1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题辅导讲义-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

知识点一知识点一 空间角的向量求法空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角为设 l1与 l2的方向向量分别为 u，v，则 cos|cos|uv|u|v|(0，2直线 l 与平面 所成的角为 设 l 的方向向量为 u，平面 的法向量为 n，则 sin |cos|un|u|n|0，2平面 与平面 的夹角为 设平面 ， 的法向量分别为 n1， n2， 则 cos |cos|n1n2|n1|n2|(0，2知识点二知识点二 空间距离的向量求法空间距离的向量求法分类向量求法两点距设 A、B 为空间中的任意两点，则 d|AB|点线距设直线 l 的单位方向向量为 u，Al，Pl，设AP a，则点 P 到直线 l 的距离 d|a|2au2点面距已知平面 的法向量为 n，A，P，则点 P 到平面 的距离为 d|AP n|n|考点一考点一 距离问题距离问题例例 1： 如图，BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD，AB23.求点A 到平面 MBC 的距离 用空间向量研究距离、夹角问题用空间向量研究距离、夹角问题知识讲解知识讲解典型例题典型例题考点二考点二 求两条异面直线所成的角求两条异面直线所成的角例例 2：如图，在三棱柱 OABO1A1B1中，平面 OBB1O1平面 OAB，O1OB60，AOB90，且 OBOO12，OA3，求异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值的大小 考点三考点三 直线与平面所成的角直线与平面所成的角例例 3：如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1，平面 A1ACC1平面 ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F 分别是 AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值 考点四考点四 平面与平面的夹角平面与平面的夹角例例 4：如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形 ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面 ABCD；(2)若CBA60，求平面 C1OB1与平面 DOB1的夹角的余弦值 一、选择题一、选择题1已知平面的法向量为( 2n ，2，1)，点(A x，3，0)在平面内，则点( 2P ，1，4)到平面的距离为103，则(x )A1B11C1或11D212已知四边形 ABCD 为正方形，P 为平面 ABCD 外一点，PDAD，PDAD2，二面角 P-AD-C 为 60，则 P 到AB 的距离是（ ）A22 B 3 C2 D 73已知四面体ABCD中， AB ，BC， BD两两垂直，2BCBD， AB 与平面ACD所成角的正切值为12，则点B到平面ACD的距离为()A32B2 33C55D2 554 在直三棱柱111ABCABC中，190 ,2ACBCACCCB， 则直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为 （ ）A55B53C2 55D355在直角坐标系中，已知2,3A，2, 3B ，沿x轴把直角坐标系折成平面角为的二面角AOxB，使AOB90，则cos为（ ）A19B19C49D496如图，在三棱锥PABC中，PA 平面 ABC，90ABC，60BAC，2PAAB.以点 B 为原点，分别以BC ，BA ，AP 的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面 PAB 和 PBC 的法向量分别为m和n，则下面选项中正确的是（ ） A点 P 的坐标为0,0,2B4,0, 2PC Cn可能为0, 2,2Dcos,n0m 7把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形中心，则折起后，EOF的大小为（ ）.A30B60C120D150同步练习同步练习8.如图，在菱形ABCD中，60BAD，线段AD，BD的中点分别为E，F，现将ABD沿对角线BD翻折，则异面直线 BE 与CF所成的角的取值范围是( ).A,6 3 B,6 2 C,3 2 D2,33二、多选题二、多选题1三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为12,n n ，若12,3n n ，则二面角ABDC的大小可能为（ ）A6 B3 C23 D562如图，在平行四边形ABCD中，1AB ，2AD ，60A，沿对角线BD将ABD折起到PBD的位置，使得平面PBD平面BCD，下列说法正确的有（ ） A平面PCD 平面PBDB三棱锥PBCD四个面都是直角三角形CPD与BC所成角的余弦值为34D过BC的平面与PD交于M，则MBC面积的最小值为217三、填空题三、填空题1设(2A，2，0)，(1B，4，2)，(0C，0，1)，则坐标原点O到平面ABC的距离为2.