1、3.1.2 椭圆的简单性质练习练习2.已知已知B、C是两个定点，是两个定点，|BC|=8，且，且ABC的周长为的周长为18，求顶点求顶点A的轨迹方程的轨迹方程.ABCxyO解：以解：以BC所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段BC的中垂线为的中垂线为y轴轴建立直角坐标系建立直角坐标系ABC的周长为的周长为18 ，|BC|=8|AB|+|AC|=10故点故点A的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆可设可设点点A的轨迹方程为的轨迹方程为则则2a=10，2c=8，即，即a=5，c=4b2=25-16=9A、B、C三点必须构成三角形三点必须构成三角形点点A的轨迹方程为的轨迹方程为221(5)259xyx 22221
2、(0)xyababxyPCM解：解：x2+y2-6x-55=0可化为可化为(x-3)2+y2=64圆心圆心C的坐标为的坐标为(3，0)，半径，半径r=8动圆动圆M与圆与圆C内切，且内切，且|MP|为动圆的半径为动圆的半径|MC|=8-|MP|，即，即|MC|+|MP|=8|PC|=68点点M的轨迹是一个椭圆的轨迹是一个椭圆原点恰好是原点恰好是PC的中点的中点可设点可设点M的轨迹方程为的轨迹方程为22221(0)xyababxyPCM可设点可设点M的轨迹方程为的轨迹方程为:22221(0)xyabab则则2a=8，即，即a=4c=3b2=16-9=7故动圆圆心故动圆圆心M的轨迹方程为的轨迹方程为
3、221167xy |MC|+|MP|=8 , |PC|=6c 0，所以，所以0e1（2） 离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响： e越接近越接近1：则：则c越接近越接近a，即，即b越小，此时椭圆越扁越小，此时椭圆越扁 e越接近越接近0：则：则c越接近越接近0，即，即b越大，此时椭圆越圆越大，此时椭圆越圆 e=0：椭圆变成圆：椭圆变成圆?ba解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程2212 51 6xy5,4,25163abc椭圆的长轴长是椭圆的长轴长是:离心率离心率:35cea焦点坐标是焦点坐标是:12(3, 0),(3, 0)FF四个顶点坐标是四个顶点坐标是:1212(
4、 5,0),(5,0),(0,4),(0,4)AABB椭圆的短轴长是椭圆的短轴长是:2a=102b=8例例1.求椭圆求椭圆 16x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标焦点和顶点坐标,并用描点法画出其图形。并用描点法画出其图形。例例1.求椭圆求椭圆 16x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标焦点和顶点坐标,并用描点法画出其图形。并用描点法画出其图形。 把已知方程变形为：把已知方程变形为：24255yx4 在在0 x5的范围内算出几个点的坐标（的范围内算出几个点的坐标（x，y):3.93
5、.73.22.40先描点画出椭圆的一部分，先描点画出椭圆的一部分，xyO再利用椭圆的对称性，画再利用椭圆的对称性，画出整个椭圆。出整个椭圆。椭圆的简单画法：椭圆的简单画法：椭圆四个顶点椭圆四个顶点连线成图连线成图矩形矩形2、请在图中找出长度分别为、请在图中找出长度分别为a、b、c的线段：的线段：xyOF1F2A1A2B1B2长度为长度为a的有：的有：长度为长度为b的有：的有：长度为长度为c的有：的有：OA1，OA2，B2F1， B2F2，B1F1，B1F2OB1，OB2，OF1，OF2，例例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点）经过点P（-3，0）、
6、）、Q（0，-2）；）；（2）长轴的长等于）长轴的长等于20，离心率等于，离心率等于3/5 。解：（解：（1）依题意可知，）依题意可知，a=3，b=2又因为长轴在又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为：轴上，所以椭圆的标准方程为：22194xy例例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点）经过点P（-3，0）、）、Q（0，-2）；）；（2）长轴的长等于）长轴的长等于20，离心率等于，离心率等于3/5 。解：（解：（2）依题意知，）依题意知，2a=20，e=c/a=3/5 a=10，c=6，故，故b2=100-36=64当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在x轴上
7、时，椭圆的标准方程为轴上时，椭圆的标准方程为 当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为轴上时，椭圆的标准方程为 22110064xy221.10064yx1、中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，若短、中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，若短轴长为轴长为6，且过点，且过点(1,4)，则其标准方程是，则其标准方程是 .2、中心在原点、中心在原点,焦点在坐标轴上焦点在坐标轴上,若长轴长为若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程则此椭圆的方程是是 . 提示：2a=18,2c= (1/3)2a=6 a=9,c=3,b2=81-9=72191822xy
8、17281172812222xyyx或三、课堂练习三、课堂练习3.若椭圆的一个焦点与长轴的两个端点的距离之若椭圆的一个焦点与长轴的两个端点的距离之比为比为2：3，则椭圆的离心率为（，则椭圆的离心率为（ ）（A）2/3 （B）1/3 （C）3/3 （D）1/54.椭圆的焦点与长轴较近端点的距离为椭圆的焦点与长轴较近端点的距离为 ，焦点与短轴两端点的连线互相垂直焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 求椭圆离心率求椭圆离心率及标准方程及标准方程 。D2222abce510110515102222yxyx或22( ,1)142()xyA aa点在椭圆的内部，则 的取值范围是11.22.22.22.aDaC
9、aaBaA或2211892_.xykk如果椭圆的离心率是，那么实数的值为AK=4或或K= -5/47、8、应用举例应用举例21142a由由得得：22112bae=e=1819181118494kkkk 或或解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为. 12222byax22221212215 . 48 . 2FFBFBFFBFRt中，在所以由椭圆的性质知，,221aBFBF1 . 4)5 . 48 . 28 . 2(21)(212221BFBFaF2F1BC4 . 325. 21 . 42222cab14 . 31 . 42222yx为所以，所
10、求的椭圆方程A 例例5 如图如图,一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分的一部分.过对称轴的截口过对称轴的截口BAC是椭圆是椭圆的一部分的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点灯丝位于椭圆的一个焦点F1上上,片门位于另一个焦点片门位于另一个焦点F2上上.由椭圆一个焦点由椭圆一个焦点F1发出的光线发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点个焦点F2上上已知已知BC F1F2，|F1B|=2.8cm，|F1F2|=4.5 cm.试建立试建立适当的坐标系适当的坐标系,求截口求截口BAC所在椭圆的方程所在椭圆的方程(精确到精确到0.1cm).yF2F1xoBC求求B点坐标？点坐标？方程方程图形图形范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率22221 0yxabab 22221 0 xyabab yoF1F2Mxy xoF2F1M,abxyab,baxyba关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称(a，0)，(0，b)(b，0)，(0，a)(01)ceea
