3.1.1 椭圆及其标准方程-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

椭圆的方程椭圆的方程要点一、椭圆的定义要点一、椭圆的定义1.椭圆的定义椭圆的定义：平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF，这个动点P的轨迹叫椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 若)(2121FFPFPF，P的轨迹为线段21FF；若)(2121FFPFPF，P的轨迹无图形第二定义：第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e的动点 M 的轨迹叫椭圆椭圆的范围椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线 x=a 和 y=b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|a，|y|b.椭圆的对称性椭圆的对称性椭圆22221xyab是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。椭圆的顶点椭圆的顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆22221xyab（ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1（a，0） ，A2（a，0） ，B1（0，b） ，B2（0，b） 。线段 A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。要点二、椭圆的标准方程要点二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：1.当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0( ba，其中222bac；2.当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0( ba，其中222bac；要点诠释：要点诠释：1.椭圆上一点到焦点的最小距离为：a-c，最大距离为：a+c；2.椭圆的焦点总在长轴上，当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为( ,0)c，(,0)c； 当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0, )c，(0,)c；3. 在两种标准方程中，a2b2，可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.要点三、求椭圆的标准方程要点三、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数 a,b，即：“先定型，再定量”.由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221 ( ,0mn)mxnym n且.（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.【典型例题】【典型例题】类型一：椭圆的定义类型一：椭圆的定义例例 1. 若一个动点 P（x，y）到两个定点 A（1，0） 、A （1，0）的距离的和为定值 m（m0） ，试求 P点的轨迹方程。举一反三：举一反三：【变式 1】设椭圆22221(ab0)xyab的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 B。若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的方程是（ ）A.22143xy B.2213xy C.2212xy D.2214xy【变式 2】已知 B（-2,0），C（2,0），A 为动点，ABC的周长为 10，则动点 A 的满足的方程为（ ）A.22165xy B.22195xy C. 22194xy D. 22184xy【变式 3】设动圆P与圆22:(3)4Mxy外切，与22:(3)100Nxy内切，求动圆圆心P的轨迹方程.类型二：椭圆的标准方程类型二：椭圆的标准方程例例 2. 椭圆22110036xy的焦距是 ，焦点坐标是 ；若 AB 为过椭圆的一个焦点 F1的一条弦，F2为另一个焦点，则2ABF的周长是 .举一反三：举一反三：【变式 1】方程2212516xymm表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_【变式 2】已知椭圆的标准方程是222125xya(a5)，它的两焦点分别是 F1，F2，且 F1F28，弦 AB 过点 F1，则ABF2的周长为_【变式 3】已知曲线 C 的方程为221xyab，则“ab”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ）A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件例例 3.当39k时，指出方程22193xykk所表示的曲线.举一反三：举一反三：【变式 1】如果方程222(0)xkyk表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是 类型三：求椭圆标准方程类型三：求椭圆标准方程例例 4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（4，0） 、 （4，0） ，椭圆上一点 P 到两焦点距离的和是 10； （2）两个焦点的坐标是（0，2） 、 （0，2） ，并且椭圆经过点3 5(, )2 2举一反三：举一反三：【变式 1】已知椭圆的焦点是 F1(0，1)、F2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且 PF1PF22F1F2，则椭圆的标准方程是_例例 5. 求经过点 P（3，0） 、Q（0，2）的椭圆的标准方程。