第11讲 抛物线 讲义（学生版+教师版）-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册.rar

第 11 讲 抛物线玩前必备1抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(点 F 不在直线 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线. 当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线.2抛物线的标准方程和几何性质焦点在 x 轴上时，方程的右端为2px，左端为 y2；焦点在 y 轴上时，方程的右端为2py，左端为 x2. 标准y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离) 焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为p2.图形顶点O(0,0)对称轴x 轴y 轴焦点F(p2，0)F(p2，0)F(0，p2)F(0，p2)离心率e1准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中|PF|x0p2|PF|x0p2|PF|y0p2|PF|y0p2P(x0，y0)常用结论与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 为弦 AB 的倾斜角则(1)x1x2p24，y1y2p2.(2)|AF|p1cos ，|BF|p1cos .(3)弦长|AB|x1x2p2psin2.(4)1|AF|1|BF|2p.(5)以弦 AB 为直径的圆与准线相切玩转典例题型一抛物线的定义 例 1(1)若抛物线 y24x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则OFP 的面积为()A.12B1C.32 D2(2)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_例 2（2020天津河西.高二期末）已知抛物线2:8C xy的焦点为F，O为原点，点P是抛物线C的准线上的一动点，点A在抛物线C上，且4AF ，则PAPO的最小值为（）A4 2B2 13C3 13D4 6玩转跟踪 1 （2020全国高二课时练习）若抛物线216xy上一点00,xy到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则0y （ ）A12B2C1D22 （2020全国高二课时练习）已知点M是抛物线24xy上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：22(1)(4)1xy上一动点，则|MAMF的最小值为（ ）A3B4C5D63.（2020全国高二课时练习）已知抛物线24 ,yx上一点 P 到准线的距离为1d，到直线l:43110 xy为2d，则12dd的最小值为（ ）A3B4C5D7题型二抛物线方程和性质例 3(1)(2020全国卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x23py2p1 的一个焦点，则 p()A2 B3C4 D8(2)(2020武汉调研)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A，B，交其准线于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|6，则此抛物线方程为()Ay29xBy26xCy23xDy23x玩转跟踪 1已知抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，若FPM 为边长是 4 的等边三角形，则此抛物线的方程为_2 （2020全国高二课时练习）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F,点M在C上,5MF ,若以MF为直径的圆过点,则C的方程为（ ）A24yx或28yx B22yx或28yxC24yx或216yx D22yx或216yx题型三 题型三 直线和抛物线位置关系例 4例 4(2020全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P.(1)若|AF|BF|4，求 l 的方程；(2)若 AP 3 PB ，求|AB|.玩转跟踪1 （2020安徽高二期末）已知直线(2)(0)yk xk与抛物线2:8C yx相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若2FAFB,则 k=( )A13B23C23D2 232.已知直线1ykx与抛物线28xy相切，则双曲线2221xk y的离心率为（ ）A5B3C2D323.（2020四川南充.高二期末）已知过点 M（1，0）的直线 AB 与抛物线 y2=2x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 OA，OB 的斜率之和为 1，则直线 AB 方程为_题型四 题型四 抛物线二级结论例 5例 5过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A4B.92C5 D6例 6例 6设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为()A.334 B.938C.6332 D.94例 7例 7如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若 F 是 AC的中点，且|AF|4，则线段 AB 的长为()A5 B6C.163 D.203玩转跟踪1 （2020四川双流.