1、1.3.2 空间向量运算（习题课）重要公式与结论重要公式与结论123123(,),( ,)_aa a abb b bababaa b 设则（1）；（2）；（3）；（4）；112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b111222( , ), (,),| _;A x y zB x y zAB （5）若则 222212121()()()xxyyzz空间两点的距离公式空间两点的距离公式:|_;OA 特别地，|222111xyz _ _ab ；（2）；123123(,),( ,)/ /_aa a abb b bab设则（1
2、）； ；空间向量平行与垂直的条件：空间向量平行与垂直的条件：112233,ab ab ab(0) Rab b，使得312123aaabbb0 a b1 122330a ba ba b123(0,0,0)bbb例例2、如图，在正方体、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别分别是是BB1、D1B1的中点，求证：的中点，求证：EFDA1.xyzABCDA1C1D1B1EF11-,DA DCDDD xyz 解解：如如图图，设设正正方方体体的的棱棱长长为为，分分别别以以、 、 为为单单位位正正交交基基底底建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系则则1111(1, 1, )( , , 1)
3、,(1, 0, 1),(0, 0, 0)222EFAD，1111(, , ),(1, 0, 1)222EFDA 1110022EF DA 11,EFDAEFDA 即例例3（改编）如下图，在正方体（改编）如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E1、F1分别是分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，求的一个四等分点，求BE1与与DF1所成所成角的余弦值。角的余弦值。ABCDA1C1D1B1E1F1xyz11-,DA DCDDD xyz 解解：如如图图，设设正正方方体体的的棱棱长长为为，分分别别以以、 、 为为单单位位正正交交基基底底建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系则则1131(1,
4、 1, 0), (0, 0, 0),(1, , 1), (0, , 1)44BDEF131(1,1)(1,1,0)(0,1) ,44 BE111(0, 1) (0,0,0) (0,1)44 DF，G1111150 0()1 1,4416BEDF 111717|,|.44 BEDF11111500()1 1,4416BEDF 111717|, |.44 BEDF111111cos,|BEDFBE DFBEDF 111517BEDF所以，和所成角的余弦值是。ABCDA1C1D1B1E1F1xyzG151516.17171744练习：练习：1 2( 1, 4,3),2(2,4, 5),a babab
5、 、已已知知向向量量满满足足_, _.ab则则4 1(0, )5 512 13( 1,)55 2(1, 5, -2)(2, 4, 1)( , 3,2)_,_.ABC abab、如如果果三三点点 、 、 共共线线， 则则321212123(1, 1, 0),(1, 1, 1), ,_,_.abbbbbababb 、已已知知 若若 且且则则(1，1，0)(0，0，1)xyzABCDA1C1D1B1EF5、如图，在正方体、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别分别是是BB1、DC的中点，求证的中点，求证D1F平面平面 ADE.11-,DA DCDDD xyz 解解：如如图图，设设
6、正正方方体体的的棱棱长长为为，分分别别以以、 、 为为单单位位正正交交基基底底建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系则则111(1, 1, )(0, , 0),(1, 0,0),22(0, 0, 1),(0, 0, 0)EFADD，11(0, , 1),(1, 0, 0),21 (1, 1, )2D FDADE xyzABCDA1C1D1B1EF5、如图，在正方体、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别分别是是BB1、DC的中点，求证的中点，求证D1F平面平面 ADE.DADED110,0D F DAD F DE 11,D FDA D FDE即D1F平面平面 ADE.待定系数法待定系数法作业： P22 5 6, P23#8
