1、1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题,.lu AlPlPl 探探究究已已知知直直线线 的的单单位位方方向向向向量量为为是是直直线线 上上的的定定点点是是直直线线 外外一一点点如如何何利利用用这这些些条条件件求求点点 到到直直线线 的的距距离离. .1.416,.,.,APlAQA PAAPQAPQPlPAPuPAQQ 如如图图向向量量在在直直线线 上上的的投投影影向向量量为为则则是是直直角角三三角角形形. .因因为为都都是是定定点点所所以以的的夹夹角角都都是是确确定定的的于于是是可可求求再再利利用用勾勾股股定定理理 可可以以求求出出点点 到到直直线线 的的距距离离与与,() .APaAPl
2、AQa u u 设设则则向向量量在在直直线线 上上的的投投影影向向量量2222Rt,()APQPQAPAQaa u 在在中中 由由勾勾股股定定理理 得得思考思考类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？.P平平面面 外外一一点点 到到平平面面 的的距距离离问问题题1.417,nAPPlQnlPAPlQP 如如图图已已知知平平面面 的的法法向向量量为为是是平平面面 内内的的定定点点是是平平面面 外外一一点点. .过过点点 作作平平面面 的的垂垂线线交交平平面面 于于点点则则 是是直直线线 的的方方向向向向量量且且点点 到到平平
3、面面 的的距距离离就就是是在在直直线线 上上的的投投影影向向量量的的长长度度AP nnAP nPQAPnnn 因因此此11111111,.(1);(2).1.41 ,681EFAABCDA B C DA BACAEBCBFC中中为为线线段段的的中中点点为为线线段段的的中中点点求求点点 到到直直线线如如图图在在棱棱长长为为 的的正正方方例例的的距距离离求求直直线线体体到到平平面面的的距距离离1111111,1.418,(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),11(0,1,0),1,0 ,1,122DD A D CD DxyzABCCEF 以以为为原原点点所所在在直直线线分分别别为为轴轴、
4、 轴轴、 轴轴 建建立立如如图图所所示示的的空空间间直直角角坐坐标标系系 则则1111(0,1,0),( 1,1, 1),0, 1 ,1,0 ,22111,0 ,0,0 .22ABACAEECFCAF 所所以以113(1)(0,1,0),( 1,1, 1),3ACaABuAC 取取231,.3aa u 则则22116,()1.33BACaa u 所所以以 点点 到到直直线线的的距距离离为为111111(2)1,0 ,/,/,2.FCECFCECFCAECFAECFCAEC 因因为为所所以以所所以以平平面面所所以以点点 到到平平面面的的距距离离即即为为直直线线到到平平面面的的距距离离11( ,
5、),100212002AECnx y zyzn AExzyzn ECxy 设设平平面面的的法法向向量量为为则则11,1,2.,(1, 2,1).zxynAEC 取取则则所所以以是是平平面面的的一一个个法法向向量量110,0 ,210,0(1,2,1)26.66AFAF nFAECn 又又因因为为所所以以点点 到到平平面面的的距距离离为为与用平面向量解决平面几何问题的与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲三步曲”类似，类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题）建立立体图形与空间向
6、量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果）把向量运算的结果“翻译翻译”成相应的几何结论成相应的几何结论作业 P44 #13 #14 思考题：P44 #18（1）（2）直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角例例7 如图如图1.4-19，在棱长为，
7、在棱长为1的正四面体的正四面体(四个面都是正三角形四个面都是正三角形) ABCD中，中， M， N分别为分别为BC， AD的中点，的中点，求直线求直线AM和和CN夹角的余弦值夹角的余弦值1.419,1(1),2,2MACACMCACCA CB CDCNCACDB 如如图图以以作作为为基基底底则则,cos.CNMAAMCN 设设向向量量与与的的夹夹角角为为则则直直线线与与夹夹角角的的余余弦弦值值等等于于211() ()22111111111242428442CN MACACDCACBCACA CBCD CACD CB 化为向量问题化为向量问题进行向量运算进行向量运算3,.2ABCACDMACN
8、又又和和均均为为等等边边三三角角形形 所所以以122cos33322CN MACNMA 所所以以2.3AMCN所所以以直直线线和和夹夹角角的的余余弦弦值值为为思考思考以上我们用向量方法解决了异面直线以上我们用向量方法解决了异面直线AM和和CN所成角所成角的问题，你能用向量方法求直线的问题，你能用向量方法求直线AB与平面与平面BCD所成所成的角吗？的角吗？回到图形问题回到图形问题,1.420,ABBBABun 直直线线与与平平面面所所成成的的角角 可可以以转转化化为为直直线线的的方方向向向向量量与与平平面面的的法法向向量量的的夹夹角角. .如如图图直直线线与与平平面面 相相交交于于点点设设直直线
9、线类类似似地地与与平平面面 所所成成的的角角为为直直线线的的方方向向向向量量平平面面 的的法法向向量量为为则则sincos,u nu nu nunun 思考思考以上我们用向量方法解决了异面直线以上我们用向量方法解决了异面直线AM和和CN所成角所成角的问题，你能用向量方法求直线的问题，你能用向量方法求直线AB与平面与平面BCD所成的所成的角吗？角吗？1.421,90. 如如图图平平面面 与与平平面面 相相交交 形形成成四四个个二二面面角角把把这这四四平平个个二二面面角角中中不不大大面面 与与平平面面于于的的二二角角称称为为的的夹夹角角面面1212,.,nnnn 和和则则平平面面 与与平平类类似似