棠湖中学）已知直线经过抛物线24xy的焦点，与抛物线相交于A，两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）ABC4D12 （2020江西赣州.高二月考 （理） ） 抛物线的焦点F是双曲线的一个焦点，过F且倾斜角为的直线l交C于，则（ ）ABCD3 （2020陕西汉台。高二期末（理） ）已知点A，是抛物线C：24yx上的两点，且线段过抛物线C的焦点F，若的中点到轴的距离为 2，则（ ）A2B4C6D8题型五 题型五 抛物线大题大题例 8例 8（2020临泽县第一中学高二期末（文） ）已知抛物线C：，过其焦点作斜率为 1的直线交抛物线C于A，两点，且线段的中点的纵坐标为 4.（1）求抛物线C的标准方程；（2）若不过原点O且斜率存在的直线l与抛物线C相交于D、两点，且.求证 ： 直线l过定点，并求出该定点的坐标.玩转跟踪1.（2020广西崇左.高二期末（理） ）如图，已知点 F 为抛物线 C：（）的焦点，过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，且当直线 l 的倾斜角为 45时，.（1）求抛物线 C 的方程.（2）试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.2 （2020陕西新城.西安中学高二月考（文） ）已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F 和椭圆的右焦点重合,直线 过点 F 交抛物线于 A、B 两点.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 交 y 轴于点 M,且,m、n 是实数,对于直线 ,m+n 是否为定值?若是,求出 m+n 的值；否则,说明理由.玩转练习1若抛物线 y28x 上一点 P 到其焦点的距离为 10，则点 P 的坐标为()A(8,8)B(8，8)C(8，8) D(8，8)2(2020广东广州一模)已知 F 为抛物线 C： y26x 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AF|3|BF|，则|AB|()A6 B8C10 D123(2020河南郑州二模)已知抛物线 C： y22x，过原点作两条互相垂直的直线分别交 C 于 A，B 两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离的最大值为()A2 B3C.32 D44(2020河南郑州二模)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l 过焦点 F 与抛物线 C 分别交于 A，B 两点，且直线 l 不与 x 轴垂直，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 T(5,0)，则 SAOB()A2 2 B.3C.6 D3 65(多选)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5.若以 MF 为直径的圆过点 A(0,2)，则 C 的方程为()Ay24x By28xCy22x Dy216x6(多选)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线的斜率为3且经过点 F，直线 l 与抛物线 C 交于A，B 两点(点 A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点 D，若|AF|4，则以下结论正确的是()Ap2 BF 为 AD 中点C|BD|2|BF| D|BF|27(多选)如图，已知椭圆 C1：x24y21，过抛物线 C2： x24y 焦点 F 的直线交抛物线于 M，N 两点，连接 NO，MO 并延长分别交 C1于 A，B 两点，连接 AB，OMN与OAB 的面积分别记为 SOMN，SOAB，则在下列命题中，正确的为()A若记直线 NO，MO 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2的大小是定值为14BOAB 的面积 SOAB是定值 1C线段 OA，OB 长度的平方和|OA|2|OB|2是定值 5D设 S OMNS OAB，则 28(2020江西九江二模)已知抛物线 C： x24y 的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，连接 AF 并延长交抛物线 C 于点 D，若 AB 中点的纵坐标为|AB|1，则当AFB 最大时，|AD|_.9(2020河北衡水三模)设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若 A，B，C 三点坐标分别为(1,2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且| FA | FB | FC |10，则 x1x2_.10过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，且倾斜角为 60的直线交抛物线于 A，B 两点，若|AF|BF|，且|AF|2，则 p_.11(2020江西萍乡一模)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线 l：x1，点 M 在抛物线 C 上，点 M 在直线 l：x1 上的射影为 A，且直线 AF 的斜率为3，则MAF 的面积为_12(一题两空)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，M 为抛物线上一点，O 为坐标原点OMF 的外接圆 N 与抛物线的准线相切，外接圆 N 的周长为 9.