1、第一章第一章 统计案例统计案例1.3.2高二数学选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何学习目标1.掌握空间向量的坐标运算规律,熟练掌握空间的加法、减法、数乘及数量积的坐标表示; 2.会判断两空间向量共线和垂直关系,能求空间向量的模及两空间向量的夹角；3.能用空间向量作为工具解决立体几何问题.4.核心素养：数学运算、数学建模、逻辑推理. 1212(,),(,)aa abb b 设设则则;ab;ab;a;a b/;abab1122(,)ab ab1122(,)ab ab12(,)aa1 122a ba b()abR1122,()ab abR0a b1 1220a ba b;acos,;a b
2、a a 2212aaaba b112222221212a ba baabb一、回顾旧知1212(,),( ,)aa abb b 设设则则;ab;ab;a;a b1122(,)ab ab1122(,)ab ab12(,)aa1 12 2aba b类比推广123123(,),( ,)aa a abb b b 设设则则 ;ab;ab;a;a b112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,)aaa1 12233a ba ba b二、探究新知1.空间向量运算的坐标表示1212(,),( ,)aa abb b 设设则则类比推广123123(,),( ,)aa a abb
3、b b 设设则则 /;abab()abR1122,()ab abR0a b1 1220a ba b;a cos,;a ba a 2212aaa ba b1 12222221212a ba baabb/;ab ab()abR112233,()ab ab abR0a b1 122330a ba ba b;a cos,;a b a a 222123aaaa ba b1 12233222222123123a ba ba baaabbb1.空间向量运算的坐标表示2.空间两点间的距离公式11112222,(,),(,),OxyzP xyzP xyz在空间直角坐标系中设1 2_.PP _2121PPPPOi
4、jkxyz1P2P212121,xx yy zz222212121()()()xxyyzz1.例1.已知已知 (2, 3,5),( 3,1, 4),8 ,(2)abab ab a a b aab 求(2, 3,5)( 3,1, 4)(5, 4,9)ab (2, 3,5)( 3,1, 4)( 1, 2,1)ab 88(2, 3,5)(16, 24,40)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)2 ( 3)( 3) 1 5 ( 4)29a b 解:(2)(2, 3,5) (1, 5,6)2 1 ( 3) ( 5) 5 647aa b 三、巩固新知例1-向量间的运算2.变式训练(1),1,0,0 ,
5、0,1,0 ,0,0,2 ,ABCDABCD已知顶点则顶点 的坐标为_; (2)90 ,2,1,1 ,1,1,2 ,0,1 ,ABCBACABC xx在直角三角形中，则_. (1) 建立直角坐标系(2)把点、向量坐标化(3)对向量计算或证明(4)结论例2-证明线线垂直111111111.3-8,.E FBB D BEFDA如图，在正方体ABCD-A B C D中，分别是的中点，求证：3.例2. AODCBxyz1A1B1C1DFE1,Oxyz不妨设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系证明：11 11,1, ,1 ,22 2EF则1 1 1, ,2 2 2EF 11,0,1 ,0,0,0
6、 ,AD又11,0,1 ,DA 11 1 1, ,1,0,10,2 2 2EF DA 11,.EFDAEFDA 即,1,1111中的正方体在棱长为如图DCBAABCD,41,11111111111BAEBDCBAFEBCM上分别在棱的中点为.411111DCFDM;) 1 (的长求AM.)2(11所成角的余弦值与求DFBE解:角坐标系建立如图所示的空间直) 1 (,Oxyz11(1,0,0),(,1,),22AM则.26) 021() 01 () 121(222AM 4.例3. AODCBxyz1A1B1C1D1F1E13(1,1,0),1,1 ,4BE11(0,0,0),0,14DF，131
7、1,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 1110 , 1(0 , 0 , 0)0 , 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BEDF 111717|,|.44BEDF 111111151516cos,.171717| |44BEDFBEDFBEDF 1115.17BEDF因因此此，与与所所成成角角的的余余弦弦值值是是,1,1111中的正方体在棱长为如图DCBAABCD,41,11111111111BAEBDCBAFEBCM上分别在棱的中点为.411111DCFD.)2(11所成角的余弦值与求DFBE解:,)2( 由题意可知例3-求解线段长度、解决异面直线所成角MAODCBxyz
8、1A1B1C1D1F1E 4.例3. 1(1,0,0),1,1 ,4AE证证明明：所以所以10,14AE 110, 14DF 又又，1,AEDF 所所以以1,A E D F又又不不共共线线，所以所以AEDF1.,1,1111中的正方体在棱长为如图DCBAABCD111111111,4E FAB C DAEAB分别在棱上.411111DCFD5.变式训练./:1DFAE求证MAODCBxyz1A1B1C1D1F1EE1(1,0,0),1,1 ,4AE证证明明：所以所以10,14AE 110, 14DF 又又，1,AEDF 所所以以1,A E D F又又不不共共线线，所以所以AEDF1.,1,11
9、11中的正方体在棱长为如图DCBAABCD111111111,4E FAB C DAEAB分别在棱上.411111DCFD5.变式训练./:1DFAE求证MAODCBxyz1A1B1C1D1F1EE 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E 是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱 C1D1, AA1的中 点设点E1,G1分别是点 E,G在平面DCC1D1内的正投影 (1)证明：直线FG1平面 FEE1 ； (2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值. 11(0,0,1),0,1,2 ,(0,2,1),1,2,1GFEE则则10 1 10,FGFE 111FGFE FGFE,
10、, 10, 11FG ， 1,11FE ， 10,11FE ，110 1 10FGFE 1FEFEF 又又11FGFEE 面面1EAODCBxyz1A1B1C1DFGE1G6.变式训练:1(1),DA DC DDOxyz 分别以为单位正交基底建立空间直角坐标系证明： (2).求异面直线E1G1与EA 所成角的正弦值. 110 , 2(02)E G ：，解解， 1, 21EA ， 110 122014 ,E GEA 11| 2 ,|6 .E GEA 11111146cos,.326| |E GEAE GEAE GEA 11.E GEA3 3因因此此，与与所所成成角角的的正正弦弦值值是是3 321163sin,1 ()33E GEA 1EAODCBxyz1A1B1C1DFGE1G1.基本知识：(1)向量的加减、数乘和数量积运算的坐标表示；(2)两个向量的夹角公式和垂直、平行判定的坐标表示.2.思想方法：用向量坐标法计算或证明立体几何问题(1) 建立直角坐标系，系，(2)把点、向量坐标化，(3)对向量计算或证明.四、课堂小结3.应用运用空间向量着重解决三类题型 (1).例1-向量间的运算 (2).例2-证明线线垂直关系 (3).例3-求解线段长度、解决异面直线所成角作业: 课本 P22 习题1.3 6、8题
