第4讲 直线和直线方程 讲义（学生版+教师版）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册.rar

第 4 讲 直线方程玩前必备1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，)2斜率公式(1)若直线l的倾斜角90，则斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k 2 1 2 1.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式 1 2 1 1 2 1不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用4两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组Error!Error!的解5几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2| 2 1 2 2 1 2.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0 的距离d| 0 0 | 2 2.(3)两条平行线AxByC10 与AxByC20(其中C1C2)间的距离d| 1 2| 2 2.知识拓展1一般地，与直线AxByC0 平行的直线方程可设为AxBym0；与之垂直的直线方程可设为BxAyn0.2过直线l1：A1xB1yC10 与l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (R R)，但不包括l2.玩转典例题型一直线的倾斜角与斜率 例 1（2020山西省山西大附中高二期中） 已知直线l经过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为_例 2（2020浙江省高二期中）直线xsiny20 的倾斜角的取值范围是()A0，)B C D1,0P2,1A3, 2BABl30, )440,40, )42玩转跟踪 1.若直线l与直线y1，x7 分别交于点P，Q， 且线段PQ的中点坐标为(1， 1)， 则直线l的斜率为()A.13 B13 C32 D.232.直线xcos 3y20 的倾斜角的范围是()A.6，2)(2，56 B.0，656，)C.0，56 D.6，563.（2020全国高一课时练习）点在函数的图像上，当时，求的取值范围.题型二求直线的方程例 3(1)若直线经过点 A(5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍，则该直线的方程为_(2)若直线经过点 A(3，3)，且倾斜角为直线3xy10 的倾斜角的一半，则该直线的方程为_(3)在ABC 中，已知 A(5，2)，B(7,3)，且 AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上，则直线 MN的方程为_例 4过点 P(4,1)作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点(1)当AOB 面积最小时，求直线 l 的方程(2)当|OA|OB|取最小值时，求直线 l 的方程( , )M x y28yx 2,5x11yx玩转跟踪 1在等腰三角形 MON 中，MOMN，点 O(0,0)，M(1,3)，点 N 在 x 轴的负半轴上，则直线 MN 的方程为()A3xy60 B3xy60C3xy60 D3xy602已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，若 0a2 时，直线 l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a_.3过点 P(6，2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程为_题型三 两直线平行与垂直的判定题型三 两直线平行与垂直的判定例 5例 5(1)设不同直线 l1：2xmy10，l2：(m1)xy10，则“m2”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)已知直线 l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，若 l1l2，则 a()A2 或12 B.13或1C.13 D1(3)(一题多解)经过两条直线 2x3y10 和 x3y40 的交点，并且垂直于直线 3x4y70 的直线方程为_玩转跟踪1已知直线 4xmy60 与直线 5x2yn0 垂直，垂足为(t,1)，则 n 的值为()A7B9C11 D72已知两条直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 的值(1)l1l2，且 l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等题型四距离公式的应用例 6(1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线方程为()A2xy50B2xy30Cx2y40 Dx2y0(2)若两平行直线 l1：x2ym0(m0)与 l2：2xny60 之间的距离是 5，则 mn()A0 B1C2 D1玩转跟踪 1.已知点P(2，1)(1)求过P点且与原点距离为 2 的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离2若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点，则|PQ|的最小值为_题型五直线过定点问题例 7（2020 秋海淀区校级期中） 直线 kxy+13k， 当实数 k 的取值变化时， 所有直线都通过定点 （）A （3，1）B （2，1）C （1，1）D （0，1）玩转跟踪1.