- 直线和圆的方程 单元测试卷 2021-2022学年高二上学期 人教A版(2019)数学选择性必修第一册
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人教版(2019)选择性必修一直线和圆的方程单元测试卷人教版(2019)选择性必修一直线和圆的方程单元测试卷学校:_姓名:_班级:_考号:_学校:_姓名:_班级:_考号:_题号题号一一二二三三四四总分总分得分得分一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.过点( 1,2)且方向向量为 = ( 1,2)的直线方程为( )A. 2 + = 0B. 2 +5 = 0C. 2 = 0D. +2 5 = 02.若直线1: +3 +1 = 0与2:2 + ( + 1) +1 = 0互相平行,则 a 的值是()A. 3B. 2C. 3或 2D. 3 或 23.已知圆:2+ 2 2 +4 +1 = 0,那么与圆 C 有相同的圆心,且经过点( 2,2)的圆的方程是( )A. ( 1)2+( +2)2= 5B. ( 1)2+( +2)2= 25C. ( +1)2+( 2)2= 5D. ( +1)2+( 2)2= 254.设直线 l 的方程为 + +3 = 0( ),则直线 l 的倾斜角的取值范围是( )A. 0,)B. 4,2C. 4,34D. 4,22,345.若圆2+ 2+2 4 +52 4 = 0上所有点都在第二象限,则 a 的取值范围为()A. ( ,2)B. ( , 1)C. (1, + )D. (2, + )6.下列说法中正确的是( )A. y y1x x1= k表示过点 P1(x1,y1),且斜率为 k 的直线方程B. 直线 y = kx + b与 y 轴交于一点 B(0,b),其中截距 b = |OB|C. 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a 与 b 的直线方程是 xa+yb= 1D. 方程 (x2 x1)(y y1) = (y2 y1)(x x1)表示过点 P1(x1,y1), P2(x2,y2)的直线7.圆2+ 2 4 +2 +1 = 0与圆2+ 2+4 4 1 = 0的公切线有( )A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条8.已知定点和直线,则点 P 到直线 l 的距离 d 的最大值为( )A. 2 3B. 10C. 14D. 2 15二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分9.已知直线: 3 +1 = 0,则下列结论正确的是( )A. 直线 l 的倾斜角是6B. 若直线: 3 +1 = 0,则 C. 点( 3,0)到直线 l 的距离是 2D. 过(2 3,2)与直线 l 平行的直线方程是 3 4 = 010.下列说法错误的是()A. “ = 1”是“直线2 +1 = 0与直线 2 = 0互相垂直”的充分不必要条件B. 直线sin + +2 = 0的倾斜角的取值范围是0,4 34,)C. 过(1,1),(2,2)两点的所有直线的方程为 12 1= 12 1D. 经过点(1,1)且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 + 2 = 011.直线 = +3被圆( 2)2+( 3)2= 4截得的弦长为2 3,则直线的倾斜角可能为( )A. 56B. 3C. 23D. 612.点 P 在圆1:2+ 2= 1上,点 Q 在圆2:2+ 2 6 +8 +24 = 0上,则( )A. |的最小值为 0B. |的最大值为 7C. 两个圆心所在的直线斜率为 43D. 两个圆相交弦所在直线的方程为6 8 25 = 0三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13.过且与和距离相等的直线方程为_14.已知 m,n,a, ,且满足3 +4 = 6,6 +8 = 1,则 ( )2+ ( )2的最小值为 15.已知实数,满足方程2+ 2 4 + 1 = 0,则下列说法 的最大值为 6 2. 2+2的最大值为7 + 4 3. 的最大值为32. + 的最大值为2 +3错误的是_16.从圆1:2 2 + 2 2 2 = 0上任一点 P 向圆2:2 2 + 2 2 +1 = 0作两条切线,切点分别为 A,B,则 = _四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知 的顶点坐标为(0,5),(1, 2),( 5,4)(1)求 的 BC 边上的高所在直线的方程;(2)求直线 AB 的方程及 的面积18.