1.4.1.2 空间向量的平行关系辅导讲义-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

知识点一知识点一 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示点 P 的位置向量在空间中， 取一定点 O 作为基点， 那么空间中任意一点 P 可以用向量OP 表示， 我们把向量OP 称为点 P 的位置向量.空间直线的向量表示式a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取AB a，取定空间中的任意一点 O，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使OP OA ta，也可以表示为OP OA tAB .这两个式子称为空间直线的向量表示式.空间平面 ABC的向量表示式设两条直线相交于点 O，它们的方向向量分别为 a 和 b，P 为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OP xayb.那么取定空间任意一点 O，可以得到，空间一点 P 在平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使OP OA xAB yAC ，这就是空间平面 ABC 的向量表示式.知识点二知识点二 直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个(2)平面的法向量：直线 l，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 的法向量知识点三知识点三 间中平行关系的向量表示间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线 l1，l2的方向向量分别为 u1(a1，b1，c1)，u2(a2，b2，c2)，则 l1l2u1u2(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)线面平行设 l 的方向向量为 u(a1，b1，c1)， 的法向量为 n(a2，b2，c2)，则 lun0a1a2b1b2c1c20面面平行设 ， 的法向量分别为 n1(a1，b1，c1)，n2(a2，b2，c2)，则 n1n2(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)考点一考点一 求平面的法向量求平面的法向量例例 1： 四边形 ABCD 是直角梯形， ABC90， SA平面 ABCD， SAABBC2， AD1.在如图所示的坐标系 Axyz中，分别求平面 SCD 和平面 SAB 的一个法向量 空间向量的平行关系空间向量的平行关系知识讲解知识讲解典型例题典型例题考点二考点二 利用空间向量证明线线平行利用空间向量证明线线平行例例 2：(1)已知 a(1,0,2)，b(6,21,2)，若 ab，则 与 的值可以是()A2，12 B13，12 C3,2 D2,2考点三考点三 利用空间向量证线面、面面平行利用空间向量证线面、面面平行例 3：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 CC1，B1C1的中点求证：MN平面 A1BD.一、选择题一、选择题1若直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，则能使 l 的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)2.平面 的法向量 u(x,1，2)，平面 的法向量 v21,1-y，已知 ，则 xy()A154 B174 C3 D523下列命题中，正确的个数有( )(1)直线 l 的方向向量是唯一的；(2)若点 A、B 是平面 上的任意两点，n 是平面 的法向量，则AB n0；(3)若向量 n1、n2为平面 的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行；(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4已知点 A(4,1,3)、B(2，5,1)，C 为线段 AB 上一点且|AC |AB |13，则点 C 的坐标为( )A(72，12，52) B(38，3，2) C(103，1，73) D(52，72，32)5已知平面 内有一个点 A(2，1,2)， 的一个法向量为 n(3,1,2)，则下列点 P 中，在平面 内的是()A11-1， B2331 ， C233-1， D23-3-1-，6.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，以 D 为原点建立空间直角坐标系，E 为 BB1的中点，F 为 A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面 AEF 的法向量的是()A(1，2,4) B(4,1，2) C(2，2,1) D(1,2，2)同步练习同步练习7已知平面 的法向量为 n(2，2,4)，AB (1,1，2)，则直线 AB 与平面 的位置关系为( )AAB BAB CAB 与 相交但不垂直 DAB8已知线段AB的两端点坐标为9, 3,4A，9,2,1B，则直线AB（ ）A与坐标平面xOy平行 B与坐标平面yOz平行 C与坐标平面xOz平行 D与坐标平面yOz相交9如图，在三棱锥 ABCD 中，DA、DB、DC 两两垂直，且 DBDC，E 为 BC 中点，则AE BC 等于( ) A0 B1 C2 D310已知AB (1,5，2)，BC (3,1，z)，若AB BC ，BP (x1，y，3)，且 