已知在棱长为 a 的正方体 ABCD-ABCD中，E 是 BC 的中点，则直线 AC 与 DE 所成角的余弦值为_3如图所示，ABCD-EFGH 为边长等于 1 的正方体，若 P 点在正方体的内部且满足312423APABADAE ，则 P 点到直线 AB 的距离为_ 4在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E、 F 分别为棱1AA、1BB的中点，G为棱11AB上的一点，且101GA，则点G到平面1D EF的距离为 5如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD平面 ABCD 且 PDAD1，AB2，点 E 是线段 AB 上一点，当面 PEC 与面 ABCD 的夹角为4时，AE_，这时，点 D 到面 PEC 的距离为_四、解答题四、解答题1如图，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点 A，B，V 分别在 x，y，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且 ACBC2，VDC3 ，求异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值2如图，在四棱锥PABCD中，PB 底面ABCD，底面ABCD为梯形，/ /ADBC，ADAB，且3,1PBABADBC（1）若点 F 为PD上一点且13PFPD，证明：/CF平面PAB；（2）求直线PA与平面BPD所成角的正弦值 3.如图，在三棱锥 PABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 AMCB 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在请说明理由 4如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 为棱 AA1的中点，AB1，AA12（1）求点 B 到平面 B1C1E 的距离；（2）求二面角 B1EC1C 的正弦值 5在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PDDC，E，F 分别是 AB，PB 的中点.（1）求证：EFCD；（2）在平面 PAD 内是否存在一点 G，使 GF平面 PCB？若存在，求出点 G 坐标；若不存在，试说明理由.6如图所示，平面 CDEF平面 ABCD，且四边形 ABCD 为平行四边形，DAB45，四边形 CDEF 为直角梯形，EFDC，EDCD，AB3EF3，EDa，AD2（1）求证：ADBF；（2）若线段 CF 上存在一点 M，满足 AE平面 BDM，求CMCF的值； 知识点一知识点一 空间角的向量求法空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角为设 l1与 l2的方向向量分别为 u，v，则 cos|cos|uv|u|v|(0，2直线 l 与平面 所成的角为 设 l 的方向向量为 u，平面 的法向量为 n，则 sin |cos|un|u|n|0，2平面 与平面 的夹角为 设平面 ， 的法向量分别为 n1， n2， 则 cos |cos|n1n2|n1|n2|(0，2知识点二知识点二 空间距离的向量求法空间距离的向量求法分类向量求法两点距设 A、B 为空间中的任意两点，则 d|AB|点线距设直线 l 的单位方向向量为 u，Al，Pl，设AP a，则点 P 到直线 l 的距离 d|a|2au2点面距已知平面 的法向量为 n，A，P，则点 P 到平面 的距离为 d|AP n|n|考点一考点一 距离问题距离问题例例 1： 如图，BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD，AB23.求点A 到平面 MBC 的距离 用空间向量研究距离、夹角问题用空间向量研究距离、夹角问题知识讲解知识讲解典型例题典型例题考点二考点二 求两条异面直线所成的角求两条异面直线所成的角例例 2：如图，在三棱柱 OABO1A1B1中，平面 OBB1O1平面 OAB，O1OB60，AOB90，且 OBOO12，OA3，求异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值的大小 考点三考点三 直线与平面所成的角直线与平面所成的角例例 3：如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1，平面 A1ACC1平面 ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F 分别是 AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值 考点四考点四 平面与平面的夹角平面与平面的夹角例例 4：如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形 ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面 ABCD；(2)若CBA60，求平面 C1OB1与平面 DOB1的夹角的余弦值 一、选择题一、选择题1已知平面的法向量为( 2n ，2，1)，点(A x，3，0)在平面内，则点( 2P ，1，4)到平面的距离为103，则(x )A1B11C1或11D212已知四边形 ABCD 为正方形，P 为平面 ABCD 外一点，PDAD，PDAD2，二面角 P-AD-C 为 60，则 P 到AB 的距离是（ ）A22 B 3 C2 D 73已知四面体ABCD中， AB ，BC， BD两两垂直，2BCBD， AB 与平面ACD所成角的正切值为12，则点B到平面ACD的距离为()A32B2 33C55D2 554 在直三棱柱111ABCABC中，190 ,2ACBCACCCB， 则直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为 （ ）A55B53C2 55D355在直角坐标系中，已知2,3A，2, 3B ，沿x轴把直角坐标系折成平面角为的二面角AOxB，使AOB90，则cos为（ ）A19B19C49D496如图，在三棱锥PABC中，PA 平面 ABC，90ABC，60BAC，2PAAB.