1、1.掌握空间向量的坐标表示.2.掌握空间两点间距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题.学习目标XUE XI MU BIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法abab_减法abab_数乘aa_，R数量积abab_(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3思考空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？答案空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的
2、坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.知识点二空间向量的平行、垂直及模、夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则有当b0时，ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30；知识点三空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，思考已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU2题型探究PART TWO一、空间向量的坐标运算因此，a(0,1，2).反思感悟空间向量坐标运算的规律及注意点(1)由点的坐标求向
3、量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.4ab1034.二、向量的坐标表示的应用命题角度1空间平行垂直问题例2如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB ，AF1，M是线段EF的中点.求证：(1)AM平面BDE；证明如图，建立空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE，又NE与AM不共线，NEAM.又NE平面BDE，AM 平面BDE，AM平面BDE.(2)AM平面BDF.又DFBFF，且DF平面BDF，BF平面BDF，AM
4、平面BDF.命题角度2夹角、距离问题例3如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点.(1)求BN的长；解如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，(2)求A1B与B1C所成角的余弦值.解依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，又异面直线所成角为锐角或直角，反思感悟利用空间向量的坐标运算的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.(2)求坐标：求出相关点的坐标；写出向量的坐标
5、.(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算.(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.跟踪训练2如图，长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG CD，H为C1G的中点.(1)求证：EFB1C；证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，(2)求FH的长.(3)求EF与C1G所成角的余弦值；核心素养之逻辑推理与数学运算HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI YU SHU XUE YUN SUAN利用空间向量解决探索性问题典例正方体ABCDA1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH
6、BD1，试判断点H的位置.设正方体的棱长为1，则D(0,0,0) ，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为(m，n，0)，即当H为线段AB的中点时，GHBD1.素养提升(1)解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数运算问题.(2)通过计算解决几何中的探索性问题，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.3随堂演练PART THREEA.(1,3，3) B.(9,1,1)C.(1，3,3) D.(9，1，1)12345A.5 B.4 C.3 D.212345解析ab(0，1,1)(4,1,0)(
7、4,1，)，3.已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是12345解析依题意得(kab)(2ab)0，所以2k|a|2kab2ab|b|20，而|a|22，|b|25，ab1，4.在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB| ，则m的值为_.123457或13所以(3m)2100,3m10.所以m7或13.123451.知识清单：(1)向量的坐标的运算.(2)向量的坐标表示的应用.2.方法归纳：类比、转化.3.常见误区：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等.(2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的
8、情况.课堂小结KE TANG XIAO JIE4课时对点练PART FOUR1.已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b等于A.(2，4,2) B.(2,4，2)C.(2,0，2) D.(2,1，3)基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 16解析ba(1,2，1)(1，2,1)(1,2，1)(2，4,2).解析设点C的坐标为(x，y，z)，12345678910 11 12 13 14 15 163.已知向量a(2,3)，b(k，1)，若a2b与ab平行，则k的值是12345678910 11 12 13 14 15 16解析由题意得a2b(22k，5)，且ab(
9、2k，2)，又因为a2b和ab平行，则2(22k)5(2k)0，4.已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c| ，若(ab)c7，则a与c的夹角为A.30 B.60C.120 D.15012345678910 11 12 13 14 15 16解析ab(1，2，3)a，故(ab)cac7，得ac7，所以a，c120.解析由已知，可得C1(0,2,3)，12345678910 11 12 13 14 15 166.若A(m1，n1,3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3,9)三点共线，则mn_.12345678910 11 12 13 14 15 160所以m0，n0，mn0.12
10、345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16(1,3,3)得(x1，y3，z1)2(1x，3y，4z)，即P(1,3,3).解由空间两点间的距离公式得12345678910 11 12 13 14 15 1610.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB ，BC1，PA2，E为PD的中点.12345678910 11 12 13 14 15 16(1)求AC与PB所成角的余弦值；解由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，1234567
11、8910 11 12 13 14 15 16(2)在侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC，求N点的坐标.12345678910 11 12 13 14 15 16解由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，由NE平面PAC可得，12345678910 11 12 13 14 15 1611.一束光线自点P(1,1,1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经过的距离是综合运用解析P关于xOy平面对称的点为P(1,1，1)，则光线所经过的距离为12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1
12、612345678910 11 12 13 14 15 1613.若a(x，2,2)，b(2，3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是_.(，2)解析由题意，得ab2x23252x4，设a，b的夹角为，又|a|0，|b|0，所以ab0，即2x40，所以x2.又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(，2).12345678910 11 12 13 14 15 1614.三棱锥PABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则三棱锥PABC的体积为_.12345678910 11 12 13 14 15 161解析由A，B，C，P四点的坐标，知
13、ABC为直角三角形，ABAC，PA底面ABC.由空间两点间的距离公式，得AB1，AC2，PA3，12345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究即1351(2)z0，所以z4.12345678910 11 12 13 14 15 1616.在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45？12345678910 11 12 13 14 15 16解以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.又点N在CC1上，可设N(0,2，m)(0m2)，如果异面直线AB1和MN所成的角等于45，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16这与0m2矛盾.所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45.