（2020 秋历下区校级期中）设直线 l 的方程为（a+1）x+y+1a0，则直线 l 经过定点；若直线 l在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为2.（2020 秋武胜县校级月考）已知直线 l：kxy+1+2k0（kR） （1）求证：直线 l 过定点；（2）若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围题型五对称问题例 8已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60 关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程玩转跟踪1已知直线 y2x 是ABC 中C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点 C的坐标为()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)2已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_3设 A，B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 3，且|PA|PB|，若直线 PA 的方程为 xy10，则直线 PB的方程是_玩转练习一、单选题一、单选题1 （2020江苏省丹徒高中高一开学考试）直线的倾斜角为（ ）ABCD2 （2020江苏省扬州中学高一期中）如果、在同一直线上，那么的值是( )A-6B-7C-8D-9k3 （2020山东省高二期中）若直线过点，则此直线的倾斜角是（ ）ABCD4 （2020泉州市泉港区第一中学高二月考）经过点且在轴上的截距为 3 的直线方程是（ ）.ABCD5 （2020黑龙江省黑龙江实验中学高三期末（理） ）已知直线 过点，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线 的方程为（ ）ABC或D或6 （2020浙江省杭州高级中学高二期末）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值是（ ）A1B-1C-2D27 （2020浙江省镇海中学高一期末）已知点到直线的距离为 1，则的值为（ ）ABCD8 （2020陕西省高三月考（理） ）已知直线l1：2xy2=0 与直线l2：3x+y8=0 的交点为P，则点P到直线l：y=2x的距离为（）ABCDll20 xy20 xy20 xyxy54530556 555655二、多选题二、多选题9 （2020江苏省丹徒高中高一开学考试）下列说法不正确的是（ ）A不能表示过点且斜率为的直线方程；B在轴、轴上的截距分别为的直线方程为；C直线与轴的交点到原点的距离为；D平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示.10.（2020山东省高二期末）已知直线，则下列结论正确的是（ ）A直线 的倾斜角是B若直线则C点到直线 的距离是D过与直线 平行的直线方程是三、解答题三、解答题11已知两直线 l1：mx8yn0 和 l2：2xmy10，试确定 m，n 的值，使(1)l1与 l2相交于点 P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且 l1在 y 轴上的截距为1.12正方形的中心为点 C(1,0)，一条边所在的直线方程是 x3y50，求其他三边所在直线的方程11yykxx11( ,)M x ykxy, a b1xyabykxbyb: 310lxy l6:310,m xy lm( 3,0)l2(2 3,2)l340 xy13.已知点 P(2，1)(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由第 4 讲 直线方程玩前必备1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，)2斜率公式(1)若直线l的倾斜角90，则斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k 2 1 2 1.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式 1 2 1 1 2 1不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用4两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组Error!Error!的解5几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2| 2 1 2 2 1 2.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0 的距离d| 0 0 | 2 2.(3)两条平行线AxByC10 与AxByC20(其中C1C2)间的距离d| 1 2| 2 2.知识拓展1一般地，与直线AxByC0 平行的直线方程可设为AxBym0；与之垂直的直线方程可设为BxAyn0.2过直线l1：A1xB1yC10 与l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (R R)，但不包括l2.