(1)抛物线的方程为_；(2)已知不与 y 轴垂直的动直线 l 与抛物线有且只有一个公共点， 且分别交抛物线的准线和直线 x3 于 A， B两点，则|AF|BF|_.13已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 22的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 OC OA OB ，求 的值14设抛物线 C：y22x，点 A(2,0)，B(2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明：ABMABN.15已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1，l2，设 l1与轨迹 C 相交于点 A，B，l2与轨迹 C 相交于点 D，E，求 AD EB 的最小值第 11 讲 抛物线玩前必备1抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(点 F 不在直线 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线. 当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线.2抛物线的标准方程和几何性质焦点在 x 轴上时，方程的右端为2px，左端为 y2；焦点在 y 轴上时，方程的右端为2py，左端为 x2. 标准y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离) 焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为p2.图形顶点O(0,0)对称轴x 轴y 轴焦点F(p2，0)F(p2，0)F(0，p2)F(0，p2)离心率e1准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中|PF|x0p2|PF|x0p2|PF|y0p2|PF|y0p2P(x0，y0)常用结论与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 为弦 AB 的倾斜角则(1)x1x2p24，y1y2p2.(2)|AF|p1cos ，|BF|p1cos .(3)弦长|AB|x1x2p2psin2.(4)1|AF|1|BF|2p.(5)以弦 AB 为直径的圆与准线相切玩转典例题型一抛物线的定义 例 1(1)若抛物线 y24x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则OFP 的面积为()A.12B1C.32 D2(2)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_解析(1)设 P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.又点 P 到焦点 F 的距离为 2，由定义知点 P 到准线的距离为 2.xP12，xP1.代入抛物线方程得|yP|2，OFP 的面积为 S12|OF|yP|12121.(2)如图， 过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q， 交抛物线于点 P1， 则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为 4.答案(1)B(2)4例 2（2020天津河西.高二期末）已知抛物线2:8C xy的焦点为F，O为原点，点P是抛物线C的准线上的一动点，点A在抛物线C上，且4AF ，则PAPO的最小值为（）A4 2B2 13C3 13D4 6【答案】B【解析】抛物线的准线方程为2y ，4AF ，A到准线的距离为4，故A点纵坐标为2，把2y 代入抛物线方程可得4x 不妨设A在第一象限，则4,2A，点O关于准线2y 的对称点为0, 4M，连接AM，则POPM，于是PAPOPAPMAM故PAPO的最小值为22462 13AM 故选 B玩转跟踪 1 （2020全国高二课时练习）若抛物线216xy上一点00,xy到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则0y （ ）A12B2C1D2【答案】D【解析】抛物线216xy的准线方程为4y ，由抛物线的定义知，抛物线216xy上一点00,xy到焦点的距离为04y ，0043yy，解得02y ，故选 D.2 （2020全国高二课时练习）已知点M是抛物线24xy上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：22(1)(4)1xy上一动点，则|MAMF的最小值为（ ）A3B4C5D6【答案】B【解析】如图所示，利用抛物线的定义知：MPMF当三点共线时，的值最小，且最小值为抛物线的准线方程：， 本题正确选项：3.（2020全国高二课时练习）已知抛物线24 ,yx上一点 P 到准线的距离为1d，到直线l:43110 xy为2d，则12dd的最小值为（ ）A3B4C5D7【答案】A【解析】抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离，所以过焦点F作直线43110 xy的垂线，则该点到直线的距离为12dd最小值，如图所示；由，直线43110 xy，所以，故选 A.