BP平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为( )A337，157，4 B407，157，4 C407，2,4 D4，407，15二、多选题二、多选题1下面各组向量为直线 l1与 l2方向向量，则 l1与 l2平行的是()Aa(1,2，2)、b(2，4,4)Ba(1,0,0)、b(3,0,0)Ca(2,3,0)、b(4,6,0)Da(2,3,5)、b(4,6,8)2对于任意空间向量 a(a1，a2，a3)、b(b1，b2，b3)，则下列说法正确的是()Aaba1b1a2b2a3b3B若 a1a2a31，则 a 为单位向量Caba1b1a2b2a3b30D若 a 为平面 的法向量，则向量(ka1，ka2，ka3)(k 为非零实数)，也为平面 的法向量3在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(1,2,3)，B(0，2,4)，C(2,1,2)，若存在一点 P，使得 CP平面 OAB，则 P点坐标可能为()A(12，3,0) B(7,2，4) C(6,3,5) D(5，1,1)4在菱形 ABCD 中，若PA 是平面 ABCD 的法向量，则以下等式中一定成立的是( )APA AB 0 BPC BD 0 CPC AB 0 DPA CD 05.已知直线 l1的方向向量是 a(2,4， x)， 直线 l2的方向向量是 b(2， y,2) 若|a|6， 且 ab0， 则 xy 的值是( )A1 B3 C3 D1三、填空题三、填空题1已知直线 l 的方向向量为 u(2,0，1)，平面 的一个法向量为 v(2,1，4)，则 l 与 的位置关系为_2已知ABC 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，其中BA (1，m,2)，BC (2，m，n)(m，nR)，则 mn_3已知 A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)，点 P(x,0，z)，若 PA平面 ABC，则点 P 的坐标为_4如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，PD底面 ABCD，且 PD1，若点 E，F 分别为 PB，AD 的中点，则直线 EF 与平面 PBC 的位置关系是_ 5如图所示，已知矩形 ABCD，AB1，BCa，PA平面 ABCD，若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQQD，则 a 的值等于_6平面的一个法向量为,2 ,100mkk，直线l的一个方向向量为, 1,0nk，若/l，则k _.四、解答题四、解答题1.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 DD1和 BB1的中点求证：四边形 AEC1F 是平行四边形 2如图，已知 P 是正方形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 PA、BD 上的点，且 PM MABN ND5 8求证：直线 MN平面 PBC3如图所示，在直三棱柱111ABCABC中，ABBC，12,1,ABBCBBE为1BB的中点，证明：平面1AEC 平面11AAC C. 4已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，ABAD12BC，将直角梯形 ABCD(及其内部)以 AB 所在直线为轴顺时针旋转 90，形成如图所示的几何体，其中 M 为CE的中点(1)求证：BMDF；(2)求异面直线 BM 与 EF 所成角的大小 5如图，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，2APAB，,E F G是,BC PC CD的中点.（1）求证：BG 平面PAE；（2）在线段BG上是否存在点H，使得/ /FH平面PAE？若存在，求出BHBG的值；若不存在，说明理由. 知识点一知识点一 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示点 P 的位置向量在空间中， 取一定点 O 作为基点， 那么空间中任意一点 P 可以用向量OP 表示， 我们把向量OP 称为点 P 的位置向量.空间直线的向量表示式a 是直线 l 的方向向量，在直线 l 上取AB a，取定空间中的任意一点 O，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使OP OA ta，也可以表示为OP OA tAB .这两个式子称为空间直线的向量表示式.空间平面 ABC的向量表示式设两条直线相交于点 O，它们的方向向量分别为 a 和 b，P 为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OP xayb.那么取定空间任意一点 O，可以得到，空间一点 P 在平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使OP OA xAB yAC ，这就是空间平面 ABC 的向量表示式.