举一反三：举一反三：【变式 1】已知椭圆的中心在原点，经过点 P（3，0）且 a=3b，求椭圆的标准方程。类型四：椭圆的综合问题类型四：椭圆的综合问题例例 6.设 F1、F2是椭圆22194xy的两个焦点，P 是椭圆上的点，且 PF1PF221，则PF1F2的面积等于_举一反三：举一反三：【变式 1】已知 P 为椭圆221169xy上的一点，12,F F是两个焦点，1260OFPF，求12FPF的面积.类型五：坐标法的应用类型五：坐标法的应用例例 7ABC 的两个顶点坐标分别是 B（0，6）和 C（0，6） ，另两边 AB、AC 的斜率的乘积是49，求顶点 A 的轨迹方程。举一反三：举一反三：【变式 1】已知 A、B 两点的坐标分别为（0，5）和（0，5） ，直线 MA 与 MB 的斜率之积为49，则 M 的轨迹方程是（ ）A221100259xy B221(5)100259xyx C221225254xy D221(0)225254xyx【变式 2】如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为 2，从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段PP，求线段 PP中点 M 的轨迹【巩固练习】【巩固练习】一、一、选择题选择题1.如果方程22216xyaa表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是（ ）A3a B2a C 3a 或2a D3a 或62a 2.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点最短距离为3，则这个椭圆的方程为（ ）A221129xy B221912xy C221129xy或221912xy D以上都不对3.直线1ykx与椭圆2215xym总有公共点，则 m 的取值范围是（ ）A1m B1m 或01m C 1m 且5m D05m且1m 4.设 P 是椭圆2212516xy上的点，若12,FF是椭圆的两个焦点，则12|PFPF等于（ ）A.4 B.5 C.8 D.105. “ab0”是“方程 ax2+by2=1 表示椭圆的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6.若椭圆的2221kxky的一个焦点为（0，-4） ，则 k 的值为（ ）A132 B18 C8 D32二、二、填空题填空题7设 F1，F2分别是椭圆 E： x222by1(0b1)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A、B 两点，若|AF1|3|F1B|，AF2x 轴，则椭圆 E 的方程为 8已知椭圆2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆在 y 轴上的一个顶点，若 2b，12|FF ，2a 成等差数列，且PF1F2的面积为 12，则椭圆 C 的方程为_9已知椭圆221169xy的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是椭圆上的一点，Q 是 PF1的中点，若 OQ1，则 PF1_.10.椭圆221xymn (mn0)的焦点坐标是_三、解答题三、解答题11ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为 30，求此三角形重心G和顶点A的轨迹12已知圆 C：(x3)2y2100 及点 A(3,0)，P 是圆 C 上任意一点，线段 PA 的垂直平分线 l 与 PC相交于点 Q，求点 Q 的轨迹方程13. 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程椭圆的方程椭圆的方程要点一、椭圆的定义要点一、椭圆的定义1.椭圆的定义椭圆的定义：平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF，这个动点P的轨迹叫椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 若)(2121FFPFPF，P的轨迹为线段21FF；若)(2121FFPFPF，P的轨迹无图形第二定义：第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e的动点 M 的轨迹叫椭圆椭圆的范围椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线 x=a 和 y=b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|a，|y|b.椭圆的对称性椭圆的对称性椭圆22221xyab是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。椭圆的顶点椭圆的顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆22221xyab（ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1（a，0） ，A2（a，0） ，B1（0，b） ，B2（0，b） 。线段 A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。要点二、椭圆的标准方程要点二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：1.当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0( ba，其中222bac；2.当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0( ba，其中222bac；要点诠释：要点诠释：1.椭圆上一点到焦点的最小距离为：a-c，最大距离为：a+c；2.椭圆的焦点总在长轴上，当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为( ,0)c，(,0)c； 当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0, )c，(0,)c；3. 