1、1.1.距离问题距离问题复习回顾1. 向量的数量积bababa,cos|2. 投影向量|,cos|11bbbaaBA1. 空间两点之间的距离 2. 点到直线的距离新课讲授),(),(22221111zyxPzyxP，设将将两点距离两点距离问题转化为求问题转化为求向量模长问题向量模长问题),(21212121zzyyxxPP221221221212121)()()(|zzyyxxPPPPPP,.lu AlPlPl已知直线 的为是直线 上的定点是直线 外一点则 到直线 的距离单位方向向量如何求呢？.(),lAPaAPAa uQu 设则向量在直线 上的投影向量2222|()PQPlAPAQaa u
2、点 到直线 的距离为AuQlPa思考 类比类比点到直线的距离的求法，如何求点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离两条平行直线之间的距离？求两条平行直线求两条平行直线l,m之间的距离之间的距离,可在其中一条直线可在其中一条直线l上任取一点上任取一点P,则则两两条平行直线间的距离就等于点条平行直线间的距离就等于点P到直线到直线m的距离的距离.2. 点到直线的距离 n A P Q 平面外一点到平面的平面外一点到平面的距离等于连接距离等于连接此点与此点与平面上的任一点平面上的任一点( (常选常选择一个特殊点择一个特殊点) )的的向量向量在平面的在平面的法向量法向量上的上的射影的绝对值射影的
3、绝对值. .,?APdnAP nAP nd 如图空间一点 到平面 的距离为已知平面 的一个法向量为 ,且与 不共线,能否用与 表示,PPQQQA过 作于 ，连结分析：cos,dQPAPAPO 则,.QPnQPn/ coscos,.APOAP n cos,cos,.AP nAP nAP ndAPAP nnn 3. 点到平面的距离平面外一点到平面的距离等于连结平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点此点与平面上的任一点（常选择（常选择一个特殊点）一个特殊点）的的向量向量在平面的在平面的法向量法向量上的上的射影的绝对值射影的绝对值.两个平行平面之间的距离两个平行平面之间的距离如果两个平面如
4、果两个平面,互相平行互相平行,在其中一个平面在其中一个平面内任取一点内任取一点P,可将两个平可将两个平行平面的距离行平面的距离转化转化为点为点P到平面到平面的距离求解的距离求解.直线和平面间的距离：直线和平面间的距离：如果一条直线如果一条直线l与一个平面与一个平面平行平行,可在直线可在直线l上任取一点上任取一点P,将线面将线面距离距离转化转化为点为点P到平面到平面的距离求解的距离求解.3. 点到平面的距离 n A P Q 思考 类比类比点到平面的距离的求法，如何求点到平面的距离的求法，如何求直直线与平面线与平面、两个平面之间的距离两个平面之间的距离？例题1（课本（课本P34 P34 例例6 6
5、）如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD- A1B1C1D1中，中，E为线段为线段A1B1的中点，的中点，F为线段为线段AB的中点的中点.（1）求点）求点B到直线到直线AC1的距离；的距离；（2）求直线）求直线FC到平面到平面AEC1的距离的距离.1111111(101)(111)(011)11(010)(1,0)(11)22DD A DC D DxyzABCCEF以 为原点,所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则, , , , ,：,，解，11(0,1,0),( 1,1, 1),(0, 1),2ABACAE 1111( 1,0),( 1,0),(0,
6、0).222ECFCAF 例题讲解113(1)(0,1,0),( 1,1, 1),3|ACaABuAC 取231,.3aa u 则22116()1.33BACaa u 点 到直线的距离为11112( 10)2FCECFCECFCAEC （ ）, , ,，平面.1()AECnx y z设平面的法向量为, , ,则11FAECFCAEC点 到平面的距离即为直线到平面的距离.10,0.n AEn EC 10,210.2yzxy ,2 .xzyz1112.(121)zxynAEC取,则, , 是平面的一个法向量.1(0 2 0),AFFAEC 又， ，点 到平面的距离为1(0,0) (1,2,1)|6
7、2.6|6AF ndn 16.6FCAEC即直线到平面的距离为用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；量问题；（2）通过向量）通过向量运算运算，研究点、直线、平面之间的位置关，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化
8、为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）练习1（课本（课本P35 T2P35 T2）如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E为线段为线段DD1的中点，的中点，F为线段为线段BB1的中点的中点.(1)求点求点A1到直线到直线B1E的距离；的距离；(2)求直线求直线FC1到直线到直线AE的距离；的距离；(3)求点求点A1到平面到平面AB1E的距离；的距离；(4)求直线求直线FC1到平面到平面AB1E的距离的距离.练习巩固3553023131103.3ADBDCBBC n 平面与平面的距离为解:则角坐标系建立如图所
9、示的空间直,111(1,0,1),(0,0,0), (1,1,0),(0,0,1),(1,1,1), (0,1,0),ADBDBC1111(1,0,1),(1,10),(1,01),( 1, 10)DADBCBB D ，1111/ /,/ /,DACB B DDB 1111/ /,/ /,DACB B DDB11/ /ADBDCB平面平面1.CADB点 到平面的距离即为两平行平面的距离1( , , ),ADBnx y z设平面的法向量10,0n DAxzn DBxy 则1,1,1xyz 取得(1, 1, 1),n 03(1, 1, 1),( 1,0,0)3nBC 又练习2（课本（课本P35 T
10、3P35 T3）如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求平面平面A1DB到平面到平面D1CB1的距离的距离.1. 点到直线的距离点到直线的距离 2222)(uaaAQAPPQ2. 点到平面的距离点到平面的距离nnAPnnAPPQ课堂小结AuQlPa n A P Q 3. 用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；量问题；（2）通过向量）通过向量运算运算，研究点、直线、平面之间的位置关，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）