玩转典例题型一直线的倾斜角与斜率 例 1（2020山西省山西大附中高二期中） 已知直线l经过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为_【答案】【解析】当直线 过 B 时，设直线 的倾斜角为，则 1,0P2,1A3, 2BABl30, )44ll3tan14 当直线 过 A 时，设直线 的倾斜角为，则综合：直线 l 经过点且与以，为端点的线段有公共点时，直线的倾斜角的取值范围为例 2（2020浙江省高二期中）直线xsiny20 的倾斜角的取值范围是()A0，)B C D【答案】B【解析】直线xsin+y+20 的斜率为ksin，1sin1，1k1倾斜角的取值范围是0，） ，故选：B玩转跟踪 1.若直线l与直线y1，x7 分别交于点P，Q， 且线段PQ的中点坐标为(1， 1)， 则直线l的斜率为()A.13 B13 C32 D.232.直线xcos 3y20 的倾斜角的范围是()A.6，2)(2，56 B.0，656，)C.0，56 D.6，56答案(1)B(2)B解析(1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，lltan14 P 1,0A 2,1B 3, 2ABl 30,4430, )440,40, )42434则有Error!Error!，解得a5，b3，从而可知直线l的斜率为317513.(2)由xcos 3y20 得直线斜率k33cos .1cos 1，33k33.设直线的倾斜角为，则33tan 33.结合正切函数在0，2)(2，)上的图象可知，06或56.3.（2020全国高一课时练习）点在函数的图像上，当时，求的取值范围.【答案】【解析】的几何意义是过两点的直线的斜率，点 M 在线段上运动，易知当时，此时与两项连线的斜率最大，为；当时，此时与两点连线的斜率最小，为.,即的取值范围为题型二求直线的方程例 3(1)若直线经过点 A(5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍，则该直线的方程为_(2)若直线经过点 A(3，3)，且倾斜角为直线3xy10 的倾斜角的一半，则该直线的方程为_(3)在ABC 中，已知 A(5，2)，B(7,3)，且 AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上，则直线 MN的方程为_( , )M x y28yx 2,5x11yx1 5,6 31( 1)1( 1)yyxx ( , ),( 1, 1)M x y N 28,2,5yxx 2x 4y (2,4)M( 1, 1)N 535x 2y (5, 2)M( 1, 1)N 16115613yxHF1 5,6 3解析(1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为 ykx，将(5,2)代入 ykx 中，得 k25，此时，直线方程为 y25x，即 2x5y0.当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为x2aya1，将(5,2)代入所设方程，解得 a12，此时，直线方程为 x2y10.综上所述，所求直线方程为 x2y10 或 2x5y0.(2)由3xy10 得此直线的斜率为3，所以倾斜角为 120，从而所求直线的倾斜角为 60，故所求直线的斜率为3.又直线过点 A(3，3)，所以所求直线方程为 y33(x3)，即3xy60.(3)设 C(x0，y0)，则 M(5x02，y022)，N(7x02，y032).因为点 M 在 y 轴上，所以5x020，所以 x05.因为点 N 在 x 轴上，所以y0320，所以 y03，即 C(5，3)，所以 M(0，52)，N(1,0)，所以直线 MN 的方程为x1y521，即 5x2y50.答案(1)x2y10 或 2x5y0(2)3xy60(3)5x2y50例 4过点 P(4,1)作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点(1)当AOB 面积最小时，求直线 l 的方程(2)当|OA|OB|取最小值时，求直线 l 的方程解设直线 l：xayb1(a0，b0)，因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以4a1b1.(1)4a1b124a1b4ab，所以 ab16，当且仅当 a8，b2 时等号成立，所以当 a8，b2 时，AOB 的面积最小，此时直线 l 的方程为x8y21，即 x4y80.(2)因为4a1b1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)(4a1b)5ab4ba52 ab4ba9，当且仅当 a6，b3 时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线 l 的方程为x6y31，即 x2y60.玩转跟踪 1在等腰三角形 MON 中，MOMN，点 O(0,0)，M(1,3)，点 N 在 x 轴的负半轴上，则直线 MN 的方程为()A3xy60 B3xy60C3xy60 D3xy60解析：选 C因为 MOMN，所以直线 MN 的斜率与直线 MO 的斜率互为相反数，所以 kMNkMO3，所以直线 MN 的方程为 y33(x1)，即 3xy60，选 C.2已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，若 0a2 时，直线 l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a_.解析：直线 l1可写成 a(x2)2(y2)，直线 l2可写成 2(x2)a2(2y)，所以直线 l1，l2恒过定点 P(2,2)，直线 l1的纵截距为 2a， 直线 l2的横截距为 a22， 所以四边形的面积 S122(2a)122(a22)a2a4(a12)2154，故当 a12时，四边形的面积最小答案：123过点 P(6，2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程为_解析 ： 设直线方程的截距式为xa1ya1，则6a12a1，解得 a2 或 a1，则直线的方程是x21y21 或x11y11，即 2x3y60 或 x2y20.