1.3 空间向量及其运算的坐标表示辅导讲义-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

知识点一知识点一 空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系在空间选定一点 O 和一个单位正交基底i，j，k，以 O 为原点，分别以 i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系坐标轴x 轴、y 轴、z 轴坐标原点点 O坐标向量i，j，k坐标平面Oxy 平面、Oyz 平面和 Oxz 平面右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴正方向，食指指向 y 轴正方向，如果中指指向 z 轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系知识点二知识点二 空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示在空间直角坐标系中，i，j，k 为坐标向量，对空间任一点 A，对应一个向量OA ，且点 A 的位置由向量OA 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA xiyjzk，则(x，y，z)叫做点 A 在空间直角坐标系中的坐标记作 A(x，y，z)，其中 x 叫点 A 的横坐标，y 叫做点 A 的纵坐标，z 叫做点 A 的竖坐标空间直角坐标系中 A 点坐标在空间直角坐标系中，给定向量 a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 axiyjzk，则(x，y，z)叫做 a 在空间直角坐标系中的坐标，简记作 a(x，y，z)知识点三知识点三 空间向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)，R数量积aba1b1a2b2a3b3知识点四知识点四 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示知识讲解知识讲解平行(ab)ab(b0)abError!Error!垂直(ab)abab0a1b1a2b2a3b30(a，b 均为非零向量)模|a|aaa2 1a2 2a2 3夹角公式cosa，bab|a|b|a1b1a2b2a3b3a2 1a2 2a2 3b2 1b2 2b2 3知识点五知识点五 向量的坐标及两点间的距离公式向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)AB (a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dAB|AB |a2a12b2b12c2c12.考点一考点一 空间向量坐标运算空间向量坐标运算例 1： （2021广东中山市） （多选）已知向量4, 2, 4 ,6, 3,2ab，则下列结论不正确的是（ ）A10, 5, 2ab B2, 1,6ab C10a b D6a 考点二考点二 建立空间坐标建立空间坐标例 2： （2021浙江高二单元测试）在正方体1111ABCDABC D中，,E F分别为111,AD BB的中点，则cosEAF_；EF _. 考点三考点三 空间向量的平行与垂直空间向量的平行与垂直例例 3：正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B1P PD1 ，若 PQAE，BD DQ ，求 的值 典型例题典型例题考点四考点四 空间向量中数量积的坐标运算空间向量中数量积的坐标运算例 4： （2021福建泉州市）若, ,0OAm n ，40,OBpn ，0,4,0F，1AFm ，1BFp ，则mp的最小值为（ ）A1B2C3D6考点五考点五 空间向量的夹角与长度问题空间向量的夹角与长度问题例例 5：如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M，N 分别为 A1B1，A1A 的中点(1)求 BN 的长；(2)求 A1B 与 B1C 所成角的余弦值；(3)求证：BN平面 C1MN. 一、选择题一、选择题1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A.y 轴上B.Oxy 平面上C.Oxz 平面上D.第一象限内2.点 P(1,)为空间直角坐标系中的点,过点 P 作 Oxy 平面的垂线,垂足为 Q,则点 Q 的坐标为()A.(0,0,)B.(0,)C.(1,0,)D.(1,0)3.点 A(1,2,-1),点 C 与点 A 关于 Oxy 平面对称,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,则的坐标为()A.(1,2,-1)B.(1,-2,1)C.(0,-4,0)D.(0,4,0)4.三棱锥 PABC 中，ABC 为直角，PB平面 ABC，ABBCPB1，M 为 PC 的中点，N 为 AC 的中点，以BA ，BC ，BP 方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系 Oxyz，则MN 的坐标为(B)A(12，0，12) B(12，0，12)C(12，12，0) D(0，12，12)5.