已知关于 x,y 的方程(1)若方程 C 表示为圆,求实数 m 的取值范围;(2)当时,曲线 C 与直线相交于 M,N 两点,求的值19.已知直线 l 经过点( 2,3)(1)若原点到直线 l 的距离为 2,求直线 l 的方程;(2)若直线 l 被两条相交直线1:2 2 = 0和2: + +3 = 0所截得的线段恰被点 P 平分,求直线 l 的方程20.(1)已知一条直线经过两条直线1:2 3 4 = 0和2: +3 11 = 0的交点,并且垂直于这个交点和原点的连线,求此直线方程;(2)过点( 5, 4)作一直线 l,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5,求直线 l 的方程21.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆:2+ 2 4 = 0及点( 1,0),(1,2)(1)若直线 l 平行于 AB,与圆 C 相交于 M,N 两点, = ,求直线 l 的方程;(2)在圆 C 上是否存在点 P,使得2+ 2= 12?若存在,求点 P 的个数;若不存在,说明理由22.若圆 C 经过坐标原点和点(6,0),且与直线 = 1相切,从圆 C 外一点(,)向该圆引切线 PT,T 为切点,(1)求圆 C 的方程;(2)已知点(2, 2),且| = |,试判断点 P 是否总在某一定直线 l 上,若是,求出 l 的方程;若不是,请说明理由;(3)若(2)中直线 l 与 x 轴的交点为 F,点,是直线 = 6上两动点,且以,为直径的圆 E 过点 F,圆 E 是否过定点?证明你的结论人教版(2019)选择性必修一直线和圆的方程单元测试卷人教版(2019)选择性必修一直线和圆的方程单元测试卷学校:_姓名:_班级:_考号:_学校:_姓名:_班级:_考号:_题号题号一一二二三三四四总分总分得分得分一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.过点( 1,2)且方向向量为 = ( 1,2)的直线方程为( )A. 2 + = 0B. 2 +5 = 0C. 2 = 0D. +2 5 = 0【答案】A【解析】根据题意,直线的方向向量为 = ( 1,2),则其斜率 = 2,则其方程为: 2 = 2( + 1),变形可得:2 + = 0;故选 A2.若直线1: +3 +1 = 0与2:2 + ( + 1) +1 = 0互相平行,则 a 的值是()A. 3B. 2C. 3或 2D. 3 或 2【答案】A【解析】当 +1 = 0时显然不成立,当 1时, 直线 +3 +1 = 0与直线2 +( +1) +1 = 0平行,2=3 + 1 1, = 3故选 A3.已知圆:2+ 2 2 +4 +1 = 0,那么与圆 C 有相同的圆心,且经过点( 2,2)的圆的方程是( )A. ( 1)2+( +2)2= 5B. ( 1)2+( +2)2= 25C. ( +1)2+( 2)2= 5D. ( +1)2+( 2)2= 25【答案】B【解析】由题意,圆 C:2+ 2 2 +4 +1 = 0的圆心坐标为(1, 2), 与圆 C 有相同的圆心,且经过点( 2,2)的圆的半径为 (1 + 2)2+ ( 2 2)2= 5, 所求圆的方程为( 1)2+( +2)2= 25 故选:B4.设直线 l 的方程为 + +3 = 0( ),则直线 l 的倾斜角的取值范围是( )A. 0,)B. 4,2C. 4,34D. 4,22,34【答案】C【解析】当 = 0时,方程变为 +3 = 0,其倾斜角为2,当 0时,由直线方程可得斜率, 1,1且 0, ( , 1 1, + ),即 ( , 1 1, + ),又 0,), 4,2) (2,34,由上知,倾斜角的范围是4,34故选 C5.若圆2+ 2+2 4 +52 4 = 0上所有点都在第二象限,则 a 的取值范围为()A. ( ,2)B. ( , 1)C. (1, + )D. (2, + )【答案】D【解析】把圆的一般方程化为标准方程得( + )2+( 2)2= 4,所以圆心坐标为( ,2),半径为 2,由题意可得 0| | 2|2| 2,解得 2,所以 a 的取值范围为(2, + ),故选 D6.下列说法中正确的是( )A. y y1x x1= k表示过点 P1(x1,y1),且斜率为 k 的直线方程B. 直线 y = kx + b与 y 轴交于一点 B(0,b),其中截距 b = |OB|C. 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a 与 b 的直线方程是 xa+yb= 1D. 