1、空间向量的数量积运算平面向量及其线性运算空间向量及其线性运算推推 广广平面向量的数量积运算空间向量的数量积运算问题1 你能类比平面向量的数量积运算，把它推广到空间向量吗？追问(1) 学习平面向量时，我们是如何研究它的数量积运算的？夹角数量积的定义运算律应用追问(2) 什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的概念吗？平面向量的夹角平面向量的夹角 两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做 a ， b ，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，规定0 a，b .OA OB 如果a，b ，那么向量a，b互相垂直，记作ab .2ba.OAB空间向量的夹角空间向量的夹角 两个非零向量
2、a，b，在空间中任取一点O，做 a ， b ，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，规定0 a，b .OA OB 如果a，b ，那么向量a，b互相垂直，记作ab .2ba.OAB 两个非零平面向量的数量积是一个实数实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即： a b|a|b|cosa，b.特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 追问(3) 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？平面向量的数量积平面向量的数量积空间向量的空间向量的数量积数量积 已知非零向量a，b，|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积（inner product），记作a b . 即
3、 a b|a|b|cosa，b. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0.追问(3) 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？平面向量的数量积平面向量的数量积空间向量的空间向量的数量积数量积 由向量数量积定义，可以得到： 若a，b是非零向量，ab a b0； a aa 2|a|a|cosa，a|a|2 .证明空间中的垂直关系证明空间中的垂直关系求空间中线段的长度求空间中线段的长度追问(3) 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？追问(4) 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？平面向量的投影
4、平面向量的投影 两个非零向量a，b， a， b，过A和B分别做 所在直线的垂线，垂足分别为A1和B1，得到 ，称上述变换为向量a向向量b的投影， 叫向量a在向量b上的投影向量.AB CDCD11A B11A BbaABA1DCB1追问(4) 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？baABA1DCB1ba.ONMM1 |a|cosa，b |bb1OM ba.Oac追问(4) 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？空间向量的投影向量空间向量的投影向量 将空间向量a，b ，平移到同一个平面内，利用平面上向量的投影
5、得到与向量b共线的向量c，即: c =|a|cosa，b ， 向量c称为向量a在向量b上的投影向量.|bb追问(5) 空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？ 平面向量的数量积运算律平面向量的数量积运算律 (a)b(ab)， R； abba（交换律）; a(bc)abac（分配律）.追问(5) 空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？ 平面向量的数量积运算律平面向量的数量积运算律空间向量的空间向量的数量积运算律数量积运算律 (a) b(ab)， R； abba（交换律）; a(bc)abac（分配律）.追问(5) 空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？ 平面向量的数量积运算律平面
6、向量的数量积运算律空间向量的空间向量的数量积运算律数量积运算律 (a) b(ab)， R； abba（交换律）; a(bc)abac（分配律）.a(bc)abac（分配律）问题2 空间向量的数量积运算由平面向量的数量积运算推广而来，与平面向量数量积运算一样，要注意它与向量的线性运算、实数的乘法运算的区别.你能回答以下问题吗？追问(1) 由ab0，能否得到a0或 b0？ 不一定！ 因为 ab|a|b|cosa，b0， 所以|a|0或|b|0或cosa，b0. 即a0或b0或ab.追问(2) 对于三个均不为零的实数a，b，c，若abac，则bc. 对于非零向量a，b，c，由abac，能得到bc吗？
7、 不一定！由ab = ac，有，有a(bc）0. 从而有有bc或或a(bc）.追问(3) 对于三个均不为零的数a，b，c，若abc，则 或 .那么对于向量a，b，若abk，能写成 或 吗？cabcba 不能！因为没有定义向量的除法运算. abkbak追问(4) 对于三个均不为零的数a，b，c，有(ab)ca(bc).对于向量a，b，c，(ab)ca(bc)成立吗？ 不一定！两个向量的数量积为一个实数，(ab)c和a(bc)分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等. 向量的数量积运算没有结合律.问题3 用空间向量的数量积运算，可以解决空间中的哪些问题？追问(1) 平面向量的数量积运算可
8、以解决哪些问题？平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用 （1）求线段长度(距离)：（2）求夹角：（3）证明垂直：追问(1) 平面向量的数量积运算可以解决哪些问题？平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用 （1）求线段长度(距离)：（2）求夹角：（3）证明垂直： 把所求线段看成一个向量的模，并用其它已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模；ab a b0.|a babcos a，b ;追问(2) 空间中的这些问题是否也可以用它们解决?平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用空间向量空间向量数量积的应用数量积的应用 （1）求线段长度(距离)：（2）求夹角：（3）证明垂直： 把所求线段看成一个向
9、量的模，并用其它已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模；ab a b0.|a babcos a，b ;问题4 如右图，在平行六面体ABCDABCD中，AB = 5，AD = 3，AA= 7，BAD = 60，BAA= DAA= 45. 求：(1) ；(2) AC的长（精确到0.1）. AB AD追问(1) 如何计算 ？它们的长度，夹角是多少？ AB AD AB，AD的长度和夹角均已知，AB5，AD3，BAD = 60. AB AD =cos,ABADAB AD 解：(1)o=53cos 60 =7.5追问(2) 为了求AC的长，应该用哪些向量表示 ？为什么？如何表示？AC 可以根据已知条件
10、与平行四边形法则，用 来表示，因为它们的模长和夹角均已知，可以进行数量积运算.,AB AD AA (2)22ACABADAA AC =ABADAA 2ABADAA 2222ABADAAAB ADAB AAAD AA 222ooo5372 5 3 cos60 +5 7 cos45 +3 7 cos45 =98+56 2.13.3 .AC 用已知向量表示所求向量，再由数量积运算求模长，是立体几何中求线段长度的常用向量方法.问题5 如右图，m，n是平面内的两条相交直线. 如果lm， ln，求证： l平面;mnl追问(1) 直线和平面垂直的定义是什么？ mnl 如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直，
11、则直线l垂直于平面 .追问(2) 如何用向量方法证明l和平面内任意一条直线垂直？ mnl 在平面内任取一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g作为方向向量，由向量共面的充要条件知，g可由m，n的线性组合表示. 由已知lm， ln，通过数量积运算，得到lg，从而lg， 从而l平面.gmgnlmnlgmgnl证明： 在平面内作任意直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因为直线m，n相交，所以m，n不共线.因此，存在唯一有序实数对(x，y)，使得gxm +yn.因为lm， ln，所以lm， ln，即lm0，ln0.于是lglxn lymxlnylm0， 所以lg.即lg，所以l平面. 用向量表示直线，用向量数量积为零刻画直线的垂直，是立体几何中的常用向量方法.mnlgmgnl问题问题6 6 回顾回顾本节课本节课的探究过程，你学到了什么？的探究过程，你学到了什么？1 空间向量的数量积运算(1) 空间向量数量积运算的定义；空间向量数量积运算的定义；(2) 空间向量数量积运算的运算律；空间向量数量积运算的运算律；(3) 空间向量数量积运算的应用空间向量数量积运算的应用.2 类比平面向量的研究方法类比猜想证明或转化推广课后作业课后作业1. 用投影向量证明空间向量数量积运算的分配律;2. 教材P9-10，习题1.1第4，7，10题.