（2021浙江）与向量(2,3,6)a 共线的单位向量是（ ） 同步练习同步练习A2 3 6,7 7 7 B236,777 C236,777和2 3 6,7 7 7D2 3 6,7 7 7和236,7776.（2021广西钦州市）已知1, 2, 1a ，3, 1bm，若ab，则m等于（ ）A1B2C3D37.（2021浙江高二单元测试） 已知空间直角坐标系Oxyz中，1,2,3OA uu u r，2,1,2OB uuu r，1,1,2OP uu u r， 点Q在直线OP上运动，则当QA QB 取得最小值时，点Q的坐标为（ ）A1 3 1,2 4 3B1 3 3,2 2 4C4 4 8,3 3 3D4 4 7,3 3 38 （2021全国高二课时练习） 设, x yR， 向量,1,1 ,1, ,1 ,2, 4,2 ,axbyc且,/ /ac bc， 则ab（ ）A2 2B10C3D49 （2021浙江高二单元测试）如图，E为正方体的棱1AA上一点，且1113AEA A，F为棱AD上一点，且190C EF，则:AF FD （ ） A2:7B2:6C1:3D2:510 （2021安徽省安庆九一六学校高二开学考试（理） ）如图，将边长为 1 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足1122BPBABCBD ，则|BP 的值为（） A32B2C1024D94二、多选题二、多选题1 （2021江苏）已知向量a bb ca c ，3,0, 1b ，1,5, 3c ， 下列等式中正确的是（ ）Aa b cb c Babcabc C2222abcabcDabcabc2.（2020全国高二课时练习）已知(1,2,),( ,1,2)ay bx，且2ab2ab，则（ ）Ax13 Bx12 Cy14 Dy4三、填空题三、填空题1.已知 A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段 AB 中点的坐标为. 2.（2021江苏无锡市高二期末）已知空间向量23,2,3amn，21,32,6bmn，若/ /ab，则2mn_.3 （2020全国高二课时练习） 若AB (4， 6， 1)，AC(4， 3， 2)，1a ， 且aAB ，aAC， 则a_4 （2021全国高二课时练习）已知点(1,2,3)A，(2,1,2)B，(1,1,2)P，(0,0,0)O，点Q在直线OP上运动，当QA QB 取得最小值时，点Q的坐标为_.5 （2021浙江高二单元测试）已知3, 2, 3 ,1,1,1abx rr，且a与b夹角为钝角，则 x 的取值范围为_6 （2021陕西宝鸡市） 在空间直角坐标系Oxyz中， 已知( 1,0,2)A ，(0,1, 1)B， 点,C D分别在x轴，y轴上，且ADBC，那么CD的最小值是_.四、解答题四、解答题1.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，|AB|4，|AD|3，|AA1|5，N 为棱 CC1的中点，分别以 AB，AD，AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(1)求点 A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点 N 的坐标2 （2021铅山县第一中学高二开学考试（理） ）已知向量1,1,0a ，1,0,2b .（1）若/ / 2akbab，求实数k；（2）若向量kab与2ab所成角为锐角，求实数k的范围.3 （2021浙江高二单元测试） 如图， 建立空间直角坐标系Oxyz.单位正方体ABCDABCD顶点 A 位于坐标原点，其中点(1,0,0)B，点(0,1,0)D，点(0,0,1)A.（1）若点 E 是棱BC的中点，点 F 是棱B B的中点，点 G 是侧面kg的中心，则分别求出向量OE，OG，FG.的坐标；（2）在（1）的条件下，分别求出()OEOGFG；|EG 的值.3.（2021浙江高二单元测试）已知空间三点 A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)若3a ，且a分别与AB ，AC垂直，求向量a的坐标；(2)若AP BC ，且2 14 AP，求点 P 的坐标4 （2021全国高二课时练习）如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱 AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.（1）求BN的长； （2）求 cos的值； （3）求证：A1BC1M. 