题型二抛物线方程和性质例 3(1)(2020全国卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x23py2p1 的一个焦点，则 p()A2 B3C4 D8(2)(2020武汉调研)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A，B，交其准线于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|6，则此抛物线方程为()Ay29xBy26xCy23xDy23x解析(1)抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为(p2，0)，由已知得椭圆x23py2p1 的一个焦点为(p2，0)，3ppp24，又 p0，p8.(2)如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由抛物线定义得：|BD|a，故BCD30，在直角三角形 ACE 中，因为|AE|AF|6，|AC|63a，2|AE|AC|，所以 63a12，从而得 a2，|FC|3a6，所以 p|FG|12|FC|3，因此抛物线方程为 y26x.答案(1)D(2)B玩转跟踪 1已知抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，若FPM 为边长是 4 的等边三角形，则此抛物线的方程为_解析：FPM 为等边三角形，则|PM|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的准线，设 P(m，m22p)，则点 M(m，p2).因为焦点 F(0，p2)， FPM 是等边三角形， 所以Error!Error!解得Error!Error!因此抛物线方程为 x24y.答案：x24y2 （2020全国高二课时练习）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F,点M在C上,5MF ,若以MF为直径的圆过点,则C的方程为（ ）A24yx或28yx B22yx或28yxC24yx或216yx D22yx或216yx【答案】C【解析】抛物线C 方程为,焦点，设,由抛物线性质,可得，因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，由已知圆半径也为,据此可知该圆与 y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为 2，则 M 点纵坐标为 4，即,代入抛物线方程得，所以 p=2 或 p=8.所以抛物线 C 的方程为24yx或216yx.故答案 C.题型三 题型三 直线和抛物线位置关系例 4例 4(2020全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P.(1)若|AF|BF|4，求 l 的方程；(2)若 AP 3 PB ，求|AB|.解设直线 l：y32xt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得 F(34，0)，故|AF|BF|x1x232，又|AF|BF|4，所以 x1x252.由Error!Error!可得 9x212(t1)x4t20，则 x1x212t19.从而12t1952，得 t78.所以 l 的方程为 y32x78.(2)由 AP 3PB 可得 y13y2.由Error!Error!可得 y22y2t0.所以 y1y22.从而3y2y22，故 y21，y13.代入 C 的方程得 x13，x213.故|AB|4133.玩转跟踪1 （2020安徽高二期末）已知直线(2)(0)yk xk与抛物线2:8C yx相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若2FAFB,则 k=( )A13B23C23D2 23【答案】D【解析】将 y=k(x+2)代入 y2=8x,得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.设交点的横坐标分别为 xA,xB,则 xA+xB=-4,xAxB=4.又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,2xB+4=xA+2.xA=2xB+2.将代入得 xB=-2,xA=-4+2=-2.故 xAxB=4.解之得 k2=.而 k0,k=2 23,满足 0.故选 D.2.已知直线1ykx与抛物线28xy相切，则双曲线2221xk y的离心率为（ ）A5B3C2D32【答案】B【解析】由，得，直线与抛物线相切，双曲线方程为，可得，所以离心率，故选 B.3.（2020四川南充.高二期末）已知过点 M（1，0）的直线 AB 与抛物线 y2=2x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 OA，OB 的斜率之和为 1，则直线 AB 方程为_【答案】2x+y-2=0【解析】依题意可设直线 AB 的方程为：x=ty+1，代入 y2=2x 得，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 y1y2=-2，y1+y2=2t，所以，解得，直线 AB 的方程为：x=+1，即 2x+y-2=0故答案为 2x+y-2=0题型四 题型四 抛物线二级结论例 5例 5过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A4B.92C5 D6一般解法易知直线 l 的斜率存在，设为 k，则其方程为 yk(x1)由Error!Error!