1、第三章 圆锥曲线的方程3.2.13.2.1双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程范围对称性顶点坐标轴长长轴长|A1A2| ，短轴长|B1B2|离心率e (0e|F1F2|0)的点的轨迹是椭圆。我们知道，平面内与两定点F1、F2的距离的差 等于常数的点的轨迹是什么呢？那么平面内与两定点F1、F2的距离的下面我们用信息技术来探究一下如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内，取定点F1，F2，以点F2为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.ABPF1F2MM1我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹。探究探究新
2、知新知 |F1F2|AP|+|BP|=|AB|如图，在|F1F2|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的轨迹是什么形状?我们发现，在|F1F2|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时，探究探究新知新知 当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|;当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|总之，点M与两个定点F1，F2距离的差的绝对值|AB|是一个常数(|AB| 0)，则有F1(-c,0) ，F2 (c,0) 又设|MF1|-|MF2|= 2a( a 为大于 0 的常数)由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：1212202PM
3、MFMFaaFF，探究探究新知新知 22222xcyxcya，所以整理得：22222222caxa yaca，由双曲线定义知，2c2a，所以c2-a20 令b2=c2-a2，其中b0，代入上式得：2222100 xyabab，我们称这个方程叫做双曲线的标准方程.双曲线的两个焦点分别是F1(-c,0) ，F2 (c,0) ，这里c2=a2+b2思考：类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程,焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？如图，双曲线的焦距为 2c ，焦点分别是 F1(-c,0) ，F2 (c,0) a ，b 的意义同上，这时双曲线的方程是2222100 .yx=abab，这个方程也是双曲线的标准
4、方程例题解析例题解析 例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为)0,0(12222babyax因此，双曲线的标准方程为221.916xy所以2c=10，2a=8.即a=3，c=5那么b2=c2-a2=25-9=16根据已知条件，|F1F2|=10. |PF1|-|PF2|=6，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合解解: : 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆
5、炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.例2 已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程。如图所示,建立直角坐标系xyoPBA例题解析例题解析 即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx2800,400,cc 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca 2 22 22 21(0)11560044400 xyx2222设爆炸点P的坐标为(x,y)，则340 2680PAPB49如图设 A，B 两点的坐标分别为(-5,0)，(5,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 ，试
6、求点M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1 例 3 比较，你有什么发现？探究：探究探究新知新知 5.5AMykxx （）由已知，有同理，直线 BM 的斜率5.5BMykxx（）45559yyxxx （） 2215.100259xy=x （）所以点M 的轨迹是除去（-5，0），（5，0）两点的双曲线.化简，得点M 的轨迹方程为解：设点M 的坐标为（x，y），因为点A的坐标为（- 5，0）， 所以直线 AM 的斜率椭圆及其标准方程双曲线及其标准方程122MFMFa122MFMFa22200acacbb，22200cacabb，22221焦点在轴上xyabx22221焦点在轴上xyabx22221焦点在轴上yxaby22221焦点在轴上yxaby课堂小结课堂小结
