1、1.4.1第二课时第二课时空间中空间中 直线、平面的平行直线、平面的平行2021.7新课程标准解读新课程标准解读核心素养核心素养1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系1能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系(直观想象)2熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系(数学运算、直观想象)思考：空间中直线的方向向量、平面的法向量是确定空间中的直线、平面的关键量，能否用直线的方向向量、平面的法向量来刻画直线、平面的平行关系？怎么刻画？用直线的方向向量表示两条直线的平行1.线线平行的向量表示设u1，u2分别是直
2、线l1，l2的方向向量，则l1l2u1u2R，使得u1u2l1l2u1u22. .线面平行的向量表示线面平行的向量表示用直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面平行设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，l ，则lun un0unl怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？提示：证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路(1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定3. .面面平行的向量表示面面平行的向量表示设n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2R，使得n1n2n1n21直线的方向向量不是唯一的，解题时，最好选取坐标较简单的方向向
3、量；一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行 2用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面平行时，必须说明两个平面不重合1若直线l1和l2的方向向量分别是a(1，1，2)，b(2，2，4)，则()Al1l2 Bl1与l2相交Cl1与l2重合 Dl1l2或l1与l2重合b2a，l1与l2平行或重合2若两个不重合平面，的法向量分别为u(1，2，1)，v(3，6，3)，则 ()A BC，相交但不垂直 D以上均不正确题型一题型一直线和直线平行直线和直线平行例1在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12，点M在棱BB1上，且BM2M
4、B1，点S在DD1上，且SD12SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MNRS.CDA1B1C1D1ABSRMNMNRS，MNRS，又R MN，MNRS.法一：法一：设ABa，ADb，AA1c，CDA1B1C1D1ABxyzSRNM法二：法二：如图所示，建立空间直角坐标系,MNRS.MNRS.M RS，MNRS.题型二题型二直线和平面平行直线和平面平行例2如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1平面DBC1.ABCA1B1C1D如图以A为坐标原点建立空间直角坐标系设正三棱柱的底面边长为a(a0)，侧棱长为b(b0)，则A(0，0，0)，xyz设平面DBC1的
5、法向量为n(x，y，z)，BDDC1取y2b，则n(0，2b，a)由于AB1nabab0，因此AB1n.又AB1 平面DBC1，AB1平面DBC1. 如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABC AD1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由.解解分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，xyzy(1)2(z1)0，设E(0，y，z)，则PE(0，y，z1)PD(0,2，1)，PEPD，AD(0,2,
6、0)是平面PAB的法向量，又CE(1，y1，z)，CE平面PAB，CEAD，(1，y1，z)(0,2,0)0.存在E点，当点E为PD中点时，CE平面PAB.利用空间向量证明线面平行的三种方法利用空间向量证明线面平行的三种方法方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量 共面，即可用平面内的一个基底表示；方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证；方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点求证：
7、CE平面C1E1F.CDA1B1C1D1ABEE1F证明：以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系xyz设平面C1E1F的法向量为n(x，y，z)，且CE 平面C1E1F，所以CE平面C1E1F.题型三题型三平面和平面平行平面和平面平行例3如图所示，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：平面EFG平面PBCBACDPEFG证明因为平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，A
8、B，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)xyz规律方法利用空间向量证明面面平行的方法(1)转化为线面平行、线线平行，然后借助向量共线进行证明(2)通过证明两个平面的法向量平行证明如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?CDA1B1C1D1ABPOQ如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1QCDA1B1C1D1ABPOQxyz即APBQ，有平面PAO平面D1BQ，即当点Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO( )故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO设平面PAO的法向量为n1(x，y，z)，取x1，则n1(1,1,2)设平面D1BQ的法向量为n2(x，y，z)，取z1，则n2(m,1m,1)要使平面D1BQ平面PAO，需满足n1n2，
