第5讲 圆的方程 讲义（学生版+教师版）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册.rar

第 5 讲 圆的方程玩前必备1圆的定义与方程提醒当 D2E24F0 时，此方程表示的图形是圆；当 D2E24F0 时，此方程表示一个点(D2，E2)；当 D2E24F0)，圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r，设 M 的坐标为(x0，y0)常用结论(1)二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是Error!Error!(2)以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.玩转典例题型一求圆的方程 例 1(1)(一题多解)圆心在直线 x2y30 上，且过点 A(2，3)，B(2，5)的圆的方程为_(2)已知圆 C 与直线 yx 及 xy40 都相切，且圆心在直线 yx 上，则圆 C 的方程为_(3)圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 23，则圆 C 的标准方程为_玩转跟踪 1若不同的四点 A(5,0)，B(1,0)，C(3,3)，D(a,3)共圆，则 a 的值为_2已知圆心在直线 yx1 上，且与直线 xy20 相切于点(1,1)的圆的方程为_题型二与圆有关的最值问题例 2已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，则(1)yx的最大值和最小值分别为_和_；(2)yx 的最大值和最小值分别为_和_；(3)x2y2的最大值和最小值分别为_和_例 3(2020厦门模拟)设点 P(x，y)是圆：x2(y3)21 上的动点，定点 A(2,0)，B(2,0)，则 PA PB 的最大值为_玩转跟踪 1(2020济宁模拟)已知两点 A(0，3)，B(4,0)，若点 P 是圆 C：x2y22y0 上的动点，则ABP 的面积的最小值为_2已知实数 x，y 满足(x2)2(y1)21，则 zy1x的最大值与最小值分别为_和_3(2020银川模拟)设点 P(x，y)是圆：(x3)2y24 上的动点，定点 A(0,2)，B(0，2)，则| PA PB |的最大值为_题型三 题型三 与圆有关的轨迹问题例 4例 4已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)(1)求直角顶点 C 的轨迹方程；(2)求直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程玩转跟踪1自圆 C： (x3)2(y4)24 外一点 P(x，y)引该圆的一条切线，切点为 Q，PQ 的长度等于点 P 到原点 O的距离，则点 P 的轨迹方程为()A8x6y210B8x6y210C6x8y210 D6x8y2102设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM，ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹玩转练习1圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a()A43B34C.3 D22点 P(4，2)与圆 x2y24 上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)213 (一题多解)(2020河北石家庄一模)已知圆 C 截两坐标轴所得弦长相等， 且圆 C 过点(1,0)和(2,3)， 则圆 C的半径为()A8 B22C5 D.54方程|y|11x12表示的曲线是()A一个椭圆 B一个圆C两个圆 D两个半圆5(多选)已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点(1,0)且被 x 轴分成两段，弧长比为 12，则圆 C 的方程为()Ax2(y33)243Bx2(y33)243C(x3)2y243 D(x3)2y2436(多选)已知点 A(1,0)，B(0,2)，点 P 是圆(x1)2y21 上任意一点，若PAB 面积的最大值为 a，最小值为 b，则()Aa2 Ba252Cb252 Db5217已知三点 A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为_8在平面直角坐标系内，若曲线 C：x2y22ax4ay5a240 上所有的点均在第四象限内，则实数 a的取值范围为_9 （2020 秋肥东县校级期末）圆（x+2）2+y25 关于直线 xy+10 对称的圆的方程为 10(2020福建厦门一模)在ABC 中，AB4，AC2，A3，动点 P 在以点 A 为圆心，半径为 1 的圆上，则 PB PC 的最小值为_11已知 M 为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若 M(m，n)，求n3m2的最大值和最小值12已知方程 x2y22x4ym0.(1)若此方程表示圆，求实数 m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线 x2y40 相交于 M，N 两点，且 OMON(O 为坐标原点)，求 m 的值；(3)在(2)的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程第 5 讲 圆的方程玩前必备1圆的定义与方程提醒当 D2E24F0 时，此方程表示的图形是圆；当 D2E24F0 时，此方程表示一个点(D2，E2)；当 D2E24F0)，圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r，设 M 的坐标为(x0，y0)常用结论(1)二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是Error!Error!