方程 (x2 x1)(y y1) = (y2 y1)(x x1)表示过点 P1(x1,y1), P2(x2,y2)的直线【答案】D【解析】对于 A, 1 1= 表示过点1(1,1)且斜率为 k 的直线方程不正确,不含点1(1,1),故 A 不正确;对于 B,截距不是距离,是 B 点的纵坐标,其值可正可负,也可能为零,故 B 不正确;对于 C,经过原点的直线在两坐标轴上的截距为 0,不能表示为 += 1,故 C 不正确;对于 D,此方程即直线的两点式方程变形,即(2 1)( 1) = (2 1)( 1),故 D 正确 正确的是:D故选 D 7.圆2+ 2 4 +2 +1 = 0与圆2+ 2+4 4 1 = 0的公切线有( )A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条【答案】C【解析】两个圆的标准方程分别为( 2)2+( +1)2= 4和( +2)2+( 2)2= 9,所以圆心分别是(2, 1),( 2,2),半径分别是 2,3,两圆圆心的距离为 (2 + 2)2+ ( 1 2)2= 5 = 2 + 3,说明两圆外切,因而公切线有 3 条故选 C8.已知定点和直线,则点 P 到直线 l 的距离 d 的最大值为( )A. 2 3B. 10C. 14D. 2 15【答案】B【解析】由(1 + 3) +(1 + 2) (2 + 5) = 0,得( + 2) + (3 +2 5) = 0,此方程是过两直线 + 2 = 0和3 +2 5 = 0交点的定点直线系方程设交点为 Q,解方程组 + 2 = 03 + 2 5 = 0,可知两直线的交点为(1,1),故直线 l 恒过定点(1,1),H 为直线 l 上任意一点,如图所示,可知 = | | =10,即 10, 故选 B二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分9.已知直线: 3 +1 = 0,则下列结论正确的是( )A. 直线 l 的倾斜角是6B. 若直线: 3 +1 = 0,则 C. 点( 3,0)到直线 l 的距离是 2D. 过(2 3,2)与直线 l 平行的直线方程是 3 4 = 0【答案】CD【解析】对于 A,直线的斜率为 3,倾斜角为3,A 错误,对于 B,直线 3 +1 = 0的斜率为33, 3 +1 = 0的斜率为 3, 3 33= 1 1,两直线不垂直, B 错误,对于 C,点( 3,0)到直线 l 的距离为|3 + 1|3 + 1=42= 2,C 正确,对于 D,设与直线 l 平行的直线方程为 3 + = 0, 因为它过(2 3,2),所以2 3 2 + = 0, = 4, 所以过(2 3,2)与直线 l 平行的直线方程是 3 4 = 0,D 正确,故选 CD10.下列说法错误的是( )A. “ = 1”是“直线2 +1 = 0与直线 2 = 0互相垂直”的充分不必要条件B. 直线sin + +2 = 0的倾斜角的取值范围是0,4 34,)C. 过(1,1),(2,2)两点的所有直线的方程为 12 1= 12 1D. 经过点(1,1)且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 + 2 = 0【答案】CD【解析】对于 A,当 = 1时,两直线的斜率分别为 1 和 1,所以两直线垂直,即充分性成立,当 = 0,两直线方程分别为 = 1和 = 2,此时也满足直线垂直,所以必要性不成立,故 A 正确,对于 B,直线的斜率 = sin,则 11,即 1tan1,则 0,4 34,),故 B 正确,对于 C,当1= 2时,直线方程为 = 1,当1= 2时,直线方程 = 1,这两种情况,直线方程都不能表示为 12 1= 12 1,故 C 错误,对于 D,若直线过原点,则直线方程为 = ,此时也满足条件,故 D 错误故选 CD11.直线 = +3被圆( 2)2+( 3)2= 4截得的弦长为2 3,则直线的倾斜角可能为( )A. 56B. 3C. 23D. 6【答案】AD【解析】由题知:圆心(2,3),半径为 2因为直线 = +3被圆( 2)2+( 3)2= 4截得的弦长为2 3,所以圆心到直线的距离为 =22 (3)2= 1 =|2|1 + 2, =33,故直线 l 的斜率 = =33, 直线 l 的倾斜角为6或56故选 AD12.点 P 在圆1:2+ 2= 1上,点 Q 在圆2:2+ 2 6 +8 +24 = 0上,则( )A. |的最小值为 0B. |的最大值为 7C. 两个圆心所在的直线斜率为 43D. 两个圆相交弦所在直线的方程为6 8 25 = 0【答案】BC【解析】由已知,圆1:2+ 2= 1的圆心(0,0),半径1= 1,圆2:2+ 2 6 +8 +24 = 0的圆心(3, 4),半径2= 1,两圆的圆心距 d 为 32+ ( 4)2= 5,对于 A,|的最小值为 1 2= 3,故 A 不正确;对于 B,|的最大值为 + 1+ 2= 7,故 B 正确;对于 C,两个圆心所在的直线斜率为 =4 03 0= 43,故 C 正确,对于 D, 1+ 2,两圆外离,故没有相交弦,故 D 不正确;故选 BC三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13.过且与和距离相等的直线方程为_【答案】4 + 6 = 0或3 +2 7 = 0【解析】直线 AB 的斜率为=3 + 52 4= 4,线段 AB 的中点坐标为(3, 1) 若所求直线与直线 AB 平行时,则所求直线的方程为 2 = 4( 1),即4 + 6 = 0; 若所求直线过 AB 的中点时,则所求直线的斜率为2 + 11 3= 32,故所求直线方程为 2 = 32( 1),即3 +2 7 = 0综上所述,所求直线方程为4 + 6 = 0或3 +2 7 = 0故答案为:4 + 6 = 0或3 +2 7 = 014.已知 m,n,a, ,且满足3 +4 = 6,6 +8 = 1,则 ( )2+ ( )2的最小值为 【答案】1110【解析】设点(,),(,),直线1:3 +4 = 6,直线2:6 +8 = 1由题意知点(,)在直线1:3 +4 = 6即6 +8 = 12上,点(,)在直线2:6 +8 = 1上,| =( )2+ ( )2,由1/2,得|=|12 1|62+ 82=1110故答案为: 111015.已知实数,满足方程2+ 2 4 + 1 = 0,则下列说法 的最大值为 6 2. 2+2的最大值为7 + 4 3. 的最大值为32. + 的最大值为2 +3错误的是_【答案】 【解析】实数 x,y 满足方程2+ 2 4 +1 = 0,即( 2)2+ 2= 3,所以把(,)看作是以(2,0)为圆心,以 3为半径的圆;令 = , = , + = ,则三条直线都与圆有公共点,所以| + 2|23,|2|2+ 13,|2 |23,解得 6 2 6 2, 3 3,2 6 2 +6,所以 的最大值为 6 2,= 的最大值为 3, + 的最大值为2 +6,所以选项正确,错误;原点到圆心的距离为 = 2,所以圆上的点到原点的距离的范围为2 3,2 +3,所以 2+ 2 2 +3,即2+ 2 7 + 4 3,所以2+ 2的最大值为7 + 4 3,正确16.从圆1:2 2 + 2 2 2 = 0上任一点 P 向圆2:2 2 + 2 2 +1 = 0作两条切线,切点分别为 A,B,则 = _【答案】32【解析】圆1:2 2 + 2 2 2 = 0即( 1)2+ ( 1)2= 4,则1(1,1),半径为 2;圆2:2 2 + 2 2 +1 = 0即( 1)2+ ( 1)2= 1,则2(1,1),半径为 1,所以1,2重合,记为 C,由题意得 = 2, = = 1,且 , ,则 = =22 12=3,所以 = = 30即 = 60,则 =|cos60 =3 3 12=32故答案为32 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知 的顶点坐标为(0,5),(1, 2),( 5,4)(1)求 的 BC 边上的高所在直线的方程;(2)求直线 AB 的方程及 的面积【解析】(1)=4 + 25 1= 1,所求直线斜率为 1,由直线斜截式方程得 = +5,故所求直线方程为 +5 = 0,(2)=5 + 20 1= 7,由直线斜截式方程得 = 7 +5,故直线 AB 的方程为7 + 5 = 0,| =(0 1)2+ (5 + 2)2= 5 2,点 C 到直线 AB 的距离为|7 ( 5) + 4 5|72+ 12=3652,所以 的面积为12 5 2 3652= 1818.已知关于 x,y 的方程(1)若方程 C 表示为圆,求实数 m 的取值范围;(2)当时,曲线 C 与直线相交于 M,N 两点,求的值【解析】(1)方程 C 可化为( 1)2+( 2)2= 5 2,当5 2 0,即 52时,方程 C 表示为圆 (2) 由 = 2 52可知,曲线 C 为圆,圆的方程为( 1)2+( 2)2= 9,圆心(1,2),半径 = 3,圆 C 的圆心(1,2),到直线:2 + +1 = 0的距离 =|2 + 2 + 1|12+ 22=5,圆 C 的半径 = 3,由2= 2+(12|)2,解得| = 2 2 2= 2 9 5 = 419.