答案：2x3y60 或 x2y20题型三 两直线平行与垂直的判定题型三 两直线平行与垂直的判定例 5例 5(1)设不同直线 l1：2xmy10，l2：(m1)xy10，则“m2”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)已知直线 l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，若 l1l2，则 a()A2 或12 B.13或1C.13 D1(3)(一题多解)经过两条直线 2x3y10 和 x3y40 的交点，并且垂直于直线 3x4y70 的直线方程为_解析(1)当 m2 时，易知两直线平行，即充分性成立当 l1l2时，显然 m0，从而有2mm1，解得 m2 或 m1，但当 m1 时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选 C.(2)因为直线 l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，l1l2，所以 2a(a1)(a1)(a1)0 解得 a13或 a1.故选 B.(3)法一：由方程组Error!Error!解得Error!Error!即交点为(53，79)，因为所求直线与直线 3x4y70 垂直，所以所求直线的斜率为 k43.由点斜式得所求直线方程为 y7943(x53)，即 4x3y90.法二：由垂直关系可设所求直线方程为 4x3ym0，由方程组Error!Error!可解得交点为(53，79)，代入 4x3ym0 得 m9，故所求直线方程为 4x3y90.法三：由题意可设所求直线的方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又因为所求直线与直线 3x4y70 垂直，所以 3(2)4(33)0，所以 2，代入式得所求直线方程为 4x3y90.答案(1)C(2)B(3)4x3y90玩转跟踪1已知直线 4xmy60 与直线 5x2yn0 垂直，垂足为(t,1)，则 n 的值为()A7B9C11 D7解析：选 A由直线 4xmy60 与直线 5x2yn0 垂直得，202m0，m10.直线 4x10y60过点(t,1)，所以 4t1060，t1.点(1,1)又在直线 5x2yn0 上，所以52n0，n7.2已知两条直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 的值(1)l1l2，且 l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解：(1)由已知可得 l2的斜率存在，且 k21a.若 k20，则 1a0，a1.l1l2，直线 l1的斜率 k1必不存在，即 b0.又l1过点(3，1)，3a40，即 a43(矛盾)，此种情况不存在，k20，即 k1，k2都存在且不为 0.k21a，k1ab，l1l2，k1k21，即ab(1a)1.又l1过点(3，1)，3ab40.由联立，解得 a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线 l1的斜率存在，k1k2，即ab1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1l2，l1，l2在 y 轴上的截距互为相反数，即4bb.联立，解得Error!Error!或Error!Error!a2，b2 或 a23，b2.题型四距离公式的应用例 6(1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线方程为()A2xy50B2xy30Cx2y40 Dx2y0(2)若两平行直线 l1：x2ym0(m0)与 l2：2xny60 之间的距离是 5，则 mn()A0 B1C2 D1解析(1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线为过点 P(2,1)且与 OP 垂直的直线，因为直线 OP 的斜率为102012，所以所求直线的斜率为2，故所求直线方程为 2xy50.(2)因为 l1，l2平行，所以 1n2(2)，1(6)2m，解得 n4，m3，所以直线 l2： x2y30.又 l1，l2之间的距离是 5，所以|m3|145，解得 m2 或 m8(舍去)，所以 mn2，故选C.答案(1)A(2)C玩转跟踪 1.已知点P(2，1)(1)求过P点且与原点距离为 2 的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离解(1)过P点的直线l与原点距离为 2，而P点坐标为(2，1)，可见，过P(2，1)垂直于x轴的直线满足条件此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知，得| 2 1| 212，解之得k34.此时l的方程为 3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2 或 3x4y100.(2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由lOP，得klkOP1.所以kl1 2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即 2xy50，即直线 2xy50 是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为| 5|55.2若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点，则|PQ|的最小值为_解析：因为3648125，所以两直线平行，将直线 3x4y120 化为 6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|245|62822910，所以|PQ|的最小值为2910.