得 k2x2(2k24)xk20，得 xAxB1，因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得 xA12(xB1)，即 xA2xB1，由解得 xA2，xB12，所以|AB|AF|BF|xAxBp92.应用结论法一 ： 由对称性不妨设点 A 在 x 轴的上方， 如图， 设 A， B 在准线上的射影分别为 D， C， 作 BEAD 于 E，设|BF|m，直线 l 的倾斜角为 ，则|AB|3m，由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以 cos |AE|AB|13，所以 tan 22，则 sin28cos2，所以 sin289.又 y24x，知 2p4，故利用弦长公式|AB|2psin292.法二：因为|AF|2|BF|，1|AF|1|BF|12|BF|1|BF|32|BF|2p1，解得|BF|32，|AF|3，故|AB|AF|BF|92.答案B例 6例 6设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为()A.334 B.938C.6332 D.94一般解法由已知得焦点坐标为 F(34，0)，因此直线 AB 的方程为 y33(x34)，即 4x43y30.与抛物线方程联立，化简得 4y2123y90，故|yAyB|yAyB24yAyB6.因此 SOAB12|OF|yAyB|1234694.应用结论由 2p3，及|AB|2psin2 ，得|AB|2psin23sin23012.原点到直线 AB 的距离 d|OF|sin 3038，故 SAOB12|AB|d12123894.答案D例 7例 7如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l于点 C，若 F 是 AC 的中点，且|AF|4，则线段 AB 的长为()A5 B6C.163 D.203一般解法如图，设 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作 ADl 交 l 于点 D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由 F 是 AC 的中点，知|AD|2|MF|2p，所以 2p4，解得 p2，所以抛物线的方程为 y24x.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 |AF|x1p2x114， 所以 x13， 可得 y12 3， 所以 A(3,23)，又 F(1,0)，所以直线 AF 的斜率 k2 331 3，所以直线 AF 的方程为 y 3(x1)，代入抛物线方程 y24x 得 3x210 x30，所以 x1x2103，|AB|x1x2p163.故选 C.应用结论法一 ： 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1p2x114，所以 x13，又 x1x2p241，所以 x213，所以|AB|x1x2p3132163.法二：因为1|AF|1|BF|2p，|AF|4，所以|BF|43，所以|AB|AF|BF|443163.答案C玩转跟踪1 （2020四川双流.棠湖中学）已知直线经过抛物线24xy的焦点，与抛物线相交于A，两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）ABC4D1【答案】B【解析】因为抛物线24xy的焦点为，所以代入直线方程得，即，所以直线方程为，与抛物线方程联立得，所以弦长，又点O到直线的距离为，所以的面积为,故选 B.2 （2020江西赣州.高二月考 （理） ） 抛物线的焦点F是双曲线的一个焦点，过F且倾斜角为的直线l交C于，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由抛物线 C:()可知焦点 F(0,),由双曲线的上焦点坐标为(0,1),且抛物线的焦点 F(0,)是双曲线的一个焦点,可得,得,得抛物线方程为， 由题意得直线l的方程为,设 A,B联立消化简得,则有:,所以由弦长公式.故选:D.3 （2020陕西汉台。高二期末（理） ）已知点A，是抛物线C：24yx上的两点，且线段过抛物线C的焦点F，若的中点到轴的距离为 2，则（ ）A2B4C6D8【答案】C【解析】设，则，而的中点的横坐标为，所以.故选 C.题型五 题型五 抛物线大题大题例 8例 8（2020临泽县第一中学高二期末（文） ）已知抛物线C：，过其焦点作斜率为 1的直线交抛物线C于A，两点，且线段的中点的纵坐标为 4.（1）求抛物线C的标准方程；（2）若不过原点O且斜率存在的直线l与抛物线C相交于D、两点，且.求证 ： 直线l过定点，并求出该定点的坐标.【答案】 （1）； （2）.【解析】 （1）设A，两点的坐标分别为，则，两式相减得.即，又线段的中点的纵坐标为 4，直线的斜率为 1，.即抛物线C的标准方程为.（2）设直线l：与抛物线C：交于点，则，由得，即，直线为，l过定点.玩转跟踪1.（2020广西崇左.高二期末（理） ）如图，已知点 F 为抛物线 C：（）的焦点，过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，且当直线 l 的倾斜角为 45时，.（1）求抛物线 C 的方程.（2）试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）（2）存在唯一的点，使直线 PM，PN 关于 x 轴对称【解析】 （1）当直线 l 的倾斜角为 45，则l的斜率为 1，的方程为.由得.设，则，抛物线 C 的方程为.（2）假设满足条件的点 P 存在，设，由（1）知，当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l 的方程为（） ，由得，.