(2)以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.玩转典例题型一求圆的方程 例 1(1)(一题多解)圆心在直线 x2y30 上，且过点 A(2，3)，B(2，5)的圆的方程为_(2)已知圆 C 与直线 yx 及 xy40 都相切，且圆心在直线 yx 上，则圆 C 的方程为_(3)圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 23，则圆 C 的标准方程为_解(1)法一：(几何法)设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x2y30 上，所以可设点 C 的坐标为(2a3，a)又该圆经过 A，B 两点，所以|CA|CB|，即2a322a322a322a52，解得 a2，所以圆心 C 的坐标为(1，2)，半径 r10.故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得Error!Error!解得Error!Error!故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.法三：(待定系数法)设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，则圆心坐标为(D2，E2).由题意得Error!Error!解得Error!Error!故所求圆的方程为 x2y22x4y50.(2)xy0 和 xy40 之间的距离为|4|222，所以圆的半径为2.又因为 yx 与 xy0，xy40 均垂直，所以由 yx 和 xy0 联立得交点坐标为(0,0)，由 yx 和 xy40 联立得交点坐标为(2，2)，所以圆心坐标为(1，1)，故圆 C 的方程为(x1)2(y1)22.(3)设圆 C 的圆心为(a，b)(b0)，由题意得 a2b0，且 a2(3)2b2，解得 a2，b1.所以所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.答案(1)(x1)2(y2)210(2)(x1)2(y1)22(3)(x2)2(y1)24玩转跟踪 1若不同的四点 A(5,0)，B(1,0)，C(3,3)，D(a,3)共圆，则 a 的值为_解析：设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，分别代入 A，B，C 三点坐标，得Error!Error!解得Error!Error!所以 A，B，C 三点确定的圆的方程为 x2y24x253y50.因为 D(a,3)也在此圆上，所以 a294a2550.所以 a7 或 a3(舍去)即 a 的值为 7.答案：72已知圆心在直线 yx1 上，且与直线 xy20 相切于点(1,1)的圆的方程为_解析：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则Error!Error!解得Error!Error!所以 r (112)2(112)222.故所求圆的方程为(x12)2(y12)212.答案：(x12)2(y12)212题型二与圆有关的最值问题例 2已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，则(1)yx的最大值和最小值分别为_和_；(2)yx 的最大值和最小值分别为_和_；(3)x2y2的最大值和最小值分别为_和_解析原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yxk， 即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时(如图)，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k0|k21 3，解得 k 3.所以yx的最大值为 3，最小值为 3.(2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距如图所示，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b|23，解得 b26，所以 yx 的最大值为26，最小值为26.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知， 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为 2， 所以 x2y2的最大值是(23)2743，x2y2的最小值是(23)2743.答案(1)33(2)2626(3)743743例 3(2020厦门模拟)设点 P(x，y)是圆：x2(y3)21 上的动点，定点 A(2,0)，B(2,0)，则 PA PB 的最大值为_解析由题意，知 PA (2x，y)， PB (2x，y)，所以 PA PB x2y24，由于点 P(x，y)是圆上的点， 故其坐标满足方程 x2(y3)21， 故 x2(y3)21， 所以 PA PB (y3)21y246y12.由圆的方程 x2(y3)21，易知 2y4，所以，当 y4 时， PA PB 的值最大，最大值为 641212.答案12玩转跟踪 1(2020济宁模拟)已知两点 A(0，3)，B(4,0)，若点 P 是圆 C：x2y22y0 上的动点，则ABP 的面积的最小值为_解析：x2y22y0 可化为 x2(y1)21，则圆 C 为以(0,1)为圆心，1 为半径的圆如图，过圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P，连接 BP，AP，这时ABP 的面积最小，直线 AB 的方程为x4y31，即 3x4y120， 圆心C到直线AB的距离d165， 又|AB|32425， 所以ABP的面积的最小值为125(1651)112.