以点 B 为原点，分别以BC ，BA ，AP 的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面 PAB 和 PBC 的法向量分别为m和n，则下面选项中正确的是（ ） A点 P 的坐标为0,0,2B4,0, 2PC Cn可能为0, 2,2Dcos,n0m 7把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形中心，则折起后，EOF的大小为（ ）.A30B60C120D150同步练习同步练习8.如图，在菱形ABCD中，60BAD，线段AD，BD的中点分别为E，F，现将ABD沿对角线BD翻折，则异面直线 BE 与CF所成的角的取值范围是( ).A,6 3 B,6 2 C,3 2 D2,33二、多选题二、多选题1三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为12,n n ，若12,3n n ，则二面角ABDC的大小可能为（ ）A6 B3 C23 D562如图，在平行四边形ABCD中，1AB ，2AD ，60A，沿对角线BD将ABD折起到PBD的位置，使得平面PBD平面BCD，下列说法正确的有（ ） A平面PCD 平面PBDB三棱锥PBCD四个面都是直角三角形CPD与BC所成角的余弦值为34D过BC的平面与PD交于M，则MBC面积的最小值为217三、填空题三、填空题1设(2A，2，0)，(1B，4，2)，(0C，0，1)，则坐标原点O到平面ABC的距离为2.已知在棱长为 a 的正方体 ABCD-ABCD中，E 是 BC 的中点，则直线 AC 与 DE 所成角的余弦值为_3如图所示，ABCD-EFGH 为边长等于 1 的正方体，若 P 点在正方体的内部且满足312423APABADAE ，则 P 点到直线 AB 的距离为_ 4在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E、 F 分别为棱1AA、1BB的中点，G为棱11AB上的一点，且101GA，则点G到平面1D EF的距离为 5如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD平面 ABCD 且 PDAD1，AB2，点 E 是线段 AB 上一点，当面 PEC 与面 ABCD 的夹角为4时，AE_，这时，点 D 到面 PEC 的距离为_四、解答题四、解答题1如图，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点 A，B，V 分别在 x，y，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且 ACBC2，VDC3 ，求异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值2如图，在四棱锥PABCD中，PB 底面ABCD，底面ABCD为梯形，/ /ADBC，ADAB，且3,1PBABADBC（1）若点 F 为PD上一点且13PFPD，证明：/CF平面PAB；（2）求直线PA与平面BPD所成角的正弦值 3.如图，在三棱锥 PABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 AMCB 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在请说明理由 4如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 为棱 AA1的中点，AB1，AA12（1）求点 B 到平面 B1C1E 的距离；（2）求二面角 B1EC1C 的正弦值 5在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PDDC，E，F 分别是 AB，PB 的中点.（1）求证：EFCD；（2）在平面 PAD 内是否存在一点 G，使 GF平面 PCB？若存在，求出点 G 坐标；若不存在，试说明理由.6如图所示，平面 CDEF平面 ABCD，且四边形 ABCD 为平行四边形，DAB45，四边形 CDEF 为直角梯形，EFDC，EDCD，AB3EF3，EDa，AD2（1）求证：ADBF；（2）若线段 CF 上存在一点 M，满足 AE平面 BDM，求CMCF的值； 知识点一知识点一 空间角的向量求法空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角为设 l1与 l2的方向向量分别为 u，v，则 cos|cos|uv|u|v|(0，2直线 l 与平面 所成的角为 设 l 的方向向量为 u，平面 的法向量为 n，则 sin |cos|un|u|n|0，2平面 与平面 的夹角为 设平面 ， 的法向量分别为 n1， n2， 则 cos |cos|n1n2|n1|n2|(0，2知识点二知识点二 空间距离的向量求法空间距离的向量求法分类向量求法两点距设 A、B 为空间中的任意两点，则 d|AB|点线距设直线 l 的单位方向向量为 u，Al，Pl，设AP a，则点 P 到直线 l 的距离 d|a|2au2点面距已知平面 的法向量为 n，A，P，则点 P 到平面 的距离为 d|AP n|n|考点一考点一 距离问题距离问题例例 1： 如图，BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD，AB23.