知识点二知识点二 直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个(2)平面的法向量：直线 l，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 的法向量知识点三知识点三 间中平行关系的向量表示间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线 l1，l2的方向向量分别为 u1(a1，b1，c1)，u2(a2，b2，c2)，则 l1l2u1u2(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)线面平行设 l 的方向向量为 u(a1，b1，c1)， 的法向量为 n(a2，b2，c2)，则 lun0a1a2b1b2c1c20面面平行设 ， 的法向量分别为 n1(a1，b1，c1)，n2(a2，b2，c2)，则 n1n2(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)考点一考点一 求平面的法向量求平面的法向量例例 1： 四边形 ABCD 是直角梯形， ABC90， SA平面 ABCD， SAABBC2， AD1.在如图所示的坐标系 Axyz中，分别求平面 SCD 和平面 SAB 的一个法向量 空间向量的平行关系空间向量的平行关系知识讲解知识讲解典型例题典型例题【答案】见解析【解析】A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)AD平面 SAB，AD (1,0,0)是平面 SAB 的一个法向量设平面 SCD 的法向量为 n(1，y，z)，则 nDC (1，y，z)(1,2,0)12y0，y12.又 nDS (1，y，z)(1,0,2)12z0，z12.n(1，12，12)即为平面 SCD 的一个法向量考点二考点二 利用空间向量证明线线平行利用空间向量证明线线平行例例 2：(1)已知 a(1,0,2)，b(6,21,2)，若 ab，则 与 的值可以是()A2，12 B13，12 C3,2 D2,2【答案】A【解析】若 ab，则 210 且1622，解得 12且 2 或 3，故选 A.考点三考点三 利用空间向量证线面、面面平行利用空间向量证线面、面面平行例 3：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 CC1，B1C1的中点求证：MN平面 A1BD.【答案】见解析【解析】如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M(0，1，12)，N(12，1，1)，于是DA1 (1,0,1)，DB (1,1,0)，MN (12，0，12).设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)，则Error!即Error!取 x1，则 y1，z1，平面 A1BD 的一个法向量为 n(1，1，1)又MN n(12，0，12)(1，1，1)0，MN n.MN平面 A1BD.一、选择题一、选择题1若直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，则能使 l 的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)【答案】【答案】D【解析】若 l，则 an0.而 A 中 an2，B 中 an156，C 中 an1，只有 D 选项中 an330.故选 D.同步练习同步练习2.平面 的法向量 u(x,1，2)，平面 的法向量 v21,1-y，已知 ，则 xy()A154 B174 C3 D52【答案】【答案】A【解析】由题意知，uv，即Error!解得 4，y14，x4，xy414154.3下列命题中，正确的个数有( )(1)直线 l 的方向向量是唯一的；(2)若点 A、B 是平面 上的任意两点，n 是平面 的法向量，则AB n0；(3)若向量 n1、n2为平面 的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行；(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】【答案】C【解析】只有错误，其余都正确4已知点 A(4,1,3)、B(2，5,1)，C 为线段 AB 上一点且|AC |AB |13，则点 C 的坐标为( )A(72，12，52) B(38，3，2) C(103，1，73) D(52，72，32)【答案】【答案】C【解析】C 在线段 AB 上，AC AB ，设 C(x，y，z)，则由|AC |AB |13得，(x4，y1，z3)13(24，51，13)，即Error!，解得Error!故选 C5已知平面 内有一个点 A(2，1,2)， 的一个法向量为 n(3,1,2)，则下列点 P 中，在平面 内的是()A11-1， B2331 ， C233-1， D23-3-1-，【答案】【答案】B【解析】对于 B，AP (1，4，12)，则 nAP (3,1,2)(1，4，12)0，nAP ，则点 P(1，3，32)在平面 内6.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，以 D 为原点建立空间直角坐标系，E 为 BB1的中点，F 为 A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面 AEF 的法向量的是()A(1，2,4) B(4,1，2) C(2，2,1) D(1,2，2)【答案】【答案】B【解析】设正方体棱长为 2，则 A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)，AE (0,2,1)，AF (1,0,2)设向量 n(x，y，z)是平面 AEF 的一个法向量则Error!