答案：1122已知实数 x，y 满足(x2)2(y1)21，则 zy1x的最大值与最小值分别为_和_解析：由题意，得y1x表示过点 A(0，1)和圆(x2)2(y1)21 上的动点 P(x，y)的直线的斜率当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值设切线方程为 ykx1，即 kxy10，则|2k2|k211，解得 k4 73，所以 zmax473，zmin473.答案：4734733(2020银川模拟)设点 P(x，y)是圆：(x3)2y24 上的动点，定点 A(0,2)，B(0，2)，则| PA PB |的最大值为_解析：由题意，知 PA (x,2y)， PB (x，2y)，所以 PA PB (2x，2y)，由于点P(x， y)是圆上的点， 故其坐标满足方程(x3)2y24， 故 y2(x3)24， 所以| PA PB |4x24y226x5.由圆的方程(x3)2y24，易知 1x5，所以当 x5 时，| PA PB |的值最大，最大值为26 5510.答案：10题型三 题型三 与圆有关的轨迹问题例 4例 4已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)(1)求直角顶点 C 的轨迹方程；(2)求直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程解(1)设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y0.因为 ACBC，所以 kACkBC1，又 kACyx1，kBCyx3，所以yx1yx31，化简得 x2y22x30.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(y0)(2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 xx032，yy002，所以 x02x3，y02y.由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将 x02x3，y02y 代入得(2x4)2(2y)24(y0)，即(x2)2y21(y0)因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(y0)玩转跟踪1自圆 C： (x3)2(y4)24 外一点 P(x，y)引该圆的一条切线，切点为 Q，PQ 的长度等于点 P 到原点 O的距离，则点 P 的轨迹方程为()A8x6y210B8x6y210C6x8y210 D6x8y210解析 ： 选 D由题意得， 圆心 C 的坐标为(3， 4)， 半径 r2， 如图 因为|PQ|PO|， 且 PQCQ， 所以|PO|2r2|PC|2，所以 x2y24(x3)2(y4)2，即 6x8y210，所以点 P的轨迹方程为 6x8y210，故选 D.2设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM，ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹解：如图，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为(x2，y2)，线段 MN 的中点坐标为(x032，y042).因为平行四边形的对角线互相平分，所以x2x032，y2y042，整理得Error!Error!又点 N(x3，y4)在圆 x2y24 上，所以(x3)2(y4)24.所以点 P 的轨迹是以(3,4)为圆心，2 为半径的圆(因为 O，M，P 三点不共线，所以应除去两点(95，125)和(215，285).玩转练习1圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a()A43B34C.3 D2解析：选 A由题意可知，圆心为(1,4)，所以圆心到直线的距离 d|a41|a2121，解得 a43.故选 A.2点 P(4，2)与圆 x2y24 上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析：选 A设中点为 A(x，y)，圆上任意一点为 B(x，y)，由题意得Error!Error!则Error!Error!故(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21，故选 A.3 (一题多解)(2020河北石家庄一模)已知圆 C 截两坐标轴所得弦长相等， 且圆 C 过点(1,0)和(2,3)， 则圆 C的半径为()A8 B22C5 D.5解析：选 D法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)圆 C 经过点(1,0)和(2,3)，Error!Error!ab20，又圆 C 截两坐标轴所得弦长相等，|a|b|，由得 ab1，圆 C 的半径为5，故选 D.