知识点一知识点一 空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系在空间选定一点 O 和一个单位正交基底i，j，k，以 O 为原点，分别以 i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系坐标轴x 轴、y 轴、z 轴坐标原点点 O坐标向量i，j，k坐标平面Oxy 平面、Oyz 平面和 Oxz 平面右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴正方向，食指指向 y 轴正方向，如果中指指向 z 轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系知识点二知识点二 空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示在空间直角坐标系中，i，j，k 为坐标向量，对空间任一点 A，对应一个向量OA ，且点 A 的位置由向量OA 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA xiyjzk，则(x，y，z)叫做点 A 在空间直角坐标系中的坐标记作 A(x，y，z)，其中 x 叫点 A 的横坐标，y 叫做点 A 的纵坐标，z 叫做点 A 的竖坐标空间直角坐标系中 A 点坐标在空间直角坐标系中，给定向量 a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 axiyjzk，则(x，y，z)叫做 a 在空间直角坐标系中的坐标，简记作 a(x，y，z)知识点三知识点三 空间向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)，R数量积aba1b1a2b2a3b3知识点四知识点四 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示知识讲解知识讲解平行(ab)ab(b0)abError!Error!垂直(ab)abab0a1b1a2b2a3b30(a，b 均为非零向量)模|a|aaa2 1a2 2a2 3夹角公式cosa，bab|a|b|a1b1a2b2a3b3a2 1a2 2a2 3b2 1b2 2b2 3知识点五知识点五 向量的坐标及两点间的距离公式向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)AB (a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dAB|AB |a2a12b2b12c2c12.考点一考点一 空间向量坐标运算空间向量坐标运算例 1： （2021广东中山市） （多选）已知向量4, 2, 4 ,6, 3,2ab，则下列结论不正确的是（ ）A10, 5, 2ab B2, 1,6ab C10a b D6a 【答案】BC【解析】向量(4, 2, 4),(6, 3,2)ab，(10ab，5，2)，故A 正确；( 2ab ，1，6)，故B错误；246822a b，故C错误；|164166a ，故D正确故选：BC考点二考点二 建立空间坐标建立空间坐标例 2： （2021浙江高二单元测试）在正方体1111ABCDABC D中，,E F分别为111,AD BB的中点，则cosEAF_；EF _. 【答案】25 62 【解析】 以 A 为原点， AB， AD， AA1分别为 x 轴y 轴z 轴建立直角坐标系， 设正方体棱长为 1， 则11(0,1),(1,0, )22EF典型例题典型例题1111(0,1),(1,0, ),(1,)2222AEAFEF ，122cos,5|5522AE AFAE AFAEAF 2222116cos,|1()()5222EAFEFEF .，故答案为：25；62考点三考点三 空间向量的平行与垂直空间向量的平行与垂直例例 3：正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B1P PD1 ，若 PQAE，BD DQ ，求 的值 【答案】-4【解析】如图所示，以 D 为原点， DA ， DC ，DD1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则 A(1,0,0)，E(0，0，12)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点 P 的坐标为(a，a,1)，因为 3B1P PD1 ，所以 3(a1，a1,0)(a，a,0)，所以 3a3a，解得 a34，所以点 P 的坐标为(34，34，1).由题意可设点 Q 的坐标为(b，b,0)，因为 PQAE，所以PQ AE 0，所以(b34，b34，1)(1，0，12)0，即(b34)120，解得 b14，所以点 Q 的坐标为(14，14，0)，因为BD DQ ，所以(1，1，0)(14，14，0)，所以41，故 4.考点四考点四 空间向量中数量积的坐标运算空间向量中数量积的坐标运算例 4： （2021福建泉州市）若, ,0OAm n ，40,OBpn ，0,4,0F，1AFm ，1BFp ，则mp的最小值为（ ）A1B2C3D6【答案】C【解析】因为, ,0OAm n ，40,OBpn ，0,4,0F，1AFm ，1BFp ，所以222241441mnmppn ，则2222224214421mnmmpppn，即224214421nmpn，所以22221632164812261628822nnnmpnnnnn22444822466nnnnnn，当且仅当44nn，即2n 时，22mp取得最小值3，则mp的最小值为3.故选：C.