求点A 到平面 MBC 的距离用空间向量研究距离、夹角问题用空间向量研究距离、夹角问题知识讲解知识讲解典型例题典型例题 【答案】见解析【解析】取 CD 的中点 O，连接 OB，OM，则 OBCD，OMCD，又平面 MCD平面 BCD，所以 MO平面 BCD.以 O 为坐标原点，分别以直线 OC，BO，OM 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，如图所示因为BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，所以 OBOM 3，则 O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0， 3)，B(0， 3，0)，A(0， 3，2 3)，所以BC (1，3，0)，BM (0，3， 3)，BA (0,0,2 3)设平面 MBC 的法向量为 n(x，y，z)，由Error!得Error!即Error!取 x 3，可得平面 MBC 的一个法向量为 n( 3，1,1)又BA (0,0,2 3)，所以所求距离 d|BA n|n|2 155.考点二考点二 求两条异面直线所成的角求两条异面直线所成的角例例 2：如图，在三棱柱 OABO1A1B1中，平面 OBB1O1平面 OAB，O1OB60，AOB90，且 OBOO12，OA3，求异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值的大小 【答案】见解析【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 O(0,0,0)，O1(0,1， 3)，A( 3，0,0)，A1( 3，1， 3)，B(0,2,0)，A1B (3，1，3)，O1A (3，1，3)|cosA1B ， O1A |A1B O1A |A1B |O1A |3，1，33，1，3|7717.异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值为17.考点三考点三 直线与平面所成的角直线与平面所成的角例例 3：如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1，平面 A1ACC1平面 ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F 分别是 AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值 【答案】见解析【解析】证明(1)连接 A1E，因为 A1AA1C，E 是 AC 的中点，所以 A1EAC.又平面 A1ACC1平面 ABC，A1E平面 A1ACC1，平面 A1ACC1平面 ABCAC，所以，A1E平面 ABC.如图，以点 E 为原点，分别以射线 EC，EA1为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Exyz.不妨设 AC4，则 A1(0,0,2 3)，B( 3，1,0)，B1( 3，3，2 3)，F(32，32，2 3)，C(0,2,0)因此，EF (32，32，2 3)，BC ( 3，1,0)由EF BC 0 得 EFBC.(2)设直线 EF 与平面 A1BC 所成角为 ，由(1)可得BC ( 3，1,0)，A1C (0,2，2 3)，设平面 A1BC 的法向量为 n(x，y，z)，由Error!，得Error!，取 n(1，3，1)，故 sin |cosEF ，n|EF n|EF |n|45.因此直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值为35.考点四考点四 平面与平面的夹角平面与平面的夹角例例 4：如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形 ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面 ABCD；(2)若CBA60，求平面 C1OB1与平面 DOB1的夹角的余弦值 【答案】见解析【解析】(1)证明：因为四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形，所以 CC1AC，DD1BD，又 CC1DD1OO1，所以 OO1AC，OO1BD，因为 ACBDO，所以 O1O底面 ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 为菱形，ACBD.又 O1O底面 ABCD，所以 OB，OC，OO1两两垂直如图，以 O 为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系设棱长为 2，因为CBA60，所以 OB 3，OC1，所以 O(0,0,0)，B1( 3，0,2)，C1(0,1,2)，平面 BDD1B1的一个法向量为 n(0,1,0)，设平面 OC1B1的法向量为 m(x，y，z)，则由 mOB1 ，mOC1 ，所以Error!