法二：圆 C 经过点 M(1,0)和 N(2,3)，圆心 C 在线段 MN 的垂直平分线 yx2 上，又圆 C 截两坐标轴所得弦长相等， 圆心 C 到两坐标的距离相等， 圆心 C 在直线 yx 上， 直线 yx 和直线 yx2 平行，圆心 C 为直线 yx 和直线 yx2 的交点(1,1)，圆 C 的半径为5，故选 D.4方程|y|11x12表示的曲线是()A一个椭圆 B一个圆C两个圆 D两个半圆解析：选 D由题意知|y|10，则 y1 或 y1，当 y1 时，原方程可化为(x1)2(y1)21(y1)，其表示以(1， 1)为圆心、 1 为半径、 直线 y1 上方的半圆 ； 当 y1 时， 原方程可化为(x1)2(y1)21(y1)，其表示以(1，1)为圆心、1 为半径、直线 y1 下方的半圆所以方程|y|11x12表示的曲线是两个半圆，选 D.5(多选)已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点(1,0)且被 x 轴分成两段，弧长比为 12，则圆 C 的方程为()Ax2(y33)243Bx2(y33)243C(x3)2y243 D(x3)2y243解析 ： 选 AB由已知圆心在 y 轴上，且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为23，设圆心(0，a), 半径为 r，则 rsin31，rcos3|a|，解得 r23，即 r243，|a|33，即 a33，故圆 C 的方程为 x2(y 33)243.6(多选)已知点 A(1,0)，B(0,2)，点 P 是圆(x1)2y21 上任意一点，若PAB 面积的最大值为 a，最小值为 b，则()Aa2 Ba252Cb252 Db521解析：选 BC由题意知|AB|12225，lAB：2xy20，由题意知圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线 lAB的距离 d|202|4145455.所以 SPAB的最大值为125(4551)12(45)252，SPAB的最小值为125(4551)12(45)252.7已知三点 A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为_解析：设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，Error!Error!Error!Error!ABC 外接圆的圆心为(1，233)，故ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 1(233)2213.答案：2138在平面直角坐标系内，若曲线 C：x2y22ax4ay5a240 上所有的点均在第四象限内，则实数 a的取值范围为_解析 ： 圆 C 的标准方程为(xa)2(y2a)24，所以圆心为(a,2a)，半径 r2，故由题意知Error!Error!解得 a2，故实数 a 的取值范围为(，2)答案：(，2)9 （2020 秋肥东县校级期末）圆（x+2）2+y25 关于直线 xy+10 对称的圆的方程为【解题思路】根据已知圆的圆心求出关于直线 x3y50 对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果【解答过程】解；由圆（x+2）2+y25 可知，圆心（2，0） ，半径 r =5设点（2，0）关于直线 xy+10 对称的点为（x，y） ，则 + 2= 1 222+ 1 = 0，解得 =-1 = 1所求圆的圆心为（1，1） 又半径 r =5圆（x+2）2+y25 关于直线 xy+10 对称的圆的方程为（x+1）2+（y+1）25故答案是： （x+1）2+（y+1）2510(2020福建厦门一模)在ABC 中，AB4，AC2，A3，动点 P 在以点 A 为圆心，半径为 1 的圆上，则 PB PC 的最小值为_解析：如图，以点 A 为原点，AB 边所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系则 A(0,0)，B(4,0)，C(1，3)，设 P(x，y)，则 PB (4x，y)， PC (1x，3y)， PB PC (4x)(1x)y(3y)x25xy23y4(x52)2(y32)23， 其中(x52)2(y32)2表示圆 A 上的点 P 与点 M(52，32)之间距离|PM|的平方，由几何图形可得|PM|min|AM|1(52)2(32)2171，( PB PC )min(71)23527.答案：52711已知 M 为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若 M(m，n)，求n3m2的最大值和最小值解：(1)由圆 C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r22.又|QC|2227324222.所以点 Q 在圆 C 外，所以|MQ|max422262，|MQ|min422222.(2)可知n3m2表示直线 MQ 的斜率，设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30，则n3m2k.因为直线 MQ 与圆 C 有交点，所以|2k72k3|1k222，可得 23k23，所以n3m2的最大值为 23，最小值为 23.12已知方程 x2y22x4ym0.(1)若此方程表示圆，求实数 m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线 x2y40 相交于 M，N 两点，且 OMON(O 为坐标原点)，求 m 的值；(3)在(2)的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程解：(1)由 D2E24F0 得(2)2(4)24m0，解得 m5.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 x2y40 得 x42y，将 x42y 代入 x2y22x4ym0 得 5y216y8m0，所以 y1y2165，y1y28m5.因为 OMON，所以y1x1y2x21，即 x1x2y1y20.因为 x1x2(42y1)(42y2)168(y1y2)4y1y2，所以 x1x2y1y2168(y1y2)5y1y20，即(8m)8165160，解得 m85.(3)设圆心 C 的坐标为(a，b)，则 a12(x1x2)45，b12(y1y2)85，半径 r|OC|455，所以所求圆的方程为(x45)2(y85)2165.