直线 PM，PN 关于 x 轴对称，.，时，此时.当直线 l 与 x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知 PM，PN 关于 x 轴对称，此时只需 P 与焦点 F 不重合即可.综上，存在唯一的点，使直线 PM，PN 关于 x 轴对称.2 （2020陕西新城.西安中学高二月考（文） ）已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F 和椭圆的右焦点重合,直线 过点 F 交抛物线于 A、B 两点.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 交 y 轴于点 M,且,m、n 是实数,对于直线 ,m+n 是否为定值?若是,求出 m+n 的值；否则,说明理由.【答案】 （1）24yx； （2）1【解析】 （1）椭圆的右焦点抛物线 C 的方程为24yx（2）由已知得直线 l 的斜率一定存在，所以设 l：与 y 轴交于，设直线 l 交抛物线于由，又由即 m=,同理，所以，对任意的直线l，m+ n为定值-1. 玩转练习1若抛物线 y28x 上一点 P 到其焦点的距离为 10，则点 P 的坐标为()A(8,8)B(8，8)C(8，8) D(8，8)解析：选 C设 P(xP，yP)，点 P 到焦点的距离等于它到准线 x2 的距离，xP8，则 yP8，点 P 的坐标为(8，8)故选 C.2(2020广东广州一模)已知 F 为抛物线 C： y26x 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AF|3|BF|，则|AB|()A6 B8C10 D12解析：选 B抛物线 y26x 的焦点坐标为(32，0)，准线方程为 x32，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|3|BF|，x1323(x232)，x13x23，|y1|3|y2|，x19x2，x192，x212，|AB|(x132)(x232)8.故选 B.3(2020河南郑州二模)已知抛物线 C： y22x，过原点作两条互相垂直的直线分别交 C 于 A，B 两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离的最大值为()A2 B3C.32 D4解析：选 C设直线 AB 的方程为 xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)由Error!Error!y22my2t0y1y22t，由 OAOBx1x2y1y2y1y224y1y20y1y24，t2，即直线 AB 过定点(2,0)抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离的最大值为 21232.故选 C.4(2020河南郑州二模)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l 过焦点 F 与抛物线 C 分别交于 A，B 两点，且直线 l 不与 x 轴垂直，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 T(5,0)，则 SAOB()A2 2 B.3C.6 D3 6解析：选 A如图所示，F(1,0)设直线 l 的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点 E(x0，y0)则线段 AB 的垂直平分线的方程为 y1k(x5)联立Error!Error!化为 ky24y4k0，y1y24k，y1y24，y012(y1y2)2k，x0y0k12k21，把 E(2k21，2k)代入线段 AB 的垂直平分线的方程 y1k(x5)，可得2k1k(2k215)，解得 k21.SOAB121|y1y2|12 y1y224y1y212 16k2162 2.故选 A.5(多选)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5.若以 MF 为直径的圆过点 A(0,2)，则 C 的方程为()Ay24x By28xCy22x Dy216x解析：选 AD由已知得抛物线的焦点 F(p2，0)设点 M(x0，y0)，则 AF (p2，2)， AM (y2 02p，y02).由已知得， AF AM 0，即 y2 08y0160，因而 y04，M(8p，4).由|MF|5，得 (8pp2)2165.又 p0，解得 p2 或 p8.故 C 的方程为 y24x 或 y216x.6(多选)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线的斜率为3且经过点 F，直线 l 与抛物线 C 交于A，B 两点(点 A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点 D，若|AF|4，则以下结论正确的是()Ap2 BF 为 AD 中点C|BD|2|BF| D|BF|2解析：选 ABC如图，F(p2，0)，直线 l 的斜率为3，则直线方程为 y3(xp2)，联立Error!Error!得 12x220px3p20.解得 xA32p，xB16p，由|AF|32pp22p4，得 p2.抛物线方程为 y24x.xB16p13，则|BF|13143，|BD|BF|cos 60431283，|BD|2|BF|，|BD|BF|43834，则 F 为 AD 中点，运算结论正确的是 A、B、C.