考点五考点五 空间向量的夹角与长度问题空间向量的夹角与长度问题例例 5：如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M，N 分别为 A1B1，A1A 的中点(1)求 BN 的长；(2)求 A1B 与 B1C 所成角的余弦值；(3)求证：BN平面 C1MN. 【答案】见解析【解析】(1)如图所示，建立空间直角坐标系 Cxyz.依题意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)，|BN |1020121023，线段 BN 的长为 3.(2)依题意得 A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，BA1 (1，1,2)，CB1 (0,1,2)，BA1 CB1 10(1)1223.又|BA1 | 6，|CB1 | 5.cosBA1 ， CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 |3010.故 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为3010.(3)证明：依题意得 A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，M(12，12，2)，C1M (12，12，0)，C1N (1,0，1)，BN (1，1,1)，C1M BN 12112(1)010，C1N BN 110(1)(1)10.C1M BN ，C1N BN ，BNC1M，BNC1N，又C1MC1NC1，C1M平面 C1MN，C1N平面 C1MN，BN平面 C1MN.一、选择题一、选择题1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A.y 轴上B.Oxy 平面上C.Oxz 平面上D.第一象限内【答案】C同步练习同步练习【解析】选 C.点(2,0,3)的纵坐标为 0,所以该点在 Oxz 平面上.2.点 P(1,)为空间直角坐标系中的点,过点 P 作 Oxy 平面的垂线,垂足为 Q,则点 Q 的坐标为()A.(0,0,)B.(0,)C.(1,0,)D.(1,0)【答案】D【解析】选 D.由空间点的坐标的定义,知点 Q 的坐标为(1,0).3.点 A(1,2,-1),点 C 与点 A 关于 Oxy 平面对称,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,则的坐标为()A.(1,2,-1)B.(1,-2,1)C.(0,-4,0)D.(0,4,0)【答案】D【解析】选 D.点 A 关于 Oxy 平面对称的点 C 的坐标是(1,2,1),点 A 关于 x 轴对称的点 B 的坐标是(1,-2,1),所以=i-2j+k,=i+2j+k,所以=-=0i+4j+0k,的坐标为(0,4,0).4.三棱锥 PABC 中，ABC 为直角，PB平面 ABC，ABBCPB1，M 为 PC 的中点，N 为 AC 的中点，以BA ，BC ，BP 方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系 Oxyz，则MN 的坐标为(B)A(12，0，12) B(12，0，12)C(12，12，0) D(0，12，12)【答案】B【解析】MN BN BM 12(BA BC )12(BP BC )12BA 12BP (12，0，12)，选 B5.（2021浙江）与向量(2,3,6)a 共线的单位向量是（ ） A2 3 6,7 7 7 B236,777 C236,777和2 3 6,7 7 7D2 3 6,7 7 7和236,777【答案】D【解析】2 3 6(2,3,6)7,7 7 7，236(2,3,6)7,777 ，2222361777，2222361777 ，且23612367777 ，23612367777 ，故与向量2,3,6a 共线的单位向量是2 3 6,7 7 7或236,777，故选：D6.（2021广西钦州市）已知1, 2, 1a ，3, 1bm，若ab，则m等于（ ）A1B2C3D3【答案】B【解析】ab，0a b ，即 1 32110m ，解得：2m .故选：B7.（2021浙江高二单元测试） 已知空间直角坐标系Oxyz中，1,2,3OA uu u r，2,1,2OB uuu r，1,1,2OP uu u r， 点Q在直线OP上运动，则当QA QB 取得最小值时，点Q的坐标为（ ）A1 3 1,2 4 3B1 3 3,2 2 4C4 4 8,3 3 3D4 4 7,3 3 3【答案】C【解析】设( , , )Q x y z，由点Q在直线OP上，可得存在实数使得OQOP ，即( , , )(1,1,2)x y z，可得( , ,2 )Q ,所以(1,2,32 ),(2,1,22 )QAQB ,则2(1)(2)(2)(1)(32 )(22 )2(385)QA QB ，根据二次函数的性质，可得当43时，取得最小值23，此时4 4 8( , )3 3 3Q.故选：C.8 （2021全国高二课时练习） 设, x yR， 向量,1,1 ,1, ,1 ,2, 4,2 ,axbyc且,/ /ac bc， 则ab（ ）A2 2B10C3D4【答案】C【解析】因为/ /bc，所以存在R使得bc，所以12412y ，解得122y ，所以(1, 2,1)b ，因为ac，所以2 10 x ，得1x ，所以(1,1,1)a ，所以(2, 1,2)ab，所以|4 1 43ab .