，取 y1，得 x4，z2，n(4,1，2)是平面 AEF 的一个法向量因此，只有 B 选项的向量是平面 AEF 的法向量，故选 B.7已知平面 的法向量为 n(2，2,4)，AB (1,1，2)，则直线 AB 与平面 的位置关系为( )AAB BAB CAB 与 相交但不垂直 DAB【答案】【答案】A【解析】平面 的法向量为 n(2，2,4)，AB (1,1，2)，n2AB ，nAB ，AB ，即直线 AB 与平面 垂直故选 A8已知线段AB的两端点坐标为9, 3,4A，9,2,1B，则直线AB（ ）A与坐标平面xOy平行 B与坐标平面yOz平行 C与坐标平面xOz平行 D与坐标平面yOz相交【答案】B【解析】因为9, 3,4A，9,2,1B，所以0,5, 3AB ，而坐标平面yOz的法向量为1,0,0，显然 0,5, 31,0,00，故直线AB与坐标平面yOz平行.故选:B.9如图，在三棱锥 ABCD 中，DA、DB、DC 两两垂直，且 DBDC，E 为 BC 中点，则AE BC 等于( ) A0 B1 C2 D3【答案】【答案】A【解析】如图，建立空间直角坐标系，设 DCDBa，DAb，则 B(a,0,0)、C(0，a,0)、A(0,0，b)，E(a2，a2，0)，所以BC (a，a,0)，AE (a2，a2，b)，AE BC a22a220010已知AB (1,5，2)，BC (3,1，z)，若AB BC ，BP (x1，y，3)，且 BP平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为( )A337，157，4 B407，157，4 C407，2,4 D4，407，15【答案】【答案】B【解析】AB BC ，AB BC 0，即 352z0，得 z4，又 BP平面 ABC，BP AB ，BP BC ，则Error!解得Error!二、多选题二、多选题1下面各组向量为直线 l1与 l2方向向量，则 l1与 l2平行的是()Aa(1,2，2)、b(2，4,4)Ba(1,0,0)、b(3,0,0)Ca(2,3,0)、b(4,6,0)Da(2,3,5)、b(4,6,8)【答案】【答案】ABC【解析】l1与 l2不平行则其方向向量一定不共线A 中：b2a，B 中：b3a，C 中：b2a故选 ABC2对于任意空间向量 a(a1，a2，a3)、b(b1，b2，b3)，则下列说法正确的是()Aaba1b1a2b2a3b3B若 a1a2a31，则 a 为单位向量Caba1b1a2b2a3b30D若 a 为平面 的法向量，则向量(ka1，ka2，ka3)(k 为非零实数)，也为平面 的法向量【答案】【答案】CD【解析】由a1b1a2b2a3b3ab，反之不一定成立，故 A 不正确；B 显然错误；CD 是正确的，故选 CD3在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(1,2,3)，B(0，2,4)，C(2,1,2)，若存在一点 P，使得 CP平面 OAB，则 P点坐标可能为(AD)A(12，3,0) B(7,2，4) C(6,3,5) D(5，1,1)【答案】【答案】AD【解析】设 P(x，y，z)，由 CP平面 OAB，可得 CPOA，CPOB，即Error!可得Error!将四个选项代入检验可得正确选项将(12，3,0)代入满足方程组，所以选项 A 正确；将(7,2，4)代入不满足方程组，所以 B 不正确；将(6,3,5)代入不满足方程组，所以 C 不正确；将(5，1,1)代入不满足方程组，所以 D 不正确故选 AD4在菱形 ABCD 中，若PA 是平面 ABCD 的法向量，则以下等式中一定成立的是(ABD)APA AB 0 BPC BD 0 CPC AB 0 DPA CD 0【答案】【答案】ABD【解析】PA平面 ABCD，BDPA又 ACBD，ACPAA，BD平面 PAC，PC平面 PAC，PCBD故 ABD 成立5.已知直线 l1的方向向量是 a(2,4， x)， 直线 l2的方向向量是 b(2， y,2) 若|a|6， 且 ab0， 则 xy 的值是( )A1 B3 C3 D1【答案】【答案】CD【解析】由题意知|a| 2242x26，解得 x4，由 ab44y2x0 得，x2y2当 x4 时，y3，所以 xy1当 x4 时，y1，所以 xy3综上，xy3 或 1三、填空题三、填空题1已知直线 l 的方向向量为 u(2,0，1)，平面 的一个法向量为 v(2,1，4)，则 l 与 的位置关系为_【答案】【答案】l 或 l【解析】uv2(2)01(1)(4)0，l 或 l2已知ABC 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，其中BA (1，m,2)，BC (2，m，n)(m，nR)，则 mn_【答案】【答案】-1【解析】由题意得BA BC 0，且|BA |BC |，所以Error!所以Error!所以 mn13已知 A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)，点 P(x,0，z)，若 PA平面 ABC，则点 P 的坐标为_【答案】【答案】(1,0,2)【解析】由题意得PA (x,1，z)，AB (1，1，1)，AC (2,0,1)，由PA AB ，得PA AB x1z0，由PA AC ，得PA AC 2xz0，解得Error!故点 P 的坐标为(1,0,2)4如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，PD底面 ABCD，且 PD1，若点 E，F 分别为 PB，AD 的中点，则直线 EF 与平面 PBC 的位置关系是_ 【答案】垂直【答案】垂直【解析】以 D 为原点，DA，DC，DP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，E(12，12，12)，F(12，0，0)，EF (0，12，12)，PB (1,1，1)，CP (0，1,1)，设平面 PBC 的一个法向量 n(x，y，z)，则 nPB 0，nCP 0，即Error!