取 z 3，则 x2，y2 3，所以 m(2,2 3， 3)，所以 cosm，nmn|m|n|2 3192 5719.所以平面 C1OB1与平面 DOB1的夹角的余弦值为2 5719.一、选择题一、选择题1已知平面的法向量为( 2n ，2，1)，点(A x，3，0)在平面内，则点( 2P ，1，4)到平面的距离为103，则(x )A1B11C1或11D21【答案】C【解析】( 2APx ，2，4)，2222|( 2)( 2)4424APxxx ，|4413n ，2( 2)44212AP nxx ，2212cos,|4243AP nxAP nAP nxx ，设 AP 与平面所成角为，则2|212|sin3424xxx，P到平面的距离为|212|10| sin33xAP，解得1x 或11x 故选：C2已知四边形 ABCD 为正方形，P 为平面 ABCD 外一点，PDAD，PDAD2，二面角 P-AD-C 为 60，则 P 到AB 的距离是（ ）A22 B 3 C2 D 7同步练习同步练习【答案】D【解析】因为 ABCD 为正方形，所以 ADDC.由DCADPDADPDC 为二面角 P-AD-C 的平面角，即PDC60.如图所示，过 P 作 PHDC 于 H.=DCADPDADDCPD D，,AD面 PDC.,AD面 PH.又 PHDC, =ADDC D,PH面 ABCD,在平面 AC 内过 H 作 HEAB 于 E，连接 PE，则 PEAB，所以线段 PE 即为所求以 H 为坐标原点建立空间直角坐标系Hxyz，则0,0,0 ,1,2,0 ,1,2,0 ,0,2,0 ,0,0, 3HABEP所以0,2,3PE ,22023= 7PE 故选:D.3已知四面体ABCD中， AB ，BC， BD两两垂直，2BCBD， AB 与平面ACD所成角的正切值为12，则点B到平面ACD的距离为()A32B2 33C55D2 55【答案】D【解析】取CD的中点E，连接 AE ，过B作BFAE交 AE 于 F ，BCBD，E是CD的中点，BECD，ABBC，ABBD，BCBD，ACAD，AECD，又AEBEE，CD平面 ABE ，又CD 平面ACD，平面ABE 平面ACD，又平面ABE平面ACDAE，BEAE，BE平面ACD，故BAF为 AB 与平面ACD所成的角，1tan2BAF，5sin5BAF，2BCBD，2CD，故1BE ，又1tan2BEBAFAB，2AB，2 5sin5BFABBAF故选： D 4 在直三棱柱111ABCABC中，190 ,2ACBCACCCB， 则直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为 （ ）A55B53C2 55D35【答案】A【解析】由题意，以点C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为12CACCCB，不妨令1CB ，则0,1,0B，2,0,0A，10,1,2B，10,0,2C，因此10, 1,2BC ，12,1,2AB uuu r，所以111111145cos,553BCABBC ABBCAB uuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r，故直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为55.故选：A.5在直角坐标系中，已知2,3A，2, 3B ，沿x轴把直角坐标系折成平面角为的二面角AOxB，使AOB90，则cos为（ ）A19B19C49D49【答案】C【解析】过,A B分别作x轴的垂线，垂足分别为11,A B，则13AA ，13BB ，114AB ，4913OAOB，90AOB，2226ABOAOB；1111ABAAABB B ，2222111111111111222ABAAABB BAA ABAA B BAB B B 2221111112cosAAABB BAAB B ，即269 169 18cos，解得：4cos9故选：C.6如图，在三棱锥PABC中，PA 平面 ABC，90ABC，60BAC，2PAAB.以点 B 为原点，分别以BC ，BA ，AP 的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面 PAB 和 PBC 的法向量分别为m和n，则下面选项中正确的是（ ） A点 P 的坐标为0,0,2B4,0, 2PC Cn可能为0, 2,2Dcos,n0m 【答案】C【解析】建立空间直角坐标系如图：由题意可得0,0,0B，0,2,0A，2 3,0,0C，0,2,2P，所以2 3, 2, 2PC ，0,2,2BP .设, ,nx y z，则2 3220220 xyzzy，取2z ，可得0, 2,2n .因为ABBC，PABC，所以BC平面 PAB，所以平面PBC 平面 PAB，所以mn，所以cos,0m n .综上所述，A，B，D 错，C 正确.故选 C7把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形中心，则折起后，EOF的大小为（ ）.A30B60C120D150【答案】C【解析】因为O是正方形中心，所以,ODAC OBAC，DOB为二面角DACB的平面角，又正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，即二面角DACB是直二面角，所以90 ,DOBODOB，因为点E，F分别是AD，BC的中点，所以1()2OEOAOD ，1()2OFOBOC ，所以211()|44OE OFOA OBOA OCOD OBOD OCOA .又2| |2OEOFOA ，所以221|14cos,12|2OAOE OFOA .