10、于于两两条条异异面面直直线线所所成成的的角角若若平平面面的的法法向向量量分分别别是是的的夹夹角角即即为为向向量量的的夹夹角角面面和和平平面面 与与平平面面或或其其补补角角设设的的夹夹角角为为则则1212121212coscos,nnnnn nnnnn 11111111111,90 ,1.4,22,2,3,22.8,AABCA B CACCBAAAA BBAQAQBRRBCBPBCQCP RA BRQ 中中为为的的中中点点如如图图在在直直三三棱棱柱柱点点分分别别在在棱棱上上求求平平面面与与平平面面夹夹角角的的余余弦弦值值例例解：化为向量问题解：化为向量问题1111111111121112,.,C
11、C A C B C CxyzA B CnPQRnPQRA B Cnn 所所在在直直线线为为 轴轴、 轴轴、 轴轴所所示示的的空空间间直直角角坐坐标标系系设设平平面面的的法法向向量量为为的的法法向向量量以以为为原原点点平平面面则则平平面面的的夹夹角角就就为为与与平平面面的的夹夹是是角角或或其其补补角角与与进行向量运算进行向量运算,(0,1, 3),(2, 0, 2),(0,2,1).(2, 1, 1),(0, 1, 2),PQRPQPR 根根据据所所建建立立的的空空间间直直角角坐坐标标系系 可可知知所所以以11111111,(0,0,1),C CA B CA B Cn 因因为为平平面面所所以以平
12、平面面的的一一个个法法向向量量为为222( , , ),302022002nx y znPQxyzxzyznPRyz 设设则则2121212(3,4,2),(0,0,1) (3,4,2)2 29cos,29129nnnn nnn 取取则则回到图形问题回到图形问题111122 29,coscos,29PQRA B Cn n 设设平平面面与与平平面面的的夹夹角角为为则则1112 2929PQRA B C所所以以平平面面与与平平面面的的夹夹角角的的余余弦弦值值为为例例9 图图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水根绳子和伞面连接，
13、每根绳子和水平面的法向量的夹角均为平面的法向量的夹角均为30，已知礼物的质量为，已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相，每根绳子的拉力大小相同求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小同求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度重力加速度g取取9.8 m/s2，精确，精确到到0.01 N)1.424,.3,30 ,.2nFn FFnF n 解解： 如如图图设设水水平平面面的的单单位位法法向向量量为为其其中中每每一一根根绳绳子子的的拉拉力力均均为为因因为为所所以以 在在 上上的的投投影影向向量量为为3884 32FF nF n 合合所所以以 根根绳绳子子拉拉力力的的合合力
14、力,=1 9.89.8(N).FG 合合礼礼物物又又因因为为降降落落伞伞匀匀速速下下落落 所所以以9.84 39.8,1.41(N).4 3F nF 所所以以所所以以/; (1.425,.(1);(3).0)12PABCDABCDPDABCD PDDC EPCEFPBPCFPBEFDCPBPBDPAEDB 如如图图在在四四棱棱锥锥中中 底底面面是是正正方方形形 侧侧棱棱底底面面是是的的中中点点 作作交交于于点点求求证证：平平面面求求平平面面平平面面求求证证：与与平平面面的的夹夹角角的的大大小小例例,1.DDA DC DPxyzDC 解解： 以以 为为原原点点所所在在直直线线分分别别为为轴轴、
15、轴轴、 轴轴 建建立立如如图图所所示示的的空空间间直直角角坐坐标标系系设设(1),.1 1(1,0,0),(0,0,1),0,.2 21 1,0 .2 2ACBDGEGAPEABCDGG证证明明：连连接接交交于于点点连连接接则则因因为为底底面面是是正正方方形形 所所以以点点 是是它它的的中中心心11(1,0, 1),0,2,/.22PAEGPAEGPAEG 且且所所以以即即,/.EGEDBPAEDBPAEDB而而平平面面且且平平面面因因此此平平面面(2);PBEFD 平平面面求求证证：1 1(1,1,0),(1,1, 1),0,2 21100.22BPBDEPB DEPBDE 依依题题意意得得
16、又又故故， 所所以以,.EFPBEFDEEPBEFD 由由已已知知且且所所以以平平面面(3)CPBPBD与与平平面面的的夹夹角角求求平平面面的的大大小小. .(3),(2),.( , , ),( , ,1).PBEFPBDFEFDCPBPBDFx y zPFx y z 已已知知由由可可知知故故是是平平面面与与平平面面的的夹夹角角 设设点点 的的坐坐标标为为则则,( , ,1)(1,1, 1)( , ,),1,PFkPBx y zkk kkxk yk zk 因因为为所所以以即即0,(1,1, 1) ( , ,1)1310,11 1 2,.33 3 3PB DFk kkkkkkkF 设设则则所所以
17、以点点 的的坐坐标标为为1 11 110,.2 23 66EFE 又又点点 的的坐坐标标为为所所以以1 11112,13 66333cos.26663FE FDEFDFEFD 所所以以60 ,60 .EFDCPBPBD所所以以即即平平面面与与平平面面的的夹夹角角大大小小为为通过本节的学习，你对立体几何中的向量法是否有了一定的认识？请结通过本节的学习，你对立体几何中的向量法是否有了一定的认识？请结合例题就下面的框图谈谈体会合例题就下面的框图谈谈体会解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法你能说出它们各自的特点吗？坐标法你能说出它们各自的特点吗？综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题，如综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题，如本节的例本节的例7、例、例9；坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来；坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用，如本节的例使用，如本节的例6，例，例8，例，例10对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法的方法作业 P43 #9，P44 #15 思考题P44 #18（3）