在两种标准方程中，a2b2，可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.要点三、求椭圆的标准方程要点三、求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：（1）待定系数法：若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数 a,b，即：“先定型，再定量”.由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：221 ( ,0mn)mxnym n且.（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.【典型例题】【典型例题】类型一：椭圆的定义类型一：椭圆的定义例例 1. 若一个动点 P（x，y）到两个定点 A（1，0） 、A （1，0）的距离的和为定值 m（m0） ，试求 P点的轨迹方程。【解析】|PA|+|PA|=m，|AA|=2，|PA|+|PA|AA|，（1）当 0m|BC|点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆（除去与 B、C 共线二顶点） ，且 2a=6,c=2,b2=a2-c2=5,顶点 A 的轨迹方程为221(x3)95xy 【变式 3】设动圆P与圆22:(3)4Mxy外切，与22:(3)100Nxy内切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】2213627xy类型二：椭圆的标准方程类型二：椭圆的标准方程例例 2. 椭圆22110036xy的焦距是 ，焦点坐标是 ；若 AB 为过椭圆的一个焦点 F1的一条弦，F2为另一个焦点，则2ABF的周长是 .【解析】由椭圆方程知22100,36ab22264cab，8, 216cc，两焦点为12( 8,0),(8,0)FF又因为三角形的周长为:22|ABAFBF=22440aaa举一反三：举一反三：【变式 1】方程2212516xymm表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_【答案】92m25m，即 m92，又因为 b225m0，故 m5)，它的两焦点分别是 F1，F2，且 F1F28，弦 AB 过点 F1，则ABF2的周长为_【答案】4 41【解析】因为 F1F28，即即所以 2c8，即 c4，所以 a2251641，即41a ，所以ABF2的周长为 4a4 41.【变式 3】已知曲线 C 的方程为221xyab，则“ab”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ）A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】C例例 3.当39k时，指出方程22193xykk所表示的曲线.【解析】39k90-30kk且（1）若 9-kk-3，即36k时，则方程表示焦点在 x 轴上的椭圆；（2）若 9-k=k-3，即 k=6 时，方程表示圆223xy；（3）若 9-kk-3, 即69k时，则方程表示焦点在 y 轴上的椭圆.举一反三：举一反三：【变式 1】如果方程222(0)xkyk表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是 【答案】01k类型三：求椭圆标准方程类型三：求椭圆标准方程例例 4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（4，0） 、 （4，0） ，椭圆上一点 P 到两焦点距离的和是 10； （2）两个焦点的坐标是（0，2） 、 （0，2） ，并且椭圆经过点3 5(, )2 2【解析】 （1）椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为22221(0)xyabab。2a=10，2c=8，a=5，c=4，b2=a2c2=5242=9，所求椭圆的标准方程为221259xy；（2）椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为22221(0)yxabab由椭圆的定义知，222235352()(2)()(2)2 102222a ，10a ，又 c=2，b2=a2c2=104=6，所求椭圆的标准方程为221106yx举一反三：举一反三：【变式 1】已知椭圆的焦点是 F1(0，1)、F2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且 PF1PF22F1F2，则椭圆的标准方程是_【答案】22143yx例例 5. 求经过点 P（3，0） 、Q（0，2）的椭圆的标准方程。【解析】设椭圆的标准方程为 mx2+ny2=1（m0，n0，mn） 。椭圆经过点 P（3，0）和 Q（0，2） ，91,41.mn 1,91.4mn所求椭圆方程为22194xy。举一反三：举一反三：【变式 1】已知椭圆的中心在原点，经过点 P（3，0）且 a=3b，求椭圆的标准方程。【答案】2219xy或221819yx。类型四：椭圆的综合问题类型四：椭圆的综合问题例例 6.设 F1、F2是椭圆22194xy的两个焦点，P 是椭圆上的点，且 PF1PF221，则PF1F2的面积等于_【答案】4【解析】由椭圆方程，得 a3，b2，5c ，PF1PF22a6.又 PF1PF221，PF14，PF22，由 22422(2 5)可知PF1F2是直角三角形，故PF1F2的面积为12PF1PF212244.举一反三：举一反三：【变式 1】已知 P 为椭圆221169xy上的一点，12,F F是两个焦点，1260OFPF，求12FPF的面积.【答案】3 3类型五：坐标法的应用类型五：坐标法的应用例例 7ABC 的两个顶点坐标分别是 B（0，6）和 C（0，6） ，另两边 AB、AC 的斜率的乘积是49，求顶点 A 的轨迹方程。【解析】设顶点 A 的坐标为（x，y）由题意得664(0)9yyxxx ， 顶点 A 的轨迹方程为221(0)8136xyx。