因为,0 ,180OE OF ,所以120EOF，故选：C.8.如图，在菱形ABCD中，60BAD，线段AD，BD的中点分别为E，F，现将ABD沿对角线BD翻折，则异面直线 BE 与CF所成的角的取值范围是( ).A,6 3 B,6 2 C,3 2 D2,33【答案】C【解析】 设菱形的边长为1， 则3,12BECFBD，111,2222BEBABDCFCBCDBDBC ， 124BE CFBABDBDBC ，211114242BA BDBA BCBDBD BC ，1111cos,8244BA BC ，11cos,82BA BC ，所以4 11cos,cos,3 82BE CFBE CFBA BCBECF ，由图可知：20,3BA BC ，所以1cos,12BA BC ，所以11cos,22BE CF ，所以2,33BE CF ，所以异面直线 BE 与CF所成的角的取值范围是(,3 2 .故选：C二、多选题二、多选题1三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为12,n n ，若12,3n n ，则二面角ABDC的大小可能为（ ）A6 B3 C23 D56【答案】BC【解析】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角ABDC的大小可能为3或233.故选：BC.2如图，在平行四边形ABCD中，1AB ，2AD ，60A，沿对角线BD将ABD折起到PBD的位置，使得平面PBD平面BCD，下列说法正确的有（ ） A平面PCD 平面PBDB三棱锥PBCD四个面都是直角三角形CPD与BC所成角的余弦值为34D过BC的平面与PD交于M，则MBC面积的最小值为217【答案】ABD【解析】BCD中，1CD ，2BC ，60A，由余弦定理可得3BD ，故222BDCDBC，所以BDCD，因为平面PBD平面BCD且平面PBD平面BCDBD，所以CD 平面PBD，CDPD；同理PB 平面CBD，因为CD 平面PCD，所以平面PCD 平面BPD，A，B 正确；以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则3,0,0B，0,1,0C，3,0,1P，因为3,0,1DP ，3,1,0BC ，所以3cos,4BC DPBC DPBC DP ，即PD与BC所成角的余弦值为34，C 错误；因为M在线段PD上，设3 ,0,Maa，则33 ,0,MBaa，所以点M到BC的距离2222733733424477MB BCaadMBaBC ，当37a 时，d取得最小值217，此时MBC面积取得最小值12121277BC，D 正确.故选：ABD.三、填空题三、填空题1设(2A，2，0)，(1B，4，2)，(0C，0，1)，则坐标原点O到平面ABC的距离为【答案】23【解析】根据题意，( 1AB ，2，2)，(1CB ，4，1)，设平面ABC的法向量(1n ，x，)y，则00n ABn CB ，即1220140 xyxy ，22141xyxy ，解得121xy (1n ，12，1)又(2OA ，2，0)，原点O到平面ABC的距离12 1()21 022|31114OA ndn 故答案为：232.已知在棱长为 a 的正方体 ABCD-ABCD中，E 是 BC 的中点，则直线 AC 与 DE 所成角的余弦值为_【答案】1515【解析】如图所示，建立空间直角坐标系， 则 A(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E( ,0)2aa，A C (a，a，a)，DE( ,0)2aa ，所以15cos ,15A C DEA C DEA C DE .所以直线 AC 与 DE 所成角的余弦值为1515.故答案为：15153如图所示，ABCD-EFGH 为边长等于 1 的正方体，若 P 点在正方体的内部且满足312423APABADAE ，则 P 点到直线 AB 的距离为_ 【答案】56【解析】解析：过 P 作 PM平面 ABCD 于 M，过 M 作 MNAB 于 N，连接 PN，则 PN 即为所求，如图所示因为312423APABADAE ，所以312,423ANNMPM，所以2222125236PNPMMN.即 P 点到直线 AB 的距离为56.4在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E、 F 分别为棱1AA、1BB的中点，G为棱11AB上的一点，且101GA，则点G到平面1D EF的距离为 【答案】55【解析】长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E、 F 分别为棱1AA、1BB的中点，G为棱11AB上的一点，且101GA，221151( )22D E，11/ /ABEF，点G到平面1D EF的距离即为点1A到平面1D EF的距离，设这个距离为h，11551224D EFS ，111111224A D ES ，1111AD EFEA D EVV，1111122D EFA D EShSEF，1111154554A D ED EFSEFhS点G到平面1D EF的距离为55故答案为：555如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD平面 ABCD 且 PDAD1，AB2，点 E 是线段 AB 上一点，当面 PEC 与面 ABCD 的夹角为4时，AE_，这时，点 D 到面 PEC 的距离为_【答案】2 3；22【解析】设 AEa(0a2)，以点 D 为坐标原点， DA ， DC ，DP 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，则 D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，则PE (1，a，1)，PC (0,2，1)，设平面 PEC 的法向量为 m(x，y，z)，则Error!