已知直线 l 经过点( 2,3)(1)若原点到直线 l 的距离为 2,求直线 l 的方程;(2)若直线 l 被两条相交直线1:2 2 = 0和2: + +3 = 0所截得的线段恰被点 P 平分,求直线 l 的方程【解析】(1) 直线 l 的斜率不存在时,显然成立,直线方程为 = 2 当直线斜率存在时,设直线方程为 3 = ( + 2), 由原点到直线 l 的距离为 2,可得|2 + 3|2+ 1= 2,解得 = 512, 故直线 l 的方程为 3 = 512( + 2),即 = 512 +136, 综上,所求直线方程为 = 2或 = 512 +136 (2) 设直线 l 夹在直线1,2之间的线段为(在1上,B 在2上), A、B 的坐标分别设为(1,1)、(2,2), 因为 AB 被点 P 平分,所以1+ 2= 4,1+ 2= 6, 于是2= 4 1,2= 6 1, 由于 A 在1上,B 在2上,即21 1 2 = 02+ 2+ 3 = 0,解得1=73,1=83, 即 A 的坐标是73,83,故直线 l 的方程是 383 3= + 273+ 2,即 = 13+371320. (1)已知一条直线经过两条直线1:2 3 4 = 0和2: +3 11 = 0的交点,并且垂直于这个交点和原点的连线,求此直线方程;(2)过点( 5, 4)作一直线 l,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5,求直线 l 的方程【解析】 (1) 联立2 3 4 = 0 + 3 11 = 0可得 = 5, = 2,故两条直线1:2 3 4 = 0和2: +3 11 = 0的交点(5,2),由于 OP 的斜率为25,所以所求直线的斜率为 52,故所求直线方程为 2 = 52( 5),即5 +2 29 = 0; (2) 由题意可知,直线在坐标轴上截距一定存在,设直线方程为+= 1,(, 0),则由题意可得5+4= 112| = 5,解得 = 52 = 4或 = 5 = 2,故直线方程为52+4= 1或5+2= 1,即8 5 +20 = 0或2 5 10 = 021.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆:2+ 2 4 = 0及点( 1,0),(1,2)(1)若直线 l 平行于 AB,与圆 C 相交于 M,N 两点, = ,求直线 l 的方程;(2)在圆 C 上是否存在点 P,使得2+ 2= 12?若存在,求点 P 的个数;若不存在,说明理由【解析】(1)圆 C 的标准方程为( 2)2+ 2= 4,所以圆心(2,0),半径为 2因为/,( 1,0),(1,2),所以直线 l 的斜率为2 01 ( 1)= 1,设直线 l 的方程为 + = 0,则圆心 C 到直线 l 的距离为 =|2 0 + |2=|2 + |2因为 = =22+ 22= 2 2,而2= 2+ (2)2,所以4 =(2 + )22+2,解得 = 0或 = 4,故直线 l 的方程为 = 0或 4 = 0 (2)假设圆 C 上存在点 P,设(,),则( 2)2+ 2= 4,2+ 2 = ( + 1)2+ ( 0)2+ ( 1)2+ ( 2)2= 12,即2+ 2 2 3 = 0,即2+ ( 1)2= 4. 因为|2 2| (2 0)2+ (0 1)2 2 + 2. 所以圆( 2)2+ 2= 4与圆2+ ( 1)2= 4相交,所以点 P 的个数为 222.若圆 C 经过坐标原点和点(6,0),且与直线 = 1相切,从圆 C 外一点(,)向该圆引切线 PT,T 为切点,(1)求圆 C 的方程;(2)已知点(2, 2),且| = |,试判断点 P 是否总在某一定直线 l 上,若是,求出 l 的方程;若不是,请说明理由;(3)若(2)中直线 l 与 x 轴的交点为 F,点,是直线 = 6上两动点,且以,为直径的圆 E 过点 F,圆 E 是否过定点?证明你的结论【解析】 (1)设圆心(,),由题易得 = 3,半径 = |1 | =9 + 2,得 = 4, = 5, 圆 C 的方程为( 3)2+( +4)2= 25 (2)由题可得 , | =|2 |2=( 3)2+ ( + 4)2 25,| =( 2)2+ ( + 2)2,( 3)2+ ( + 4)2 25 =( 2)2+ ( + 2)2,整理得 2 +4 = 0, 点 P 总在直线 2 +4 = 0上 (3)证明:( 4,0),由题可设点(6,1),(6,2),则圆心(6,1+ 22),半径 =|1 2|2,从而圆 E 的方程为( 6)2+( 1+ 22)2=(1 2)24,整理得2+ 2 12 (1+ 2) +36 + 12= 0又点 F 在圆 E 上,故 = 0,得12= 100,所以2+ 2 12 (1+ 2) 64 = 0,令 = 0得2 12 64 = 0,所以 = 16或 = 4, 圆 E 过定点(16,0)和( 4,0)
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