答案：2910题型五直线过定点问题例 7（2020 秋海淀区校级期中） 直线 kxy+13k， 当实数 k 的取值变化时， 所有直线都通过定点 （）A （3，1）B （2，1）C （1，1）D （0，1）【解题思路】由题意可得 k（x3）+（1y）0，由 x30，且 1y0，解方程即可得到所求定点【解答过程】解：直线 kxy+13k，即为 k（x3）+（1y）0，由 x30，且 1y0，解得 x3，且 y1，则直线恒过定点（3，1） 故选：A玩转跟踪1.（2020 秋历下区校级期中）设直线 l 的方程为（a+1）x+y+1a0，则直线 l 经过定点（1，2）；若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为2x+y0，或 x+y+10【解题思路】在直线 l 的方程中分离参数，再令参数的系数等于零，求得 x、y 的值，可得它经过的定点坐标分类讨论直线 l 是否经过原点，从而求出它的方程【解答过程】解：直线 l 的方程为（a+1）x+y+1a0，即 a（x1）+x+y+10，令 x10，求得 x1，y2，可得该直线 l 经过定点（1，2） 由于直线 l 在两坐标轴上的截距相等，若直线 l 过原点，方程为 y2x，即 2x+y0若直线 l 不过原点，设它的方程为 x+y+c0，再把点（1，2）代入，求得 c1，故直线 l 的方程为 x+y+10综上可得，直线 l 的方程为 2x+y0，或 x+y+10故答案为 2x+y0，或 x+y+102.（2020 秋武胜县校级月考）已知直线 l：kxy+1+2k0（kR） （1）求证：直线 l 过定点；（2）若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围【解题思路】 （1）直线 l 的方程可化为 yk（x+2）+1，直线 l 过定点（2，1） （2）要使直线 l 不经过第四象限，则直线的斜率和直线在 y 轴上的截距都是非负数，解出 k 的取值范围【解答过程】解： （1）直线 l 的方程可化为 yk（x+2）+1，故无论 k 取何值，直线 l 总过定点（2，1） （2）直线 l 的方程可化为 ykx+2k+1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1，要使直线 l 不经过第四象限，则 01 + 2 0，解得 k 的取值范围是 k0题型五对称问题例 8已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60 关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解(1)设A(x，y)，再由已知Error!Error!解得Error!Error!A(3313，413)(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上设对称点为M(a，b)，则Error!Error!解得M(613，3013)设m与l的交点为N，则由Error!Error!得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线方程为 9x46y1020.(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.玩转跟踪1已知直线 y2x 是ABC 中C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点 C的坐标为()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)解析：选 C设 A(4,2)关于直线 y2x 的对称点为(x，y)，则Error!Error!解得Error!Error!BC 所在直线方程为 y12143(x3)，即 3xy100.联立Error!Error!解得Error!Error!则 C(2,4)2已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析：设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)，则反射光线所在直线过点 M，所以Error!Error!解得Error!Error!即 M(1,0)又反射光线经过点 N(2,6)，所以所求直线的方程为y060 x121，即 6xy60.答案：6xy603设 A，B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 3，且|PA|PB|，若直线 PA 的方程为 xy10，则直线 PB的方程是_解析：由|PA|PB|知点 P 在 AB 的垂直平分线上由点 P 的横坐标为 3，且 PA 的方程为 xy10，得P(3，4)直线 PA，PB 关于直线 x3 对称，直线 PA 上的点(0,1)关于直线 x3 的对称点(6,1)在直线 PB 上，所以直线 PB 的方程为y414x363，即 xy70.答案：xy70玩转练习一、单选题一、单选题1 （2020江苏省丹徒高中高一开学考试）直线的倾斜角为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意，直线的斜率为故故选:B2 （2020江苏省扬州中学高一期中）如果、在同一直线上，那么的值是( )A-6B-7C-8D-9【答案】D【解析】、三点在同一条直线上，直线和直线的斜率相等，解得故选：D3 （2020山东省高二期中）若直线过点，则此直线的倾斜角是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率，即直线的倾斜角满足，又，故选：C4 （2020泉州市泉港区第一中学高二月考）经过点且在轴上的截距为 3 的直线方程是（ ）.ABCDkABAC【答案】C【解析】由题意知,所求直线经过点,点，代入直线的斜率公式可得,所以所求的直线方程为,化简可得,.