故选：C9 （2021浙江高二单元测试）如图，E为正方体的棱1AA上一点，且1113AEA A，F为棱AD上一点，且190C EF，则:AF FD （ ） A2:7B2:6C1:3D2:5【答案】A【解析】如下图，以D为坐标原点，射线DA，DC，1DD的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2a，则42 ,0,3Eaa，1(0,2 ,2 )Caa，( ,0,0)F x，122 , 2 ,3C Eaaa ，42 ,0,3EFxaa ，190C EF，1C EEF ，即10C E EF ，282 (2 )09a xaa，解得149xa，149FDa，144299AFaaa，:2:7AF FD 故选：A10 （2021安徽省安庆九一六学校高二开学考试（理） ）如图，将边长为 1 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足1122BPBABCBD ，则|BP 的值为（） A32B2C1024D94【答案】A【解析】记正方形的对角线交于O点，连接,AO CO，所以AOBD，因为二面角为直二面角，且COBD，平面CBD平面ABDBD，所以CO 平面ABD，建立空间直角坐标系如下图所示：所以2222,0,0 ,0,0 ,0,0,0,02222ABCD，所以2222,0 ,0,0,2,02222BABCBD ，因为1122BPBABCBD ，所以22,2,44BP ，所以222223+2+=442BP ，故选：A.二、多选题二、多选题1 （2021江苏）已知向量a bb ca c ，3,0, 1b ，1,5, 3c ， 下列等式中正确的是（ ）Aa b cb c Babcabc C2222abcabcDabcabc【答案】BCD【解析】由题3030b c ，所以0a bb ca c ，0,0a b cb c 不相等，所以 A 选项错误；0abcabca bb ca ba c ，所以abcabc ，所以 B 选项正确；2222222222abcabca bb ca cabc ，所以 C 选项正确；2222222222abcabca bb ca cabc ，即22abcabc，abcabc，所以 D 选项正确.故选：BCD2.（2020全国高二课时练习）已知(1,2,),( ,1,2)ay bx，且2ab2ab，则（ ）Ax13 Bx12 Cy14 Dy4【答案】BD【解析】因为(1,2,),( ,1,2)ay bx，所以2(12 ,4,4)abxy，2(2,3, 22)abxy，因为 2ab2ab，所以 3(12x)4(2x)且 3(4y)4(2y2)，所以 x12，y4故选：BD三、填空题三、填空题1.已知 A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段 AB 中点的坐标为. 【答案】(4,0,-1)【解析】设中点坐标为(x0,y0,z0),则 x0=4,y0=0,z0=-1,所以中点坐标为(4,0,-1).2.（2021江苏无锡市高二期末）已知空间向量23,2,3amn，21,32,6bmn，若/ /ab，则2mn_.【答案】13【解析】因为23,2,3amn，21,32,6bmn，且/a brr所以存在，使得ab=，所以23,2,321,32,6mnmn即232123236mmnn解得72612mn所以213mn故答案为：133 （2020全国高二课时练习） 若AB (4， 6， 1)，AC(4， 3， 2)，1a ， 且aAB ，aAC， 则a_【答案】34 12(,)13 13 13或3412(,)131313【解析】解：设a(x，y，z)，由题意有2224604320|1a ABxyza ACxyzaxyz ，解得3,134121313xyx或3134,1312.13xyx 故答案为：34 12(,)13 13 13或3412(,)1313134 （2021全国高二课时练习）已知点(1,2,3)A，(2,1,2)B，(1,1,2)P，(0,0,0)O，点Q在直线OP上运动，当QA QB 取得最小值时，点Q的坐标为_.【答案】4 4 83 3()3,【解析】根据题意，点Q在直线OP上运动，(1OP ，1，2)；设(Q t，t，2 ) t，(1QA QBAQ BQt ，2t ，23) (2tt，1t ，22)t (1)(2)(2)(1)(23)(22)tttttt261610tt，当164263t 时，QAQB 取得最小值此时点Q的坐标是4(3，43，8)3，故答案为：4 4 8,3 3 35 （2021浙江高二单元测试）已知3, 2, 3 ,1,1,1abx rr，且a与b夹角为钝角，则 x 的取值范围为_【答案】55233，【解析】由题可知0a bab ，即4203, 2, 31,1,1xx ，解得2x 且53x .故答案为：55233，6 （2021陕西宝鸡市） 在空间直角坐标系Oxyz中， 已知( 1,0,2)A ，(0,1, 1)B， 点,C D分别在x轴，y轴上，且ADBC，那么CD的最小值是_.【答案】2【解析】设(C x，0，0)，(0D，y，0)，( 1A ，0，2)，(0B，1，-1)，(1, , 2)ADy，( , 1,1)BCx，ADBC，20AD BCxy，即2xy(, ,0)CDx y ，22|CDxy22(2+ )yy2244yy22( +1)2y2 （当1y 时取最小值）故答案为：2四、解答题四、解答题1.