第13讲圆锥曲线定点定值探究性问题 讲义（学生版+教师版）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册.rar

第 13 讲 圆锥曲线定点定值探究性问题考点分析通过比较近几年的高考题，不难发现，集中考察的是抛物线和椭圆，椭圆出现的较多，主要考察的是直线与椭圆或抛物线的位置关系，近几年也出现了与圆的综合问题，难度没有特别大的跳跃，比较平稳，都是以运算为主要考察对象.从考查形式上分析，主要是求解圆锥曲线方程，轨迹问题（也涉及到挖点） ，定点问题，范围问题等.特训典例题型一题型一 定点问题定点问题例例 1 (2017全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，四点 P1(1,1)，P2(0，1)，P3(1，32)，P4(1，32)中恰有三点在椭圆 C 上(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.特训跟踪 1 （2020全国 1 卷）已知 A、B 分别为椭圆 E：2221xya（a1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，8AG GB ，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点.2.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F(3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设不经过点 B(0,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，若点 B 在以线段 MN 为直径的圆上，证明 ：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标定点问题(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为 k)；利用条件找到 k 与过定点的曲线 F(x，y)0 之间的关系，得到关于 k与 x，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.题型二 定值问题题型二 定值问题例例 2 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆x29y241 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 NP 2NM .(1)求点 P 的轨迹 E 的方程；(2)过 F(1,0)的直线 l1与点 P 的轨迹交于 A，B 两点，过 F(1,0)作与 l1垂直的直线 l2与点 P 的轨迹交于 C，D两点，求证：1|AB|1|CD|为定值例例 3（2020新全国 1 山东）已知椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点 A（2，1） （1）求 C 的方程：（2）点 M，N 在 C 上，且 AMAN，ADMN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值特训跟踪 1.（2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）已知椭圆22122:10 xyEabab与抛物线22:4Eyx在第一象限的交点为P，椭圆1E的左、右焦点分别为12,F F，其中2F也是抛物线2E的焦点，且253PF .（1）求椭圆1E的方程；（2）过2F的直线l（不与x轴重合）交椭圆1E于MN、两点，点A为椭圆1E的左顶点，直线AMAN、分别交直线4x 于点BC、，求证：2BF C为定值.题型二 探究存在性问题题型二 探究存在性问题例例 4 (2015全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yx24与直线 l：ykxa(a0)交于 M，N 两点(1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由.定值问题(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示 ； 将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.例例 5 已知圆 C：(x1)2y214，一动圆与直线 x12相切且与圆 C 外切(1)求动圆圆心 P 的轨迹 T 的方程；(2)若经过定点 Q(6,0)的直线 l 与曲线 T 交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的平行线与曲线T 相交于点 N，试问是否存在直线 l，使得 NANB，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由特训跟踪 1.（2020山东滕州市第一中学高三 3 月模拟） 已知椭圆的离心率为22， 椭圆C截直线所得的线段的长度为2 2.（）求椭圆C的方程； （）设直线l与椭圆C交于两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.特训练习1.(2019北京高考)已知抛物线 C：x22py 经过点(2，1)(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程；探究、存在性问题存在性问题的解法：先假设存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在要注意的是：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.(2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点2(2019全国卷)已知曲线 C：yx22，D 为直线 y12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.(1)证明：直线 AB 过定点；(2)若以 E(0，52)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积3.（2020 届山东省淄博市高三二模）已知椭圆222:9(0)Cxym m,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由4.（2020 届山东省泰安市肥城市一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：22221xyab的焦距为 2，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心，若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由.5.（2020山东高三下学期开学）已知12,F F分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线与x轴交于点A，直线与直线的交点为B.（1）证明：点B恒在椭圆C上.（2）设直线与椭圆C只有一个公共点P，直线与直线相交于点，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.6.（2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考）给定椭圆 C:22221xyab(0ab),称圆心在原点 O,半径为22ab的圆是椭圆 C 的“卫星圆”.若椭圆 C 的离心率22,点2,2在 C 上.(1)求椭圆 C 的方程和其“卫星圆”方程;(2)点 P 是椭圆 C 的 “卫星圆”上的一个动点,过点 P 作直线1l,2l使得1l2l,与椭圆 C 都只有一个交点,且1l,2l分别交其“卫星圆”于点 M,N,证明:弦长MN为定值.7.（2020 届山东省潍坊市高三模拟二）已知 P 是圆 F1： （x+1）2+y216 上任意一点，F2（1，0） ，线段 PF2的垂直平分线与半径 PF1交于点 Q，当点 P 在圆 F1上运动时，记点 Q 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的方程；（2）记曲线 C 与 x 轴交于 A，B 两点，M 是直线 x1 上任意一点，直线 MA，MB 与曲线 C 的另一个交点分别为 D，E，求证：直线 DE 过定点 H（4，0）.第 13 讲 圆锥曲线定点定值探究性问题考点分析通过比较近几年的高考题，不难发现，集中考察的是抛物线和椭圆，椭圆出现的较多，主要考察的是直线与椭圆或抛物线的位置关系，近几年也出现了与圆的综合问题，难度没有特别大的跳跃，比较平稳，都是以运算为主要考察对象.从考查形式上分析，主要是求解圆锥曲线方程，轨迹问题（也涉及到挖点） ，定点问题，范围问题等.特训典例题型一题型一 定点问题定点问题例例 1 (2017全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，四点 P1(1,1)，P2(0，1)，P3(1，32)，P4(1，32)中恰有三点在椭圆 C 上(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.解(1)由于 P3，P4两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 P3，P4两点(1 分)又由1a21b21a234b2知，椭圆 C 不经过点 P1，所以点 P2在椭圆 C 上(2 分)因此Error!Error!解得Error!Error!故椭圆 C 的方程为x24y21.(4 分)(2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2.如果 l 与 x 轴垂直，设 l：xt，由题设知 t0，且|t|0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28km4k21，x1x24m244k21.(6 分)而 k1k2y11x1y21x2kx1m1x1kx2m1x22kx1x2m1x1x2x1x2.(7 分)由题设 k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.(8 分)即(2k1)4m244k21(m1)8km4k210，解得 km12. 关键 2： 设出直线 l 的方程，并与椭圆方程联立消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及条件找到直线 l 中两个参数的关系(9 分)当且仅当 m1 时，0，于是 l：ym12xm，即 y1m12(x2)，所以 l 过定点(2，1) 关键 3：将 km12代入直线 l 的方程，变形得到直线所过的定点(12 分)特训跟踪 1 （2020全国 1 卷）已知 A、B 分别为椭圆 E：2221xya（a1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，8AG GB ，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点.定点问题(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为 k)；利用条件找到 k 与过定点的曲线 F(x，y)0 之间的关系，得到关于 k与 x，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【答案】 （1）2219xy； （2）证明详见解析.【解析】 （1）由已知可得 ：,0Aa， ,0B a，0,1G，即可求得21AG GBa ，结合已知即可求得：29a ，问题得解（2）设06,Py，可得直线AP的方程为 ：039yyx，联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C的坐标为20022003276,99yyyy，同理可得点D的坐标为2002200332,11yyyy，即可表示出直线CD的方程，整理直线CD的方程可得：0204323 3yyxy，命题得证.【详解】 （1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)xEyaa可得：,0Aa， ,0B a，0,1G,1AGa，, 1GBa 218AG GBa ，29a 椭圆方程为：2219xy（2）证明：设06,Py，则直线AP的方程为：00363yyx ，即：039yyx.联立直线AP的方程与椭圆方程可得：2201939xyyyx，整理得：2222000969810yxy xy，解得：3x 或20203279yxy将20203279yxy代入直线039yyx可得：02069yyy所以点C的坐标为20022003276,99yyyy.同理可得：点D的坐标为2002200332,11yyyy直线CD的方程为：0022200002222000022006291233327331191yyyyyyyxyyyyyy，整理可得：2220000002224200000832338331116 96 3yyyyyyyxxyyyyy整理得：0002220004243323 33 3yyyyxxyyy故直线CD过定点3,022.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F(3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设不经过点 B(0,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，若点 B 在以线段 MN 为直径的圆上，证明 ：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标解：(1)由题意得，c3，ab2，a2b2c2，a2，b1，椭圆 C 的标准方程为x24y21.(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立Error!Error!消去 y，可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)0，x1x28km4k21，x1x24m244k21.点 B 在以线段 MN 为直径的圆上， BM BN 0. BM BN (x1，kx1m1)(x2，kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，(k21)4m244k21k(m1)8km4k21(m1)20，整理，得 5m22m30，解得 m35或 m1(舍去)直线 l 的方程为 ykx35.易知当直线 l 的斜率不存在时，不符合题意故直线 l 过定点，且该定点的坐标为(0，35).题型二 定值问题题型二 定值问题例例 2 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆x29y241 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 NP 2NM .(1)求点 P 的轨迹 E 的方程；(2)过 F(1,0)的直线 l1与点 P 的轨迹交于 A，B 两点，过 F(1,0)作与 l1垂直的直线 l2与点 P 的轨迹交于 C，D两点，求证：1|AB|1|CD|为定值解(1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0,0) NP 2 NM ，(xx0，y) 2(0，y0)，x0 x，y0y2.又点 M 在椭圆上，x29(y2)241，即x29y281.点 P 的轨迹 E 的方程为x29y281.(2)证明：由(1)知 F 为椭圆x29y281 的右焦点，当直线 l1与 x 轴重合时，|AB|6，|CD|2b2a163，1|AB|1|CD|1748.当直线 l1与 x 轴垂直时，|AB|163，|CD|6，1|AB|1|CD|1748.当直线 l1与 x 轴不垂直也不重合时，可设直线 l1的方程为 yk(x1)(k0)，则直线 l2的方程为 y1k(x1)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立Error!消去 y，得(89k2)x218k2x9k2720，则 (18k2)24(89k2)(9k272)2 304(k21)0，x1x218k289k2，x1x29k27289k2，|AB| 1k2 x1x224x1x2481k289k2.同理可得|CD|481k298k2.1|AB|1|CD|89k248k2198k248k211748.综上可得1|AB|1|CD|为定值例例 3（2020新全国 1 山东）已知椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点 A（2，1） （1）求 C 的方程：（2）点 M，N 在 C 上，且 AMAN，ADMN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值【答案】 （1）； （2）详见解析.【解析】(1)由题意得到关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点 M，N 的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到 m,k 的关系，进而得直线 MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点 Q 的位置.【详解】(1)由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.(2)设点.因为 AMAN， ， 即,当直线 MN 的斜率存在时，设方程为,如图 1.代入椭圆方程消去y并整理得： ,根据,代入整理可得： 将代入，整理化简得,不在直线上，于是 MN 的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线 MN 的斜率不存在时，可得,如图 2.代入得,结合,解得,此时直线 MN 过点, 由于 AE 为定值，且ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以 AE 中点 Q 满足为定值（AE 长度的一半）.由于，故由中点坐标公式可得.故存在点，使得|DQ|为定值.特训跟踪 1.（2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）已知椭圆22122:10 xyEabab与抛物线22:4Eyx在第一象限的交点为P，椭圆1E的左、右焦点分别为12,F F，其中2F也是抛物线2E的焦点，且253PF .定值问题(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示 ； 将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.（1）求椭圆1E的方程；（2）过2F的直线l（不与x轴重合）交椭圆1E于MN、两点，点A为椭圆1E的左顶点，直线AMAN、分别交直线4x 于点BC、，求证：2BF C为定值.【答案】 （1）； （2）证明见解析.【解析】 （1）抛物线的焦点为，又，又，椭圆1E的方程是：；（2）设当直线l与x轴垂直时，易得：或，又，或者，当直线l与x不垂直时，设直线l的方程为：，联方程组，消去y整理得：，所以：，又共线，得，同理：，又因为，则，综上，为定值.题型二 探究存在性问题题型二 探究存在性问题例例 4 (2015全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yx24与直线 l：ykxa(a0)交于 M，N 两点(1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由.解(1)由题设可得 M(2a，a)，N(2a，a)，或 M(2a，a)，N(2a，a)(1 分)又 yx2，故 yx24在 x2a处的导数值为a，C 在点(2a，a)处的切线方程为 yaa(x2a)，即axya0.(3 分)yx24在 x2a处的导数值为a，C 在点(2a，a)处的切线方程为yaa(x2a)，即axya0.(5 分)故所求切线方程为axya0 和axya0.(6 分)(2)存在符合题意的点，证明如下：设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2.将 ykxa 代入 C 的方程得 x24kx4a0.故 x1x24k，x1x24a. 关键 1：设出 P 点坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系写出 M，N 横坐标与参数的关系(8 分)从而 k1k2y1bx1y2bx22kx1x2abx1x2x1x2kaba. 关键 2：用参数表示 PM，PN 的斜率和(10 分)当 ba 时，有 k1k20，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意 关键 3：用 PM，PN 的斜率和等于零说明OPMOPN，得出定点(12 分)例例 5 已知圆 C：(x1)2y214，一动圆与直线 x12相切且与圆 C 外切(1)求动圆圆心 P 的轨迹 T 的方程；(2)若经过定点 Q(6,0)的直线 l 与曲线 T 交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的平行线与曲线T 相交于点 N，试问是否存在直线 l，使得 NANB，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解(1)设 P(x，y)，分析可知动圆的圆心不能在 y 轴的左侧，故 x0，因为动圆与直线 x12相切，且与圆 C 外切，所以|PC|(x12)12，所以|PC|x1，所以 x12y2x1，化简可得 y24x.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，当直线 l 与 y 轴垂直时，显然不符合题意，故可设直线 l 的方程为xmy6，联立Error!消去 x，可得 y24my240，显然 16m2960，则Error!所以 x1x2(my16)(my26)4m212，因为 x1x2y2 14y2 24，所以 x1x236，假设存在 N(x0，y0)，使得 NA NB 0，由题意可知 y0y1y22，所以 y02m，由 N 点在抛物线上可知 x0y2 04，即 x0m2，又 NA (x1x0，y1y0)， NB (x2x0，y2y0)，若 NA NB 0，则 x1x2x0(x1x2)x2 0y1y2y0(y1y2)y2 00，由代入上式化简可得：3m416m2120，即(m26)(3m22)0，所以 m223，故 m63，所以存在直线 3x6y180 或 3x6y180，使得 NANB.特训跟踪 1.（2020山东滕州市第一中学高三 3 月模拟） 已知椭圆的离心率为22， 椭圆C截直线所得的线段的长度为2 2.（）求椭圆C的方程； （）设直线l与椭圆C交于两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.【答案】 （）（）见解析【解析】 ()由解得 得椭圆C的方程为. （）当直线l的斜率不存在时，直线AB的方程为或，探究、存在性问题存在性问题的解法：先假设存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在要注意的是：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.此时四边形的面积为 当直线l的斜率存在时，设直线l方程是，联立椭圆方程 ， 点O到直线AB的距离是 由得因为点D在曲线C上，所以有整理得由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为由得, 故四边形的面积是定值，其定值为特训练习1.(2019北京高考)已知抛物线 C：x22py 经过点(2，1)(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程；(2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点解：(1)由抛物线 C：x22py 经过点(2，1)，得 p2.所以抛物线 C 的方程为 x24y，其准线方程为 y1.(2)证明：抛物线 C 的焦点为 F(0，1)设直线 l 的方程为 ykx1(k0)由Error!得 x24kx40.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x24.直线 OM 的方程为 yy1x1x.令 y1，得点 A 的横坐标 xAx1y1.同理得点 B 的横坐标 xBx2y2.设点 D(0，n)，则 DA (x1y1，1n)，DB (x2y2，1n)， DA DB x1x2y1y2(n1)2x1x2(x2 14)(x2 24)(n1)216x1x2(n1)24(n1)2.令 DA DB 0，即4(n1)20，得 n1 或 n3.综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0,1)和(0，3)2(2019全国卷)已知曲线 C：yx22，D 为直线 y12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.(1)证明：直线 AB 过定点；(2)若以 E(0，52)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积解：(1)证明：设 D(t，12)，A(x1，y1)，则 x2 12y1.因为 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故y112x1tx1.整理得 2tx12y110.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210.故直线 AB 的方程为 2tx2y10.所以直线 AB 过定点(0，12).(2)由(1)得直线 AB 的方程为 ytx12.由Error!可得 x22tx10.于是 x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB| 1t2|x1x2| 1t2 x1x224x1x22(t21)设 d1，d2分别为点 D，E 到直线 AB 的距离，则 d1 t21，d22t21 .因此，四边形 ADBE 的面积 S12|AB|(d1d2)(t23) t21.设 M 为线段 AB 的中点，则 M(t，t212).因为 EM AB ，而 EM (t，t22)， AB 与向量(1，t)平行，所以 t(t22)t0，解得 t0 或 t1.当 t0 时，S3；当 t1 时，S4 2.因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2.3.（2020 届山东省淄博市高三二模）已知椭圆222:9(0)Cxym m,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由【答案】 （）详见解析； （）能，47或47【解析】 (1)设直线，由得，直线OM的斜率，即即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值（2）四边形OAPB能为平行四边形直线l过点(,)3mm，l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0k ，3k 由 ()得OM的方程为9yxk 设点P的横坐标为Px由2229,9,yxkxym 得，即将点(,)3mm的坐标代入直线l的方程得(3)3mkb，因此2(3)3(9)Mmk kxk四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即2PMxx239kmk2(3)23(9)mk kk解得147k ，0,3iikk，1i ，2，当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形4.（2020 届山东省泰安市肥城市一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：22221xyab的焦距为 2，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心，若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由.【答案】 （1）2212xy（2）存在，【解析】（1）由已知可得：解得，所以椭圆C：2212xy.（2）由已知可得，1,0F，设直线l的方程为：，代入椭圆方程整理得，设，则，.即，因为，即.所以，或.又时，直线l过B点，不合要求，所以.故存在直线l：满足题设条件.5.（2020山东高三下学期开学）已知12,F F分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线与x轴交于点A，直线与直线的交点为B.（1）证明：点B恒在椭圆C上.（2）设直线与椭圆C只有一个公共点P，直线与直线相交于点，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.【答案】 （1）见解析（2）存在，【解析】（1）证明：由题意知，设，则.直线的方程为，直线的方程为，联立可得，即B的坐标为.因为，所以B点恒在椭圆C上.（2）解 ： 当直线的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线的方程为，由对称性可知，若平面内存在定点，使得恒成立，则一定在x轴上，故设，由可得.因为直线与椭圆C只有一个公共点，所以，所以.又因为，所以，即.所以对于任意的满足的恒成立，所以解得.故在平面内存在定点，使得恒成立.6.（2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考）给定椭圆 C:22221xyab(0ab),称圆心在原点 O,半径为22ab的圆是椭圆 C 的“卫星圆”.若椭圆 C 的离心率22,点2,2在 C 上.(1)求椭圆 C 的方程和其“卫星圆”方程;(2)点 P 是椭圆 C 的 “卫星圆”上的一个动点,过点 P 作直线1l,2l使得1l2l,与椭圆 C 都只有一个交点,且1l,2l分别交其“卫星圆”于点 M,N,证明:弦长MN为定值.【答案】(1),;(2)证明见解析.【解析】 (1)由条件可得:解得，所以椭圆的方程为，卫星圆的方程为(2)当1l，2l中有一条无斜率时，不妨设1l无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当1l方程为时，此时1l与“卫星圆”交于点和，此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是或2y ，即2l为或2y ，线段应为“卫星圆”的直径，当1l，2l都有斜率时，设点，其中，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则，消去 y 得到，所以，满足条件的两直线1l，2l垂直线段应为“卫星圆”的直径，综合知 ： 因为1l，2l经过点，又分别交“卫星圆”于点，且1l，2l垂直，所以线段是“卫星圆”的直径，为定值7.（2020 届山东省潍坊市高三模拟二）已知 P 是圆 F1： （x+1）2+y216 上任意一点，F2（1，0） ，线段 PF2的垂直平分线与半径 PF1交于点 Q，当点 P 在圆 F1上运动时，记点 Q 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的方程；（2）记曲线 C 与 x 轴交于 A，B 两点，M 是直线 x1 上任意一点，直线 MA，MB 与曲线 C 的另一个交点分别为 D，E，求证：直线 DE 过定点 H（4，0）.【答案】 （1）（2）证明见解析【解析】（1）由已知|QF1|+|QF2|QF1|+|QP|PF1|4，所以点 Q 的轨迹为以为 F1，F2焦点，长轴长为 4 的椭圆，故 2a4，a2，c1，b2a2c23所以曲线 C 的方程为（2）由（1）可得 A（2，0） ，B（2，0） ，设点 M 的坐标为（1，m）直线 MA 的方程为：将与联立消去 y 整理得： （4m2+27）x2+16m2x+16m21080，设点 D 的坐标为（xD，yD） ，则，故，则直线 MB 的方程为：ym（x2）将 ym（x2）与联立消去 y 整理得： （4m2+3）x216m2x+16m2120设点 E 的坐标为（xE，yE） ，则，故，则HD 的斜率为HE 的斜率为因为 k1k2，所以直线 DE 经过定点 H.