故选:C5 （2020黑龙江省黑龙江实验中学高三期末（理） ）已知直线 过点，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线 的方程为（ ）ABC或D或【答案】D【解析】根据题意，直线 分 2 种情况讨论：当直线过原点时，又由直线经过点，所求直线方程为，整理为，当直线不过原点时，设直线 的方程为，代入点的坐标得，解得，此时直线 的方程为，整理为故直线 的方程为或.故选：D6 （2020浙江省杭州高级中学高二期末）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值是（ ）A1B-1C-2D2【答案】A【解析】由题意得，直线的截距式方程为，所以，故选 All20 xy20 xy20 xyl20 xylll20 xyxy7 （2020浙江省镇海中学高一期末）已知点到直线的距离为 1，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题,因为,故.故选：D8 （2020陕西省高三月考（理） ）已知直线l1：2xy2=0 与直线l2：3x+y8=0 的交点为P，则点P到直线l：y=2x的距离为（）ABCD【答案】C【解析】联立，得P（2，2） ，点P（2，2）到直线l：y=2x的距离故选：C二、多选题二、多选题9 （2020江苏省丹徒高中高一开学考试）下列说法不正确的是（ ）A不能表示过点且斜率为的直线方程；B在轴、轴上的截距分别为的直线方程为；C直线与轴的交点到原点的距离为；54530556 555655511yykxx11( ,)M x ykxy, a b1xyabykxbybD平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示.【答案】BCD【解析】由于定义域为，故不过点，故 A 选项正确；当时，在轴、轴上的截距分别为 0 的直线不可用表示，故 B 不正确；直线与轴的交点为，到原点的距离为，故 C 不正确；平面内斜率不存在的直线不可用斜截式表示.故选：BCD10.（2020山东省高二期末）已知直线，则下列结论正确的是（ ）A直线 的倾斜角是B若直线则C点到直线 的距离是D过与直线 平行的直线方程是【答案】CD【解析】对于A直线的斜率ktan，故直线l的倾斜角是，故A错误；对于B因为直线的斜率k，kk11，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C点到直线l的距离d2，故C正确；对于D过与直线l平行的直线方程是y2（x2） ，整理得：，故D正确综上所述，正确的选项为CD故选：CD三、解答题三、解答题11已知两直线 l1：mx8yn0 和 l2：2xmy10，试确定 m，n 的值，使11yykxx11( ,)M x yxy1xyabykxby: 310lxy l6:310,m xy lm( 3,0)l2(2 3,2)l340 xy(1)l1与 l2相交于点 P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且 l1在 y 轴上的截距为1.解：(1)由题意得Error!Error!解得Error!Error!即 m1，n7 时，l1与 l2相交于点 P(m，1)(2)l1l2，Error!Error! 解得Error!Error!或Error!Error!即 m4，n2 或 m4，n2 时，l1l2.(3)当且仅当 2m8m0，即 m0 时，l1l2.又n81，n8.即 m0，n8 时，l1l2，且 l1在 y 轴上的截距为1.12正方形的中心为点 C(1,0)，一条边所在的直线方程是 x3y50，求其他三边所在直线的方程解：点 C 到直线 x3y50 的距离 d|15|193105.设与 x3y50 平行的一边所在直线的方程是 x3ym0(m5)，则点 C 到直线 x3ym0 的距离 d|1m|193105，解得 m5(舍去)或 m7，所以与 x3y50 平行的边所在直线的方程是x3y70.设与 x3y50 垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点 C 到直线 3xyn0 的距离d|3n|913105，解得 n3 或 n9，所以与 x3y50 垂直的两边所在直线的方程分别是 3xy30 和 3xy90.13.已知点 P(2，1)(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解：(1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，1)，显然，过点 P(2，1)且垂直于 x 轴的直线满足条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.由已知得|2k1|k212，解得 k34.此时直线 l 的方程为 3x4y100.综上可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100.(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图由 lOP，得 klkOP1，因为 kOP12，所以 kl1kOP2.由直线方程的点斜式得 y12(x2)，即 2xy50.所以直线 2xy50 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为|5|55.(3)由(2)可知，过点 P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线