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，|AB|4，|AD|3，|AA1|5，N 为棱 CC1的中点，分别以 AB，AD，AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(1)求点 A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点 N 的坐标【答案】见解析【解析】(1)由题意知，A(0,0,0)由于点 B 在 x 轴的正半轴上，且 AB4，所以 B(4,0,0)同理可得 D(0,3,0)，A1(0,0,5)由于点 C 在坐标平面 xOy 内，且 BCAB，CDAD，所以 C(4,3,0)同理可得 B1(4,0,5)，D1(0,3,5)与点 C 的坐标相比，点 C1的坐标只有竖坐标与点 C 不同，且 CC1AA15，所以 C1(4,3,5)(2)由(1)知，C(4,3,0)，C1(4,3,5)，则 CC1的中点 N 的坐标为(4,3，52)2 （2021铅山县第一中学高二开学考试（理） ）已知向量1,1,0a ，1,0,2b .（1）若/ / 2akbab，求实数k；（2）若向量kab与2ab所成角为锐角，求实数k的范围.【答案】 （1）12； （2）1k k 且12k.【解析】 （1）由已知可得，1,1,2akbkk，21,2,2ab，因为/ / 2akbab，所以112122kk，可得12k . （2）由（1）知，1,1,2akbkk，21,2,2ab，因为向量kab与2ab所成角为锐角，所以 21,1,21,2,2akbabkk1240kk ，解得1k ， 又当12k 时， 2akbab，可得实数k的范围为1k k 且12k.3 （2021浙江高二单元测试） 如图， 建立空间直角坐标系Oxyz.单位正方体ABCDABCD顶点 A 位于坐标原点，其中点(1,0,0)B，点(0,1,0)D，点(0,0,1)A.（1）若点 E 是棱BC的中点，点 F 是棱B B的中点，点 G 是侧面kg的中心，则分别求出向量OE，OG，FG.的坐标；（2）在（1）的条件下，分别求出()OEOGFG；|EG 的值.【答案】 （1）11,12OE ；11,1,22OG；1,1,02FG ； （2）3()4OEOGFG ；3|2EG .【解析】 （1）因为点 E 是棱BC的中点，点 F 是棱B B的中点，点 G 是侧面kg的中心，可得1111(0,0,0),1,1 ,1,0,1,2222OEFG，所以11,12OE ；11,1,22OG；1,1,02FGOGOF ；（2）由（1）可得3 3 3131333(),1,0102 2 2222224OEOGFG ；又由1 11,2 22EG ，所以2221113|2222EG .3.（2021浙江高二单元测试）已知空间三点 A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)若3a ，且a分别与AB ，AC垂直，求向量a的坐标；(2)若AP BC ，且2 14 AP，求点 P 的坐标【答案】 （1）1,1,1或1, 1, 1 ； （2）6, 2,1或6,6,5【解析】(1)AB =（2，1，3） ，AC=（1，3，2） 设a=（x，y，z） ，|a|=3，且a分别与AB 、AC垂直，2223230320 xyzxyzxyz，解得111xyz，或111xyz a=（1，1，1） ，a （1，1，1） (2)因为AP BC ，所以可设 APBCR因为BC (3，2，1)，所以AP (3，2，)又因为2 14 AP，所以222322 14 ，解得 2.所以AP (6，4，2)或AP (6,4,2)设点 P 的坐标为(x，y，z)，则AP (x，y2，z3)所以6,24,32xyz 或6,24,32.xyz 解得6,2,1xyz 或6,6,5.xyz 故所求点 P 的坐标为(6，2,1)或(6,6,5)4 （2021全国高二课时练习）如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱 AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.（1）求BN的长； （2）求 cos的值； （3）求证：A1BC1M. 【答案】 （1）3； （2）13010； （3）证明见解析.【解析】以C为原点，1CA,CB,CC分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.（1）则(0,1,0),(1,0,1)BN，1, 1,1BN|3BN；（2）则11(1,0,2)(0,1,0),(0,0,0),(0,1,2)ABCB，11(1, 1,2),(0,1,2)BACB，11113,6,5BA CBBACB ， cos 11BA CB =111113010BA CBBACB .（3）则11 1(0,0,2),22 2CM，111 1( 1,1, 2),02 2ABC M ，11110022AB C M uuu r uuuu r，11ABC Muuu ruuuu r，A1BC1M.