六面体如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，中，AB=5，AD=3，AA=7，BAD=60，BAA=DAA=45.求：求：的长）（）（21ACADAB分析：分析：要证明一条直线与一个
7、平面垂直要证明一条直线与一个平面垂直, ,由直由直线与平面垂直的定义可知线与平面垂直的定义可知, ,就是要证明这条直就是要证明这条直线与平面内的线与平面内的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直. .例题3（试用（试用向量方法向量方法证明直线与平面垂直的判定定理）已知直线证明直线与平面垂直的判定定理）已知直线m，n是平面是平面内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果lm，ln,求证：求证：l .lmngg m l 共面向量定理n 如何把如何把已知的已知的几何元素转化为几何元素转化为向量表示向量表示？一些一些未知的未知的几何元素能否几何元素能否用已知向量表示用已知向量表示？结论和已经表示出来的向
8、量或其运算结论和已经表示出来的向量或其运算有何联系有何联系？能否？能否通过向量的通过向量的运算获得结论运算获得结论？如何将向量运算的结果如何将向量运算的结果“翻译翻译”为几何结论？为几何结论？lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0,l ml n 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线. . .证: 在在 内作不与内作不与m ,n重合的任一直线重合的任一直线g，在，在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m ,n, , ,l m n g 不平行，由不平行，由共面向量定理,存在
9、唯一实数存在唯一实数 ,使使 ( , )x y例题3（试用（试用向量方法向量方法证明直线与平面垂直的判定定理）已知直线证明直线与平面垂直的判定定理）已知直线m，n是平面是平面内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果lm，ln,求证：求证：l .【用向量解决几何问题的常用方法（三部曲）】选择恰当的选择恰当的向量表示向量表示问题中的问题中的几何元素几何元素通过通过向量运算向量运算得出几何元素的得出几何元素的关系关系把运算结果把运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义成相应的几何意义ABA1C1B1CB11,=2.:BBAB设则解1111,ABBBBA BCBBBC 1111,ABBCBBBABBBC
10、 21,BBBA BC 122cos600, 11ABBC 练习巩固练习1（课本（课本P8P8练习练习T1T1）练习2（课本（课本P8P8练习练习T2T2）22222222|()|2()4352 (0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA |85AC DCBDABCA| |ACABADAA 解解：练习3（课本（课本P9P9练习练习T3T3）我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题： 证明两直线垂直证明两直线垂直; 求两点之间的距离或线段长度求两点之间的距离或线段长度; 求两直线所成角求两直线所成角.课堂小结1. 1. 空间向量的夹角空间向量的夹角关键是起点相同！关键是起点相同！2. 2. 空间向量的数量积空间向量的数量积cos,a ba ba b 3. 3. 空间向量的投影空间向量的投影4. 4. 空间向量数量积的运算律空间向量数量积的运算律注意与数的乘法运算律的区别注意与数的乘法运算律的区别用向量解决几何问题的常用方法（三部曲） 选择恰当的选择恰当的向量表示向量表示问题中的问题中的几何元素几何元素 通过通过向量运算向量运算得出几何元素的得出几何元素的关系关系 把运算结果把运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义成相应的几何意义