故选 A、B、C.7(多选)如图，已知椭圆 C1：x24y21，过抛物线 C2： x24y 焦点 F 的直线交抛物线于 M，N 两点，连接 NO，MO 并延长分别交 C1于 A，B 两点，连接 AB，OMN与OAB 的面积分别记为 SOMN，SOAB，则在下列命题中，正确的为()A若记直线 NO，MO 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2的大小是定值为14BOAB 的面积 SOAB是定值 1C线段 OA，OB 长度的平方和|OA|2|OB|2是定值 5D设 S OMNS OAB，则 2解析：选 ABCDAF(0,1)，设直线 MN 的方程为 ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组Error!Error!消元得：x24kx40，x1x24k，x1x24，y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)11，k1k2y2x2y1x1y1y2x1x214，故 A 正确；B设直线 OA 的方程为 ymx(m0)，则直线 OB 的方程为 y14mx，联立方程组Error!Error!解得 x2414m2，不妨设 A 在第三象限，则 A(214m2，2m14m2)，用14m替换m 可得 B(2114m2，12m114m2)，A 到 OB 的距离 d214m28m214m2116m228m214m2116m2，又|OB| 4114m214m2114m216m214m21，SOAB12|OB|d1216m214m2128m214m2116m21，故 B 正确；C又|OA|2414m24m214m244m214m2，|OB|216m214m21，|OA|2|OB|2520m214m25，故 C 正确；D联立方程组 Error!Error!可得x(x4m)0， 故N(4m， 4m2)， |ON|4mm21，14m替换m可得M(1m，14m2)， M 到直线 OA 的距离 h|114m2|m21114m21m2，SOMN12|ON|h2m(114m2)2m12m2，当且仅当 2m12m即 m12时取等号S OMNS OABSOMN2，故 D 正确故选 A、B、C、D.8(2020江西九江二模)已知抛物线 C： x24y 的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，连接 AF 并延长交抛物线 C 于点 D，若 AB 中点的纵坐标为|AB|1，则当AFB 最大时，|AD|_.解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，由抛物线定义得 y1y22|AF|BF|，y1y22|AB|1，|AF|BF|2|AB|，cosAFB|AF|2|BF|2|AB|22|AF|BF|3 |AF|2|BF|22|AF|BF|8|AF|BF|6|AF|BF|2|AF|BF|8|AF|BF|12，当且仅当|AF|BF|时取等号当AFB 最大时，AFB 为等边三角形，联立Error!Error!消去 y 得，x24 3x40，x1x34 3，y1y33(x1x3)214.|AD|16.答案：169(2020河北衡水三模)设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若 A，B，C 三点坐标分别为(1,2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且| FA | FB | FC |10，则 x1x2_.解析 ： 根据抛物线的定义， 知| FA |， | FB |， | FC |分别等于点 A， B， C 到准线 x1 的距离， 所以由| FA | FB | FC |10，可得 2x11x2110，即 x1x26.答案：610过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，且倾斜角为 60的直线交抛物线于 A，B 两点，若|AF|BF|，且|AF|2，则 p_.解析：过点 A，B 向抛物线的准线 xp2作垂线，垂足分别为 C，D，过点 B 向 AC 作垂线，垂足为 E，A，B 两点在抛物线上，|AC|AF|，|BD|BF|.BEAC，|AE|AF|BF|，直线 AB 的倾斜角为 60，在 RtABE 中，2|AE|AB|AF|BF|，即 2(|AF|BF|)|AF|BF|，|AF|3|BF|.|AF|2，|BF|23，|AB|AF|BF|83.设直线 AB 的方程为 y3(xp2)，代入 y22px，得 3x25px3p240，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x253p，|AB|x1x2p83，p1.答案：111(2020江西萍乡一模)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线 l：x1，点 M 在抛物线 C 上，点 M 在直线 l：x1 上的射影为 A，且直线 AF 的斜率为3，则MAF 的面积为_解析：如图所示，设准线 l 与 x 轴交于点 N，则|FN|2.直线 AF 的斜率为3，AFN60.MAF60，|AF|4.由抛物线的定义可得|MA|MF|，AMF 是边长为 4 的等边三角形SAMF34424 3.答案：4 312(一题两空)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，M 为抛物线上一点，O 为坐标原点OMF 的外接圆 N 与抛物线的准线相切，外接圆 N 的周长为 9.(1)抛物线的方程为_；(2)已知不与 y 轴垂直的动直线 l 与抛物线有且只有一个公共点， 且分别交抛物线的准线和直线 x3 于 A， B两点，则|AF|BF|_.解析 ： (1)OMF 的外接圆 N 的圆心 N 必在线段 OF 的垂直平分线上，且外接圆 N 与准线相切，外接圆 N的周长为 9，外接圆的