举一反三：举一反三：【变式 1】已知 A、B 两点的坐标分别为（0，5）和（0，5） ，直线 MA 与 MB 的斜率之积为49，则 M 的轨迹方程是（ ）A221100259xy B221(5)100259xyx C221225254xy D221(0)225254xyx【答案】D【变式 2】如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为 2，从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段PP，求线段 PP中点 M 的轨迹【答案】设点 M 的坐标为( , )x y，点 P 的坐标为00(,)xy，则00,2yxxy因为00(,)P xy在圆224xy上，所以22004xy将00,2xxyy代入上方程得2244xy即2214xy所以点 M 的轨迹是一个椭圆【巩固练习】【巩固练习】一、一、选择题选择题1.如果方程22216xyaa表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是（ ）A3a B2a C 3a 或2a D3a 或62a 1.答案 D；解析：焦点在 x 轴上，则标准方程中2x项的分母应大于2y项的分母，即26,aa解得选 D.2.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点最短距离为3，则这个椭圆的方程为（ ）A221129xy B221912xy C221129xy或221912xy D以上都不对2.答案 C；解析：设短轴的一个端点为 P，左右焦点分别为 F1、F2，PF1F2为正三角形，123|2OPFF，可得3bc，即223acc 又椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为3，3ac， 联解，可得222 3,3,3acbac。因此 a2=12 且 b2=9，可得椭圆的标准方程为221129xy或221912xy。3.直线1ykx与椭圆2215xym总有公共点，则 m 的取值范围是（ ）A1m B1m 或01m C 1m 且5m D05m且1m 3.答案：C 解析：直线过定点（0，1） ，只需该点落在椭圆内或椭圆上.4.设 P 是椭圆2212516xy上的点，若12,FF是椭圆的两个焦点，则12|PFPF等于（ ）A.4 B.5 C.8 D.104.答案： 解析：由椭圆定义知12| 210PFPFa，所以选5. “ab0”是“方程 ax2+by2=1 表示椭圆的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5.答案：B6.若椭圆的2221kxky的一个焦点为（0，-4） ，则 k 的值为（ ）A132 B18 C8 D326. 答案 A 解析：方程变形为221(0)112yxkkk，11116,232kkk二、二、填空题填空题7设 F1，F2分别是椭圆 E： x222by1(0b1)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A、B 两点，若|AF1|3|F1B|，AF2x 轴，则椭圆 E 的方程为 7. 解析：由题意，AF2x 轴，|AF2|b2，A（c，b2） ，|AF1|3|F1B|，B(35c，31b2)，代入椭圆方程可得1)31()35(2222bbc，1b2c2，b232，c231，12322yx8已知椭圆2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆在 y 轴上的一个顶点，若 2b，12|FF ，2a 成等差数列，且PF1F2的面积为 12，则椭圆 C 的方程为_8. 解析：由题意知，2a+2b=2|F1F2|=4c，1 2121|122PF FSFFbbc ，a=2cb，又 a2=b2+c2，(2cb)2=b2+c2，解得：c=4，b=3，a=5。椭圆 C 的方程为221259xy。9已知椭圆221169xy的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是椭圆上的一点，Q 是 PF1的中点，若 OQ1，则 PF1_.9. 解析：如图，连结 PF2，由于 Q 是 PF1的中点，所以 OQ 是PF12的中位线，所以 PF22OQ2，根据椭圆的定义知，PF1PF22a8，所以 PF16.10.椭圆221xymn (mn0)的焦点坐标是_10.解析：因为 mnn0，故焦点在 x 轴上，所以cmnnm，故焦点坐标为(,0)nm，(,0)nm三、解答题三、解答题11ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为 30，求此三角形重心G和顶点A的轨迹11. 解析： （1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系设G点坐标为yx，由20 GBGC，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点因10a，8c，有6b，故其方程为013610022yyx（2）设yxA ，yxG，则013610022yyx 由题意有33yyxx，代入，得A的轨迹方程为0132490022yyx，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点） 12已知圆 C：(x3)2y2100 及点 A(3,0)，P 是圆 C 上任意一点，线段 PA 的垂直平分线 l 与 PC相交于点 Q，求点 Q 的轨迹方程12. 解析：如图所示l 是线段 PA 的垂直平分线，AQPQ.AQCQPQCQCP10，且 106.点 Q 的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且 2a10，c3，即 a5，b4.点 Q 的轨迹方程为2212516xy.13. 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程13.解析：设两焦点为1F、2F，且3541PF，3522PF从椭圆定义知52221PFPFa即5a从21PFPF 知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx