2.1 直线的倾斜角与斜率-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率要点一、直线的倾斜角要点一、直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以，倾斜角的范围是0180要点诠释：要点诠释：1.要清楚定义中含有的三个条件直线向上方向；x轴正向；小于180的角.2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3.倾斜角的范围是0180.当0时，直线与 x 轴平行或与 x 轴重合.4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.要点二、直线的斜率要点二、直线的斜率1定义：定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即tank要点诠释：要点诠释：(1)当直线l与 x 轴平行或重合时，=0，k=tan0=0；(2)直线l与 x 轴垂直时，=90，k 不存在.由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率 k 不一定存在.2直线的倾斜角直线的倾斜角与斜率与斜率k之间的关系之间的关系由斜率的定义可知，当在(0 90 )，范围内时，直线的斜率大于零；当在(90 180 )，范围内时，直线的斜率小于零；当0 时，直线的斜率为零；当90时，直线的斜率不存在直线的斜率与直线的倾斜角(90除外)为一一对应关系，且在0 90，和(90 180 )，范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然因此若需在0 90，或(90 180 )，范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然要点三、斜率公式要点三、斜率公式已知点111( ,)P x y、222(,)P xy，且12PP与x轴不垂直，过两点111( ,)P x y、222(,)P xy的直线的斜率公式2121yykxx.要点诠释：要点诠释：1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当 x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90，直线与 x 轴垂直；(2)k 与 P1、P2顺序无关，即 y1，y2和 x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换 ；(3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当 y1=y2时，斜率 k=0，直线的倾斜角=0，直线与 x 轴平行或重合；(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由1P、2P点的坐标求k的值；(2)已知k及1122,x y xy中的三个量可求第四个量；(3)已知k及1P、2P的横坐标(或纵坐标)可求12|PP；(4)证明三点共线.要点四、两直线平行的条件要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线21,ll的斜率分别为21,kk.若21/ll，则1l与2l的倾斜角1与2相等.由21，可得，即.因此，若21/ll，则21kk .反之，若21kk ，则21/ll.要点诠释：要点诠释：1.公式2121/kkll成立的前提条件是两条直线的斜率存在分别为21kk ，；21ll 与不重合；2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，21ll 与的倾斜角都是90，则21/ll.要点五、两直线垂直的条件要点五、两直线垂直的条件设两条直线21,ll的斜率分别为21,kk.若21ll ，则121kk.要点诠释：要点诠释：1.公式12121kkll成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，两条直线也垂直.【典型例题】【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率类型一：直线的倾斜角与斜率例 1设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45，得到直线1l，则直线l1的倾斜角为（ ）A+45 B135C135D当 0180时，为+45，当 135180时，为13521tantan21kk 举一反三：举一反三：【变式 1】 下列说法中，正确的是（ ）A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 tanB直线的斜率为 tan，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则 sin0D任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率例 2如图所示，直线1l的倾斜角130，直线1l与2l垂直，求1l，2l的斜率举一反三：举一反三：【变式 1】直线cos320 xy的倾斜角的范围是（ ）A5,6 226 B50,66 C50,6 D5,66【答案】B【解析】由直线cos320 xy，所以直线的斜率为cos3k 设 直 线 的 倾 斜 角 为， 则costan3 又 因 为3cos3333 ， 即33tan33， 所以50,66类型二：过两点的直线斜率公式的应用类型二：过两点的直线斜率公式的应用例 3若 aN，又三点 A（a，0） ，B（0，a+4） ，C（1，3）共线，求 a 的值举一反三：举一反三：【变式 1】已知 A（3，5） ，B（1，3） ，C（5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上例 4已知直线l经过点 P（1，1） ，且与线段 MN 相交，又 M（2，3） ，N（3，2） ，求直线l的斜率 k 的取值范围举一反三：举一反三：【变式 1】知直线l过点( 1,2)P ，且与以( 2, 3), (3,0)AB为端点的线段AB相交，求直线l斜率的取值范围.例 5已知实数 x，y 满足 2x+y=8，且 2x3，求yx的最大值和最小值举一反三：举一反三：【变式 1】已知函数( )f x（0 x1）的图象如图，若 0 x1x21，则（ ）A1212()()f xf xxx B1212()()f xf xxxC1212()()f xf xxx D前三个判断都不正确类型三：两条直线平行的条件类型三：两条直线平行的条件例 6已知1l经过 A（3，3） ，B（8，6） ，2l经过21,62M，9, 32N，求证：12/ll举一反三：举一反三：【变式 1】已知直线1l：(k3)x+(4k)y+1=0 与2l：2(k3)x2y+3=0 平行，则 k 的值是_例 7已知平行四边形的三个顶点 A（2，1） ，B（1，3） ，C（3，4） ，求第四个顶点 D 的坐标举一反三：举一反三：【变式 1】若三条直线 ax+y+1=0，x+ay+1=0，x+y+a=0 能构成三角形，求 a 的取值范围。类型四：两条直线垂直的条件类型四：两条直线垂直的条件例 8定点 A（1，3） ，B（4，2） ，以 A，B 为直径的端点，作圆与 x 轴交于点 C，求交点 C 的坐标举一反三：举一反三：【变式 1】若直线250 xy与直线260 xmy互相垂直，则实数m= 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率要点一、直线的倾斜角要点一、直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以，倾斜角的范围是0180要点诠释：要点诠释：1.要清楚定义中含有的三个条件直线向上方向；x轴正向；小于180的角.2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3.倾斜角的范围是0180.当0时，直线与 x 轴平行或与 x 轴重合.4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.要点二、直线的斜率要点二、直线的斜率1定义：定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即tank要点诠释：要点诠释：(1)当直线l与 x 轴平行或重合时，=0，k=tan0=0；(2)直线l与 x 轴垂直时，=90，k 不存在.由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率 k 不一定存在.2直线的倾斜角直线的倾斜角与斜率与斜率k之间的关系之间的关系由斜率的定义可知，当在(0 90 )，范围内时，直线的斜率大于零；当在(90 180 )，范围内时，直线的斜率小于零；当0 时，直线的斜率为零；当90时，直线的斜率不存在直线的斜率与直线的倾斜角(90除外)为一一对应关系，且在0 90，和(90 180 )，范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然因此若需在0 90，或(90 180 )，范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然要点三、斜率公式要点三、斜率公式已知点111( ,)P x y、222(,)P xy，且12PP与x轴不垂直，过两点111( ,)P x y、222(,)P xy的直线的斜率公式2121yykxx.要点诠释：要点诠释：1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当 x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90，直线与 x 轴垂直；(2)k 与 P1、P2顺序无关，即 y1，y2和 x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换 ；(3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当 y1=y2时，斜率 k=0，直线的倾斜角=0，直线与 x 轴平行或重合；(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由1P、2P点的坐标求k的值；(2)已知k及1122,x y xy中的三个量可求第四个量；(3)已知k及1P、2P的横坐标(或纵坐标)可求12|PP；(4)证明三点共线.要点四、两直线平行的条件要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线21,ll的斜率分别为21,kk.若21/ll，则1l与2l的倾斜角1与2相等.由21，可得，即.因此，若21/ll，则21kk .反之，若21kk ，则21/ll.要点诠释：要点诠释：1.公式2121/kkll成立的前提条件是两条直线的斜率存在分别为21kk ，；21ll 与不重合；2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，21ll 与的倾斜角都是90，则21/ll.要点五、两直线垂直的条件要点五、两直线垂直的条件设两条直线21,ll的斜率分别为21,kk.若21ll ，则121kk.要点诠释：要点诠释：1.公式12121kkll成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，两条直线也垂直.【典型例题】【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率类型一：直线的倾斜角与斜率例 1设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45，得到直线1l，则直线l1的倾斜角为（ ）A+45 B135C135D当 0135时，为+45，当 135180时，为135【答案】D【解析】倾斜角的范围是0，180） ，因此，只有当+450，180） ，即当 013521tantan21kk 时，1l的倾斜角才是+45，而当 135180时，1l的倾斜角为135故应选 D举一反三：举一反三：【变式 1】 下列说法中，正确的是（ ）A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 tanB直线的斜率为 tan，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则 sin0D任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率【答案】D【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系对于 A，当=90时，直线的斜率不存在，A 错；对于 B，虽然直线的斜率为 tan，但只有当0，180）时，才是此直线的倾斜角，B 错；对于 C，当直线平行于 x 轴时，=0，而sin0=0，C 错应选 D例 2如图所示，直线1l的倾斜角130，直线1l与2l垂直，求1l，2l的斜率【解析】由图形可知，2190，则 k1，k2可求直线1l的斜率113tantan303k 直线2l的倾斜角2=90+30=120，直线2l的斜率 k2=tan120=tan(18060)=tan60=3举一反三：举一反三：【变式 1】直线cos320 xy的倾斜角的范围是（ ）A5,6 226 B50,66 C50,6 D5,66【答案】B【解析】由直线cos320 xy，所以直线的斜率为cos3k 设 直 线 的 倾 斜 角 为， 则costan3 又 因 为3cos3333 ， 即33tan33， 所以50,66类型二：过两点的直线斜率公式的应用类型二：过两点的直线斜率公式的应用例 3若 aN，又三点 A（a，0） ，B（0，a+4） ，C（1，3）共线，求 a 的值【解析】A、B、C 三点共线，直线 AC、BC 的斜率相等，303(4)11 0aa解之得：a=2举一反三：举一反三：【变式 1】已知 A（3，5） ，B（1，3） ，C（5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上【解析】由题意可知直线 AB 的斜率3521 3ABk，直线 BC 的斜率11 325 1BCk因为 kAB=kBC，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点 B，所以 A，B，C 三点在同一直线上例 4已知直线l经过点 P（1，1） ，且与线段 MN 相交，又 M（2，3） ，N（3，2） ，求直线l的斜率 k 的取值范围【解析】如图，直线l相当于绕着点 P 在直线 PM 与 PN 间旋转， l是过 P 点且与 x 轴垂直的直线当l从 PN 位置转到 l位置时，倾斜角增大到 90，而34PNk，34k 又当l从 l位置转到 PM 位置时，倾斜角大于 90，由正切函数的性质知，kkPM=4，k4综上所述，3(, 4,4k 举一反三：举一反三：【变式 1】知直线l过点( 1,2)P ，且与以( 2, 3), (3,0)AB为端点的线段AB相交，求直线l斜率的取值范围.【答案】1,5,2 例 5已知实数 x，y 满足 2x+y=8，且 2x3，求yx的最大值和最小值【解析】 如图所示，由已知，点 P（x，y）在线段 AB 上运动，其中 A（2，4） ，B（3，2） ，而00yyxx，其几何意义为直线 OP 的斜率由图可知 kOBkOPkOA，而23OBk，kOA=2故所求的yx的最大值为 2，最小值为23举一反三：举一反三：【变式 1】已知函数( )f x（0 x1）的图象如图，若 0 x1x21，则（ ）A1212()()f xf xxx B1212()()f xf xxxC1212()()f xf xxx D前三个判断都不正确【答案】 A类型三：两条直线平行的条件类型三：两条直线平行的条件例 6已知1l经过 A（3，3） ，B（8，6） ，2l经过21,62M，9, 32N，求证：12/ll【解析】 直线1l的斜率为16338( 3)5k ，直线2l的斜率为26( 3)3219522k ，k1=k2，12/ll举一反三：举一反三：【变式 1】已知直线1l：(k3)x+(4k)y+1=0 与2l：2(k3)x2y+3=0 平行，则 k 的值是_【解析】当 k=3 时两条直线平行，当 k3 时有2234k 所以 k=5；故答案为：3 或 5例 7已知平行四边形的三个顶点 A（2，1） ，B（1，3） ，C（3，4） ，求第四个顶点 D 的坐标【 解 析 】 设1( , )D x y， 则 由 AC 中 点 也 是1BD中 点 ， 可 得2312214322xy ， 解 得22xy， 1(2,2)D同理可得，若构成以 AB 为对角线的平行四边形2ACBD，则2( 6,0)D ；以 BC 为对角线的平行四边形3ACD B，则3(4,6)D，第四个顶点 D 的坐标为： （2，2） ，或（6，0） ，或（4，6） 举一反三：举一反三：【变式 1】若三条直线 ax+y+1=0，x+ay+1=0，x+y+a=0 能构成三角形，求 a 的取值范围。【答案】aR ，a1，且 a2。【解析】三条直线不平行，且不过同一点。类型四：两条直线垂直的条件类型四：两条直线垂直的条件例 8定点 A（1，3） ，B（4，2） ，以 A，B 为直径的端点，作圆与 x 轴交于点 C，求交点 C 的坐标【解析】以线段 AB 为直径的圆与 x 轴的交点为 C，则 ACCB设 C（x，0） ，MJ 31ACkx，24BCkx32114xx ，去分母解得 x=1 或 2C（1，0）或 C（2，0） 举一反三：举一反三：【变式 1】若直线250 xy与直线260 xmy互相垂直，则实数m= 【答案】1【解析】直线250 xy与直线260 xmy互相垂直，所以220m，所以1m