取 y1，则 z1，x0，n(0,1,1)EF 12n，EF n，EF面 PBC5如图所示，已知矩形 ABCD，AB1，BCa，PA平面 ABCD，若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQQD，则 a 的值等于_ 【答案】【答案】2【解析】以 A 为原点，建立如图所示坐标系，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，设 Q(1，x,0)，P(0,0，z)，PQ (1，x，z)，QD (1，ax,0)由PQ QD 0，得1x(ax)0，即 x2ax10当 a240，即 a2 时，点 Q 只有一个6平面的一个法向量为,2 ,100mkk，直线l的一个方向向量为, 1,0nk，若/l，则k _.【答案】0 或 2【解析】由题,因为/ /l,则mn,即220m nkk ,解得2k 或0k ,故答案为：0或2四、解答题四、解答题1.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 DD1和 BB1的中点求证：四边形 AEC1F 是平行四边形 【答案】见解析【答案】见解析【解析】以点 D 为坐标原点，分别以DA ， DC ，DD1 为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)，E(0，0，12)，C1(0,1,1)，F(1，1，12)，AE (1，0，12)，FC1 (1，0，12)，EC1 (0，1，12)，AF (0，1，12)，AE FC1 ，EC1 AF ，AE FC1 ，EC1 AF ，又FAE，FEC1，AEFC1，EC1AF，四边形 AEC1F 是平行四边形.2如图，已知 P 是正方形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 PA、BD 上的点，且 PM MABN ND5 8求证：直线 MN平面 PBC【答案】见解析【答案】见解析【解析】MN MP PB BN PM PB BN 513PA PB 513BD 513(BA BP )PB 513(BA BC )513BP BP 513BC 513BC 813BP ，MN 与BC 、BP 共面，MN 平面 BCP，MN平面 BCP，MN平面 BCP3如图所示，在直三棱柱111ABCABC中，ABBC，12,1,ABBCBBE为1BB的中点，证明：平面1AEC 平面11AAC C. 【答案】见解析【答案】见解析【解析】证明：由题意得1,AB BC B B两两垂直，以点B为坐标原点，1,BA BC BB所在直线分别为, ,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.可得：11(2,0,0),(2,0,1),(0,2,0),(0,2,1)AACC，10,0,2E，则111(0,0,1),( 2,2,0),( 2,2,1),2,0,2AAACACAE .设平面11AAC C的法向量为1111,nx yz，则1110,0,nAAnAC即1110,220,zxy令11x ，得11y ，1(1,1,0)n.设平面1AEC的法向量为2222,nxyz，则2120,0,nACnAE 即22222220,120,2xyzxz令24z ，得221,1xy ，2(1, 1,4)n.12121 1 1 ( 1)0 40,n nnn ，平面1AEC 平面11AAC C.4已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，ABAD12BC，将直角梯形 ABCD(及其内部)以 AB 所在直线为轴顺时针旋转 90，形成如图所示的几何体，其中 M 为CE的中点(1)求证：BMDF；(2)求异面直线 BM 与 EF 所成角的大小 【答案】见解析【答案】见解析【解析】(1)ABBC，ABBE，BCBEB，AB平面 BCE，以 B 为原点，以 BE，BC，BA 为坐标轴建立空间坐标系 Bxyz，如图所示：设 ABAD1，则 D(0,1,1)，F(1,0,1)，B(0,0,0)，M( 2，2，0)，BM ( 2，2，0)，DF (1，1,0)，BM DF 2 200，BMDF(2)E(2,0,0)，故EF (1,0,1)，cosBM ， EF BM EF |BM |EF | 22 212，设异面直线 BM 与 EF 所成角为 ，则 cos |cosBM ， EF |12，故 35如图，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，2APAB，,E F G是,BC PC CD的中点.（1）求证：BG 平面PAE；（2）在线段BG上是否存在点H，使得/ /FH平面PAE？若存在，求出BHBG的值；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）证明见解析； （2）存在，35.【解析】 （1）证明：因为四棱锥PABCD底面是正方形，且PA平面ABCD，以点A为坐标原点，,AB AD AP.所在直线分别为, ,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),ABP，(2,2,0),(0,2,0)CD，因为,E F G是,BC PC CD的中点，所以(2,1,0),(1,1,1),(1,2,0)EFG，所以( 1,2,0)BG ，(0,0,2),(2,1,0),APAE 所以0BG AP ，且0BG AE . 所以BGAP，BGAE，且AEAPAI.所以BG平面PAE. （2）假设在线段BG上存在点H，使得FH/平面PAE. 设BHBG(01)， 则(1,21, 1)FHFBBHABAFBG .因为FH/平面PAE，BG平面PAE，所以( 1) (12(21)0 ( 1)530FH GB . 所以35. 所以，在线段BG上存在点H，使得FH/平面PAE.其中35BHBG.