，即Error!，令 y1，可得 x2a，z2，则 m(2a,1,2)，易知平面 DEC 的一个法向量为DP (0,0,1)，则|cosm， DP |522|2a22，解得 a2 3或 2 3(舍去)，所以 AE23.这时，平面 PEC 的法向量可以取( 3，1,2)，又因DP (0,0,1)点 D 到平面 PEC 的距离为 d|DP m|m|22 2 122.四、解答题四、解答题1如图，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点 A，B，V 分别在 x，y，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且 ACBC2，VDC3 ，求异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值【答案】24.【解析】ACBC2，D 是 AB 的中点，C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)在 RtVCD 中，2,3CDVDC，故(0,0, 6)V( 2,0,0)AC ，(1,1,6)VD 22cos,4|2 2 2AC VDAC VDAC VD .异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为24.2如图，在四棱锥PABCD中，PB 底面ABCD，底面ABCD为梯形，/ /ADBC，ADAB，且3,1PBABADBC（1）若点 F 为PD上一点且13PFPD，证明：/CF平面PAB；（2）求直线PA与平面BPD所成角的正弦值 【答案】 （1）证明见解析（2）12【解析】 （1）作/ /FHAD交PA于H，连接BH.13PFPD 113HFAD又/ /ADBC且1BC / /HFBC且HFBC，四边形HFCB为平行四边形 / /CFBHBH 平面PAB，CF 平面PAB / /CF平面PAB（2）PB 平面ABCD，BC 平面ABCD PBBC又ADAB，/ /ADBC ABBC，则可以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：则0,0,0B，0,0,3P，3,3,0D，0,3,0A3,3, 3PD ，0,3, 3PA ，3,3,0BD 设平面PBD的法向量, ,nx y z则3330330n PDxyzn BDxy ，令1x ，则1y ，0z 1, 1,0n设直线PA与平面BPD所成角为|31sin|cos,|23 22PA nPA nPA n3.如图，在三棱锥 PABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 AMCB 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在请说明理由 【答案】见解析【解析】(1)证明：如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则 O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)AP (0,3,4)，BC (8,0,0)，由此可得AP BC 0，所以AP BC ，所以 APBC.(2)假设存在满足题意的点 M，设PM PA ，01，则PM (0，3，4)BM BP PM BP PA (4，2,4)(0，3，4)(4，23r,44)，AC (4,5,0)，BC (8,0,0)设平面 BMC 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，平面 APC 的法向量为 n2(x2，y2，z2)由Error!得Error!令 y11 可得 n1(0，1，2344).由Error!可得Error!令 y24 可得 n2(5,4，3)由 n1n20，得 4323440，解得 25，故 AM3.故存在点 M 符合题意，且 AM3.4如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 为棱 AA1的中点，AB1，AA12（1）求点 B 到平面 B1C1E 的距离；（2）求二面角 B1EC1C 的正弦值 【答案】 （1）2； （2）32【解析】 （1）如图，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0） ，B1(1，0，2） ，C1(1，1，2） ，E(0，0，1） ，11BC(0，1，0） ，1B E (1，0，1） ，1BB(0，0，2） ，设平面 B1C1E 的法向量n (u，v，w） ，则11100n BCvn B Euw ，取 u1，得n (1，0，1） ，点 B 到平面 B1C1E 的距离为：d1|22|2n BBn （2）C1(1，1，2） ，E(0，0，1） ，C(1，1，0） ，1CC (0，0，2） ，CE (1，1，1） ，设平面 CC1E 的法向量m (x，y，z） ，则1.20.0mCCzmCExyz ，取 x1，得m (1，1，0） ，设二面角 B1EC1C 的平面角为 ，则 cos11| |222m nmn ，sin2131 ( )22，二面角 B1EC1C 的正弦值为325在四棱锥