1、1.空间中点、直线和平面的向量表示(1)点点+位置向量 (2)线点+方向向量 (3)平面点+法向量复习回顾OP =OP OAt a =OP OAtAB =0PAP|a 2.空间中直线、平面的平行lluuuu121212/R,. 使使得得nnnn1212/R, 使使得得lunu n/0 思考： 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？一般地，直线与直线垂直，就是两直线的一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的直线与平面垂直，就是直线的方向向量方向向量与平面的与
2、平面的法向量平法向量平行行；平面与平面垂直，就是两平面的平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直法向量垂直探究新知l2思考1：如何用直线的方向向量表示两条直线的垂直？u1u2l1的方向向量，则分别是直线，设2121, lluu1212120lluuu u 探究新知luuln设是直线 的方向向量， 是平面的法向量，则/,lunRun 使得n思考思考2 2：如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面垂直关系？探究新知 n1的法向量，则，分别是平面设21,nn12120nnnn 思考思考3 3：由平面与平面的垂直的关系，可以得到平面的法向量有什么关系？ n2分析：为基底，根据条件，可以1AAAD
3、AB，和平面并用基向量表示111BBDDAC的法向量即可是平面再通过向量的运算证明111BBDDCA例11111111111601BBDDCABADADAABAAAADABDCBAABCD平面，求证：直线，中，如图，在平行六面体1A1C1BCBAD1D1=0|P AC BP 典例分析解：为空间的一个基底，且，则，设1cbacAAbADaABcBBabBDcbaCA11，601111BADADAABAAAADAB，211222cacbbacba，1A1C1BCBAD1D例11111111111601BBDDCABADADAABAAAADABDCBAABCD平面，求证：直线，中，如图，在平行六面体
4、【基底法】比【坐标法】更具有一般性典例分析11(,)BDD BP 则对于平面上的，存在唯一的有序实数对任意一点，使得1BPBDBB BPCA1)(11BBBDCA111BBCABDCAccbaabcba)()()(0的法向量是平面111BBDDCA111BBDDCA平面为基向量，上，取在平面111BBBDBBDD1A1C1BCBAD1D例2 证明“平面与平面垂直的判断定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.求证：已知，如图，, ll l u n证明：nul的法向量平面的方向向量取,l的法向量是平面u的法向量是平面，nl nu 典例分析.,)2(,/) 1 (.) 3 , 2 ,
5、 1 (),(), 3(. 1的值求若的关系式；求若的法向量是平面的方向向量，是直线已知balbalnlRbababau/) 1 (l解：nu 0)(3)(23babanu035ba课堂练习l)2(解：nu/3213baba23215ba96baba.,)2(.) 3 , 2 , 1 (),(), 3(. 1的值求若的法向量是平面的方向向量，是直线已知balnlRbababau课堂练习1111111.,1. 2BCCADDDCDADDCBAABCD求证：间直角坐标系为单位正交基底建立空为原点，以的棱长为已知正方体解：由题意可得：11(1 0 1)(11 0)(0 1 0)(0 11), , ,
6、 , , ,ABCC) 101(,) 111(11，BCCA01) 1(01) 1(111BCCA11BCCA11BCCAA1B1C1D1ABCDzyxO课堂练习.12. 31111111EFDEADBCFCDECCBCABDCBAABCD平面求证：平面的中点为的中点，为，中，如图，在长方体1,DDA DC DDxyz解：以 为原点所在直线分别为 轴、轴、 轴 建立如图所示空间直角坐标系.)0 , 2 ,21(),0 , 1 , 0(),1 , 0 , 0(),0 , 0 , 1 (1FEDA1111(101)(011)(21)2D AD ED F ， ， ， ，xyzA1D1C1B1ACBO
7、EF11111()nx y zEAD设, ,是平面的一个法向量，则1111111100n D Axzn D Eyz 1111xzyz即课堂练习11111zxy取，则) 111 (1，n121 (2) 1 1 1 10n n 21nn 11EFDEAD平面平面课堂练习xyzA1D1C1B1ACBOEF22221()nxyzEAD 设,是平面的一个法向量，则21222212212020nD FxyznD Eyz 22222xzyz 即222121zxy取，则，2(211)n ， ，线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直21/ll2121,/uuRuu使得/l0nunu/2121,/nnRnn使得21ll02121uuuu/lnuRnu使得,/02121nnnn课堂小结
