1、1.3.11.3.1空间直角坐标系空间直角坐标系平面向量的坐标表示xyoij(1,0),(0,1),0(0,0).ija在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数对(即它的坐标)表示复习复习xyzijkO新知新知空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一个单位正交基和一个单位正交基底底 ,以点以点O为原点，分别以为原点，分别以 的方向为的方向为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-xyz , , i j k , ,i j k 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量 都叫做都叫做坐标向量坐标向量.通过每两个坐
2、通过每两个坐标轴的平面叫做标轴的平面叫做坐标平面，坐标平面，分别称为分别称为Oxy平面，平面， Oyz平面，平面， Oxz平面平面。它们把空间分成八个部分它们把空间分成八个部分, ,i j k xyzO画空间直角坐标系Oxyz时,一般使xOy=135(或45),yOz=90.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。新知新知在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数对(即它的坐标)表示，在空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示？xyzOA(x,y,
3、z)ijk 此时向量此时向量OA的坐标恰是点的坐标恰是点A在直角坐标系在直角坐标系Oxyz中的中的坐标坐标A(x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点A的的横坐标横坐标，y叫做点叫做点A的的纵坐标纵坐标，z叫做点叫做点A的的竖坐标竖坐标.在空间直角坐标系Oxyz中（如图), 为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使, ,i j k OA OAxiyjzk , , i j k 在单位正交基底 下新知新知也就是说也就是说,以以O为起点的有向线段为起点的有向线段 (向量向量)的坐标可以和的坐标可以和终点的坐
4、标建立起一一对应的关系终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化从而互相转化. 在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量中，对空间任一向量 , 作作 (如图如图), 由空间向量基本定理，存在唯一的由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组有序实数组(x, y, z),使使axiy jzk OAa a有序实数组有序实数组(x, y, z), 叫做叫做 在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中的坐标中的坐标,上式上式可简记作可简记作 (x,y,z).aaxyzOA(x,y,z)ijka(x, y, z)具具有双重意义，有双重意义，既可以表示向量，也可既可以表示向量，也可以表示点
5、，在表述时注以表示点，在表述时注意区分意区分新知新知探究探究 在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点中，对空间任一点A , 你能借助几何直观确定它们的坐标你能借助几何直观确定它们的坐标(x, y, z)吗吗分析分析 过点分别作垂直于过点分别作垂直于x轴、轴、y轴、轴、z轴的平面，依次交轴的平面，依次交于点于点B、C、D，可以证明可以证明 在在x轴、轴、y轴、轴、z轴的投影向量分别为轴的投影向量分别为设点设点B、C、D在在x轴、轴、y轴、轴、z轴轴上的坐标分别为上的坐标分别为x、y、z则点A(向量 )的坐标为(x, y, z)OA ODOCOBOAODOCOB且、,OA 新知新
6、知1、在空间坐标系、在空间坐标系Oxyz中，中， ( 分别是与分别是与x轴、轴、 y轴、轴、 z轴的正方向相同的轴的正方向相同的单位向量单位向量)则则 的坐标为的坐标为 ，23ABijk i j k , ,AB(1,-2,-3)练习练习例题例题的坐标、写出四点的坐标、写出的空间直角坐标系如图所示为单位正交基底，建立以中，在长方体如图例CACABBBABACDOxyzDOOCOADOOCOACBADOABC)2() 1 (31,41,31, 24, 363 . 11解解(1) D(0,0, 2),C(0,4,0) A(3,0, 2),B(3,4, 2)求某点B的坐标的方法：先找到点B在xOy平面
7、上的射影B，过点B向x轴作垂线，确定垂足A.其中|OA|，|AB|，|BB|即为点B坐标的绝对值，再按OABB确定相应坐标的符号与坐标轴同向为正，反向为负，最后得到相应的点B的坐标的坐标、写出四点的坐标、写出的空间直角坐标系如图所示为单位正交基底，建立以中，在长方体如图例CACABBBABACDOxyzDOOCOADOOCOACBADOABC)2() 1 (31,41,31, 24, 363 . 11解解(2) )2 , 4 , 3(243)0 , 4 , 3(043)2, 0 , 0(200)0 , 4 , 0(040kjiCCOCAOCAkjiCDDACAkjiODBBkjiOCBA课本课
8、本P18 练习练习3 例题例题1.在空间直角坐标系中标出下列各点A(0,2,4),B(1,0,5),C(0,2,0),D(1,3,4)2.在直角坐标系Oxyz中(1)哪个坐标平面于x轴垂直？哪个坐标平面于y轴垂直？哪个坐标平面于z轴垂直？(2)写出点P(2,3,4)在三个平面内的射影坐标(2)写出点P(1,3,5)关于原点中心对称的点的坐标练习练习规律：关于谁对称谁不变1.点A(1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为（ ）A.(1,0,1),(1,2,0) B.(1,0,0),(1,2,0)C.(1,0,0),(1,0,0) D.(1,2,0),(1,2,0)练习练习解析：点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0,在xOy平面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0,故应选B.2点P(1,2,5)到xOz平面的距离为( )A.1 B.2 C.2 D.5B小结小结1、空间直角坐标系2、空间直角坐标系中的点和向量的坐标3、找空间直角坐标系中点B的方法4、空间直角坐标系中点对称的规律： 关于谁对称谁不变作业作业课本P18练习 4
